二次函数题卡.doc

13. （2011浙江衢州，24,12分）已知两直线分别经过点，点，并且当两条直线同时相交于轴正半轴的点时，恰好有，经过点的抛物线的对称轴于直线交于点，如图所示.
求点的坐标，并求出抛物线的函数解析式.
抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由.
当直线绕点旋转时，与抛物线的另一个交点为.请找出使为等腰三角形的点.简述理由，并写出点的坐标.
（第24题）

【答案】（1）解法1：由题意易知

由题意，可设抛物线的函数解析式为.
把的坐标分别代入，得
解这个方程组，得
抛物线的函数解析式为
解法2：由勾股定理，得
又

由题意可设抛物线的函数解析式为把代入函数解析式得
所以抛物线的函数解析式为
（2）解法1：截得三条线段的数量关系为
理由如下：
可求得直线的解析式为，直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线.由此可求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.

解法2：截得三条线段的数量关系为
理由如下：
由题意可知则可得
.
由顶点的坐标为得,

(3)解法1：（i）以点为圆心，线段长为半径画圆弧，交抛物线于点，由抛物线的对称性可知点为点关于直线的对称点.
所以点的坐标为，此时,为等腰三角形.
（ii）当以点为圆心，线段长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点，而三点在同一直线上，不能构成三角形.
（iii）作线段的中垂线，由点是的中点，且，可知经过点，

此时，有点即点坐标为，使为等腰三角形.
与抛物线的另一交点即为
综上所述，当点的坐标为 时，为等腰三角形
解法2：当点的坐标分别为
理由如下：
（i）链接，交抛物线于点，易知点的坐标为 .
又点的坐标为，则
可求得，且，即为正三角形.
为正三角形
当与抛物线交于点，即时，符合题意，此时点的坐标为
（ii）连接，由，易知为等腰三角形
当过抛物线顶点于点时，符合题意，此时点的坐标为.
（iii）当点在抛物线对称轴右边时，只有点与点重合时，满足，但此时，三点在同一直线上，不能构成三角形.
综上所述，当点的坐标分别为时，为等腰三角形.
14. (2011浙江绍兴，24，14分)抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点.
（1）如图1，求点的坐标及线段的长；
（2）点在抛物线上，直线交轴于点，连接.
①若含45°角的直线三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点在上，求直线的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在直线上，另一个顶点在上，求点的坐标.
第24题图2
第24题图1

【答案】解：（1）把代入得，
点，
为对称轴，，
.
（2）①如图1，过点作轴，交轴于点，
过点作，交于点，

四边形为矩形，

四边形为正方形，

为等腰直角三角形，

设直线的函数解析式为，
直线上两点的坐标为，
代入求得，
直线的函数解析式为.
②当点3. （2011四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。
y
x
O
B
M
N
C
A
28题图

【答案】
（1）∵，∴，。
∴，。
又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。
∴抛物线的解析式为。
（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。
∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），
∴，。
∵，∴。
∴，∴，∴。
∴

。
∴当时，有最大值4。
此时，点的坐标为（2，0）。
（3）∵点（4，）在抛物线上，
∴当时，，
∴点的坐标是（4，）。
① 如图（2），当为平行四边形的边时，，
∵（4，），∴。∴，。
② 如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，
则平行四边形的对称中心为（，0）。
∴的坐标为（，4）。
把（，4）代入，得。
解得 。
，。
y
x
O
B
M
N
C
A
图（1）
H
y
x
O
B

E
A
图（2）

D

y
x
O
B

E
A
图（3）

D

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