概率论基础导数概念笔记.doc

一、导数概念（）
10 定义　　

左导数
右导数
∴
可以证明：
可导→连续。即可导是连续的充分条件。
连续是可导的必要条件。

20 导数的几何意义
曲线 在点处切线：

例1：讨论在x=0处可导性
解：∵
在x = 0连续
　　　　 不存在
∴　在x = 0不可导

例2：已知存在
则

例3：设函数可微，
则

例4：P63 例2-5
设
为使在x = x0 处可导，
应如何选取常数a、b
解：首先必须在x0连续

∴　 ①

（由①得）

∵　　存在
∴ 　 从而　

例5： = x (x-1)(x-2)……(x-9) , 则
∵

例6：设在x = 0 领域内连续，，
则
∵ （分母→0）
∴

例7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ，
且 (a , b ≠0)，
问 存在否?
解：

二、导数的求法
10 显函数导数
求一个显函数的导数需解决：
①基本初等函数导数(P64);
②导数四则运算法则(P65);
③复合函数与反函数求导法则(P66)。
定理：
在X有导数，
在对应点u有导数，
则复合函数在X处也有导数，
。

例1： 求
解：

例2： 求
解：

例3： 求
解：

例4： 求
解：

例5： 求
解：

例6： 求
解：

例7： 求
解：

例8： 求
解：

例9： 求
解：

高阶导数、二阶：

例10： ， 求
解：

先讲微分（后页）

20 隐函数导数参数方程导数
如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)

例10：求下列隐函数的导数
（1）设 求
解： 方程两边对x求导，

（2）设是由方程所确定的隐函数，
求
解： 由原方程知当x=0时，，
方程两边对x求导。
，将x=0，代入得： ∴

(3) 是由方程所确定的隐函数,
试求,。
解: 方程两边对x求导：
①
方程两边再对x求导：
②
由原方程知，当时，，代入①
得
再将，，代入②式，
得

(4) 设 求
解：

(5) 设是由方程组所确定的函数，求：。
解：

(6) P90习题13

30 分段函数的导数
1) 设
求：
解：当

∴ 不存在，故
高阶导数（n阶）略，
例

2) 设在（）上具有二阶连续导数，且，对函数
(1) 确定的值，使在（）上连续
(2) 对（1）中确定的，证明在（）上
一阶导数连续
解：
①
即当 在连续，
也就是在（）连续
②

而

在连续,即在连续
三、 微分

一阶微分形式不变
（自变量）
如
(中间变量)

例： ， ，
可导 可微

三、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）
1． 罗尔定理
如满足：
（1）在连续.
（2）在可导.
（3） 则至少存在一点
使

例 设，则
在区间（-1，0）内，方程
有2个实根；在（-1，1）内有2个根

例 设在[0，1]可导，且，
证明存在，使。
证： 设在[a,b]可导，
∴ 存在使 即

例 设在[0，1]可导，且,
证明存在 。
解: 设，且 由罗尔定理
存在 使 即，
亦即

例 P91 习题29 设

2、 拉格朗日中值定理
如满足：①在[a,b]连续；②在（a,b）连续，
则存在
使。
推论：⑴ 如果在区间I上，则
⑵ 如果在区间I上，
在Ｉ单增（减）

例　对任意满足的x，
都有
设
∵

∴
∵
∴

例 设，证明
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