资源描述
数学（理）试题
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案实用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={，∈N}，B={}，则A∩B等于 ( )
A．{1，4} B．{1，6} C．{4，6} D．{1，4，6}
2．复数 （ ）
A． B． C． D．
3．若是等差数列，，则使前项和成立的最大正数是 （ ）
A. 48 B.47 C.46 D.45
4．在区间[－，]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数 有零点的概率为 （ ）
A. B. C. D.
5. 设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为 （ ）
A. B. C. D.
6．函数的定义域为R，且满足：是偶函数，是奇函数，若=9，则等于 （ ）
A．9 B．9 C．3 D．0
7. 已知x、y使方程x2+y2-2x -4y + 4 = 0，则的最小值是 （ ）
A. B. C. 2 D.3
8. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为 （ ）
A．1 B． C． D．2
9. 过原点与曲线相切的切线方程为 （ ）
A. B. C. D.
10. 已知 则是q的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要充分不条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
11. 若实数满足不等式组，目标函数的最大值为2，则实数a的值是 （ ）
A.-2 B.0 C.1 D.2
12. 设a，b为大于1的正数，并且，如果的最小值为m，则满足的整点的个数为 （ ）
A.5 B.7 C.9 D.11
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13. 设l为平面上过点（0，l）的直线，l的斜率等可能地取、、、0、、、用ξ表示坐标原点到直线l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝_________.
14. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，则双曲线的离心率为 ．
15. 设a，b，c依次是的角A、B、C所对的边，若，且，则m=________________.
16． 在平面直角坐标系中，点集，，则（1）点集所表示的区域的面积为_________；
（2）点集所表示的区域的面积为_________ .
三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，分别为角所对的三边，已知．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求的长．
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
19．（本小题满分12分）
为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
队别
北京
上海
天津
八一
人数
4
6
3
5
（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；
（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列，及数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知函数（，实数，为常数）．
（Ⅰ）若，求在处的切线方程；
（Ⅱ）若，讨论函数的单调性．
21．( 本小题满分12分)
已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线、的斜率之和为定值．
22. ( 本小题满分12分)
已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合．
参考答案
一．选择题：每小题5分，满分60分．
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
D
C
C
B
C
B
B
B
A
A
D
A
二．填空题：每小题5分，满分20分．
13. 4
提示：显然本程序框图反映的是统计产量大于950件的车间个数的一个算法流程图，故答案为4.
14. ∵直线l的方程分别为：
y =x +1、y =x +1、y =x +1、y = 1、y =x+1、y =x+1、y =x+1，∴原点到它们的距离分别为、、、1、、、所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
1
P
所以Eξ=×+×+×+×1=
15．2011
提示：由已知
即，亦即
由正余弦定理有
即，将代入
得，于是
16．π；18+π
提示：已知点集A表示以原点为圆心，半径为1的圆的边界及其内部，点集B表示以点0（0，0），M（4，0），N（4，3）为顶点的三角形及其内部，
（1）本题相当于把点集A中的圆向右平移3个单位，向上平移1个单位，因此其面积不变，为π.
（2）相当于把点集A沿点集B扩大如图所示：
其面积为：
三．解答题：
17．本小题主要考查三角变换公式、正弦定理、余弦定理，考查三角基础知识和基本运算能力．满分10分．
〖解析〗（Ⅰ） ， ………………3分
∴ …………………………………………………………5分
（Ⅱ）在中，， ，
∴ ………………………………………7分
由正弦定理知：
∴．…………………………………………9分
∴ ……………………………………………………………………10分
18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系，线面平行与垂直的论证、二面角的计算等基础知识，考查空间想象能力、思维能力和运算能力．满分12分．
〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系，
,
，，，．…………1分
（Ⅰ）证明：
∵，，
∴,
∵平面，且平面，
∴//平面．………………………………4分
（Ⅱ）证明：
，，，
，
又，
∴平面． ………………………………………………8分
（Ⅲ）设平面的法向量为,
因为，，
则取
又因为平面的法向量为
所以
所以二面角的大小为．…………………………………12分
19．本小题主要考查概率统计的概念，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，以及利用概率统计的基础知识解决实际问题的能力．满分12分．
〖解析〗
（Ⅰ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，
则. ………………………………………5分
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2. …………………………………………………7分
∵，，，
∴的分布列为：
0
1
2
P
……………………10分
∴. ……………………………12分
20．本小题主要考查导函数的求法、导数的几何意义、函数单调区间的求法，考查运用基本概念进行论证和计算的能力．满分12分．
〖解析〗
（Ⅰ）因为，所以函数，
又，………………………………………………2分
所以
即在处的切线方程为…………………………………5分
（Ⅱ）因为，所以，则
令，得，．……………………………………………7分
（1）当，即时，函数的单调递减区间为，
单调递增区间为；…………………………………………8分
（2）当，即时，，的变化情况如下表：
所以，函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为；…………………………9分
（3）当，即时，函数的单调递增区间为；………10分
（4）当，即时，，的变化情况如下表：
所以函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为；……………………………………11分
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．…………………………12分
21．本小题主要考查椭圆的方程的求法，考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分．
〖解析〗（Ⅰ）， ，
∴，，
∴ ………………………………………………4分
（Ⅱ）设直线BD的方程为
………………………①
………………………②
，
设为点到直线BD：的距离，
∴
∴ ，当且仅当时取等号.
因为，所以当时，的面积最大，最大值为………9分
（Ⅲ）设，，直线、的斜率分别为： 、，则
= …………………………（*）
将（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得
=0，
即0………………………………………………………………12分
22．本小题考察对数学概念的阅读理解能力，考查不等式、集合知识的综合应用，考查运用学过的数学知识解决问题的能力，考查思维能力、论证能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分．
〖解析〗
(Ⅰ) 证明：依题意有，又，
因此．
可得．
所以．
即． …………………4分
（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得．
又，可得，因此．
同理，可知．
又，可得，
所以均成立．
当时，取，则，
可知．
又当时，．
所以． ……………………………………………………8分
（Ⅲ）解：对于任意，，
由可知，
，即．
因此，只需对，成立即可．
因为；；；，
因此可设；；；；．
由，可得，取．
由，可得，取．
由，可得，取．
由，可得，取．
所以满足条件的一个集合．……………12分
其它解法，请酌情给分.
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