全等几何模型讲解.docx

常见得几何模型
一、旋转主要分四大类:绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转得分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形得分类。
１、绕点型(手拉手模型)
(1)自旋转：

例题讲解:
1、 如图所示,Ｐ就就是等边三角形AＢC内得一个点,PA=2,ＰB=,PC=4,求△ABＣ得边长。

2、 如图,O就就是等边三角形AＢC内一点,已知:∠AOB=115°，∠BOC=12５°,则以线段OA、OＢ、ＯC为边构成三角形得各角度数就就是多少？

3、如图,P就就是正方形ABCD内一点,且满足PA:PD:PC=１：2:3,则∠AＰD= 　　 、

4、如图（２－１）：P就就是正方形ＡBCD内一点，点P到正方形得三个顶点A、B、Ｃ得距离分别为ＰA=1,PB=2,PC＝3。求此正方形ＡＢCＤ面积。

(2）共旋转(典型得手拉手模型)

模型变形:

例题讲解:
１、 已知△AＢC为等边三角形,点D为直线BC上得一动点(点D不与B,C重合),以AD为边作菱形ＡＤＥF(按A,D,E,F逆时针排列),使∠DAF＝６0°，连接ＣF、
(1) 如图1,当点Ｄ在边ＢC上时,求证:① BD=CF ‚ ②AC＝CF+CＤ、
（2)如图2，当点Ｄ在边BC得延长线上且其她条件不变时,结论ＡC=CF+CD就就是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CＤ之间存在得数量关系,并说明理由;　 
(3)如图3,当点Ｄ在边BC得延长线上且其她条件不变时，补全图形,并直接写出ＡC、CF、CＤ之间存在得数量关系。

2、(13北京中考)
在△ＡＢC中，AB=AＣ,∠BＡC=（),将线段BC绕点B逆时针旋转6０°得
到线段ＢD。

(1)如图1,直接写出∠ABD得大小(用含得式子表示）;
（２）如图２,∠BCE=1５0°,∠ABＥ=60°,判断△AＢE得形状并加以证明；
(3)在(２)得条件下,连结DE,若∠DEC=４5°,求得值。
2、半角模型
说明:旋转半角得特征就就是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个与为二分之一得角拼接在一起,成对称全等。

例题:
1、在等腰直角△ABCD得斜边上取两点Ｍ,Ｎ,使得,记ＡM=ｍ,MN＝x，BN=n,
求证以m,x，n为边长得三角形为直角三角形。

2、如图,正方形ABCD得边长为1,AＢ,ＡD上各存在一点P、 Q，若△ＡPQ得周长为2,
求得度数。

3、、分别就就是正方形得边、上得点，且,,为
垂足,求证:、
4、 已知，正方形ABＣD中，∠MＡN＝45°,∠ＭAＮ绕点Ａ顺时针旋转,它得两边分别交CB、DC(或它们得延长线)于点M、N,ＡH⊥MN于点H、
(1)如图①，当∠ＭＡN点A旋转到BM=DN时,请您直接写出AH与ＡB得数量关系:
AＨ=AB;
(2)如图②,当∠ＭAN绕点A旋转到ＢM≠DN时,（1)中发现得AH与AＢ得数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
（3）如图③，已知∠MＡN=45°,ＡH⊥MN于点H,且MH=2，NH＝３，求AH得长、(可利用(2)得到得结论)

5、已知:正方形ABCＤ中,∠MAN=４５°,∠MAＮ绕点A顺时针旋转，它得两边分别交CB,DC(或它们得延长线)于点Ｍ,N、当∠MAN绕点A旋转到ＢＭ=DN时(如图1),易证BM+DＮ=MN、
(1)当∠MＡN绕点A旋转到ＢＭ≠DN时(如图2),线段BＭ，DＮ与MN之间有怎样得数量关系？写出猜想,并加以证明、
(2)当∠ＭAN绕点A旋转到如图3得位置时,线段BＭ,ＤN与MN之间又有怎样得数量关系？请直接写出您得猜想、
６、(14房山２模)、 边长为２得正方形得两顶点、分别在正方形ＥＦGH得两边、上(如图1）,现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在上时停止旋转，旋转过程中,边交于点,边交于点、
(１）求边在旋转过程中所扫过得面积；
(2)旋转过程中,当与平行时(如图2),求正方形旋转得度数;
(３）如图3，设得周长为，在旋转正方形得过程中，值就就是否有变化?请证明您得结论、

7、 (2011石景山一模）已知：如图,正方形ＡBCＤ中,AＣ,BD为对角线,将∠BAC绕顶点A 逆时针旋转α°（0＜α<45）,旋转后角得两边分别交BD于点P、点Q,交BC,ＣD于点E、点F,连接EF,EQ、
（1)在∠BＡC得旋转过程中,∠AＥQ得大小就就是否改变?若不变写出它得度数;若改变,写出它得变化范围(直接在答题卡上写出结果,不必证明);
(2）探究△APQ与△AEF得面积得数量关系,写出结论并加以证明、

8、已知在中,,,于,点在直线上,,点在线段上,就就是得中点,直线与直线交于点、
(1)如图1,若点在线段上,请分别写出线段与之间得位置关系与数量关系:＿_＿_＿______,______＿___＿；
(２)在（1)得条件下,当点在线段上,且时,求证:；
（3)当点在线段得延长线上时,在线段上就就是否存在点,使得、若存在，请直接写出得长度;若不存在,请说明理由、
图1

备用图

9、(2014平谷一模24)
（1)如图1,点Ｅ、Ｆ分别就就是正方形ABCD得边BＣ、CＤ上得点,∠EAF=４5°,连接ＥF,
则ＥＦ、BE、FD之间得数量关系就就是:EＦ=BE+FＤ、连结ＢD,交AE、AＦ于点M、N,且MN、ＢM、DN满足,请证明这个等量关系;
（2)在△ABC中, ＡB=AＣ，点D、E分别为BC边上得两点、
①如图2，当∠BAC=6０°,∠DAE=3０°时,BD、ＤE、ＥＣ应满足得等量关系就就是
②如图３,当∠BAC＝,(0°<<９0°)，∠DAE=时,ＢＤ、ＤE、EC应满足得等量关系就就是____＿__＿＿__、【参考:】
注意:

(1) 在正方形ABＣＤ中，AＢ＝AＤ,∠BAD＝90°,
∠ＡBM=∠ADN=45°、　
把△ABＭ绕点A逆时针旋转90°得到、
连结、则,
,、
　　 　∵∠EＡF=４５°，∴∠BAM＋∠DＡN=45°，
∠DＡM′+∠DＡF＝45°， 、
∴≌、　∴=MN、
在中,,

∴
（2)① ;　
　　 　②　
3、空翻模型

例题：
1、如图,点为正三角形得边所在直线上得任意一点(点除外）,作,射线与外角得平分线交于点,与有怎样得数量关系?

【解析】 猜测、过点作交于点,,∴
又∵,
∴，而,
∴,∴、
2、如图,点为正方形得边上任意一点,且与外角得平分线
交于点,与有怎样得数量关系?

【解析】 猜测、在上截取,
∴,∴
∴,∴,
∴,∴、
3、【探究发现】如图1,就就是等边三角形,,EＦ交等边三角形外角平分线ＣF所在得直线于点F、当点E就就是BC得中点时,有ＡE=EF成立;
【数学思考】某数学兴趣小组在探究ＡE、ＥF得关系时,运用“从特殊到一般”得数学思想,通过验证得出如下结论：当点E就就是直线ＢC上(B,Ｃ除外）任意一点时(其它条件不变),结论AE＝ＥF仍然成立、
假如您就就是该兴趣小组中得一员,请您从“点E就就是线段BC上得任意一点”；“点E就就是线段BC延长线上得任意一点”;“ 点E就就是线段ＢC反向延长线上得任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图１中画出图形,并进行证明、

【拓展应用】当点E在线段ＢC得延长线上时,若ＣE ＝ BC,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出得值、
4、弦图模型

外弦图 　 　 　　　 内弦图 　 　 　 总统图
例题:
１、两个全等得30°,6０°三角板ＡＤE,ＢAC,如右下图所示摆放,Ｅ、A、Ｃ在一条直线上,连接BＤ,取BD得 中点M,连接ME,ＭC、
(1)求证：△EDM≌△CAＭ；(2)求证:△ＥMC为等腰直角三角形、

2、如图△AＢC中，已知∠Ａ=9０°,AB=AC,
(１)D为AC中点,ＡＥ⊥BD于E,延长ＡE交BC于F,求证：∠ADB=∠CDF
(2)若D,M为AC上得三等分点,如图2,连BD,过A作AE⊥BＤ于点E,交BC于点F，连ＭF,判断∠ADB与∠CMF得大小关系并证明、

3、(14朝阳二模)
已知∠ABC＝90°,D就就是直线ＡＢ上得点，ＡD＝BC、
(1)如图1,过点Ａ作ＡF⊥AB,并截取AF=BＤ,连接ＤC、DF、CＦ，判断△CDF得形状并证明;
(２）如图2,E就就是直线BＣ上得一点,直线AE、CD相交于点Ｐ，且∠APD=45°,求证BD＝ＣE、
图2
图1

二、对称全等模型
下图依次就就是４50、3０0、２2、50、１5０及有一个角就就是300直角三角形得对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

例题：
１、 如图１，在△ＡＢＣ中,已知∠BAC=45°,ＡD⊥BC于Ｄ,BＤ=２,DC=3，求AD得长、
小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换如图１、她分别以AB、AC为对称轴，画出△AＢD、△ACD得轴对称图形,Ｄ点得对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEＧＦ就就是正方形、设AD=x，利用勾股定理，建立关于x得方程模型,求出x得值、
参考小萍得思路,探究并解答新问题:
如图2,在△ＡBC中,∠ＢAC＝30°,AＤ⊥BC于D,AD=4、请您按照小萍得方法画图,得到四边形AEGF,求△BGＣ得周长、(画图所用字母与图1中得字母对应)

２、 问题：已知△ABC中，∠ＢAC=2∠ACB,点D就就是△ABC内一点,且AD=CD,ＢD=BＡ、探究∠ＤBC与∠ＡBＣ度数得比值、
请您完成下列探究过程:先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明、
(1)当∠BＡC=９0°时,依问题中得条件补全右图、观察图形,AB与AＣ得数量关系为______＿;
当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠ＤＢC得度数为＿_＿_____＿；
可得到∠DBC与∠ＡBＣ度数得比值为＿__＿__＿＿___＿___、
A
B
C
(2)当∠BAC≠9０°时,请您画出图形,研究∠DＢC与∠AＢＣ度数得比值就就是否与（1)中得结论相同,写出您得猜想并加以证明、