历年总结GCT考试数学基础复习资料.doc

历年总结GCT考试数学基础复习资料

第一部分 算术
[内容综述]
1．数的概念：整数、分数、小数、百分数等等．
2．数的运算
（1）整数的四则运算；（2）小数的四则运算；（3）分数的四则运算*
3．数的整除 ：整除（）、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数*、合数、质因数、公倍数、最小公倍数（）、公约数、最大公约数、互质数、最简分数．
4．比和比例：比例、，正比例关系、，反比例关系等．
[典型例题]
一、算术平均数（平均值）问题
例：某书店二月份出售图书3654册，比一月份多出售216册，比三月份少出售714册，第二季度的出售量是第一季度出售量的倍，求书店上半年平均每月出售图书多少册？
分析：

（又如前10个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题）
二、植树问题*
（1）全兴大街全长1380米，计划在大街两旁每隔12米栽一棵梧桐树，两端都栽．求共栽梧桐多少棵？
分析：．
（2）将一边长为2米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过30厘米，且四角必须固定，求需要的最少钉子数．
分析：根据要求，每边至少需要7个空，所以至少需要个钉子．
三、运动问题
1．相遇与追及问题 （，，）
例：某部队以每分钟100米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队尾．已知通信员从出发到返回队尾，共用了9分钟，求行军部队队列的长度？
分析：设队伍长度为 ，则
，
解得 ．
2．顺流而下与逆流而上问题
例：两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时．求此客轮的航速与这条河的水流速度．
分析：因为 ，所以

解得 ．
3．列车过桥与通过隧道问题
例：一列火车全长270米，每秒行驶18米，全车通过一条隧道需要50秒．求这条隧道的长．
分析：设隧道长为 ，则 ，所以 ．
四、分数与百分数应用问题**
例：某工厂二月份产值比一月份的增加，三月份比二月份的减少，那么 ．
A．三月份与一月份产值相等． B．一月份比三月份产值多．*
C．一月份比三月份产值少． D．一月份比三月份产值多．
分析：设一月份的产值为 ，则三月份的产值为 ，所以一月份比三月份产值多
．
五、简单方程应用问题
1．比和比例应用题
例1．有东西两个粮库，如果从东库取出放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的．已知东库原来存粮5000吨，求西库原来的存粮数．
分析：设西库原来的存粮数为 ，则
，
所以 ．
例2.一件工程，甲独做30天可以完成，乙独做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了22天．问甲、乙两人各做了多少天？
分析：设甲、乙两人分别做了天和天．根据题意得

解得 ．
2.求单位量与求总量的问题
例：搬运一堆渣土，原计划用8辆相同型号的卡车15天可以完成，实际搬运6天后，有两辆卡车被调走．求余下的渣土还需要几天才能运完？
分析：设要运完余下的渣土还需要天，则
，
所以 ．
3．和倍、差倍与和差问题
例：把324分为A,B,C,D四个数，如果A数加上2，B数减去2，C数乘以2，D数除以2之后得到的四个数相等，求这四个数各是多少？
分析：根据题意得

解得 ．
[样题与真题]
一、数的运算
1．设直线方程 ，且的截距是的截距的倍，则与谁大？(C)
(A) (B) (C) 一样大 (D) 无法确定
分析：因为，所以。
2．方程 的根的个数为(A)
(A) (B) (C) (D)
分析：因为，所以 的根的个数为0。
3．设均为大于零的实数，且 ，则与谁大？(A)
(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定
分析：因为，所以比大。
注：特殊值代入法。
4．某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘加上右手中石子数乘之和为，则左手中石子数为奇数，还是偶数？(A)
(A)奇数 (B)偶数 (C)无法确定 (D)无石子
分析：因为，所以为奇数。
5．（2003）已知 ，则 ．
A．． B．．
C．． D．．*
注：考虑。
6．（2003） ．
A．． B．． * C．． D．．
注：。
7．设，则（B ）．
A．2 B．1 C．0 D．
分析：由于，，
所以．
8．（2005）

A. B. C. D.
分析：分子，分母，所以正确选项为A．
9．（2006）（ C ）
A . B . C . D.
分析：

10．（2006）某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别为48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（A）种不同的变速比。
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
分析：（本题是算术题。考查两个数的比的大小）
由于，所以这种自行车共可获得种不同的变速比。
二、平均值问题
1．从生产的一批灯泡中任意抽取个，测的寿命（小时）分别为，若用它们来估计这批灯泡的平均寿命应为(C)
(A) (B) (C) (D)
分析：。
2．张某以元/股的价格买进股票手，又以元/股买进手，又以元/股买进手，他要不赔钱，至少要卖到什么价钱（元/股）？（手股）(D)
(A) (B) (C) (D)
分析：。
3．（2003）记不超过10的素数的算术平均数为，则与最接近的整数是 ．
A．． B．． C．．* D．．
分析：。
三、植树问题
1．（2003）1000米大道两侧从起点开始每隔10米各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需
要 ．
A．树200课，花200盆． B．树202课，花200盆．*
C．树202课，花202盆． D．树200课，花202盆．
分析：共需树，共需花．
2．（2004）在一条长3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 米原已挖好一个坑，现改为每隔60 米立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ D ）．
A . 50 和40 B . 40 和 50 C . 60 和30 D . 30 和60
分析：40和60的最小公倍数是120，在120米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是30 和60．
四、运动问题
（2004）在一条公路上，汽车A 、B 、C 分别以每小时80 、70 、50 公里的速度匀速行驶，汽车A 从甲站开向乙站，同时车B 、车C 从乙站出发与车A 相向而行开往甲站，途中车A 与车B 相遇两小时后再与车C 相遇，那么甲乙两站相距（ D ）.
A . 2010 公里 B . 2005 公里 C . 1690 公里 D . 1950 公里
分析：设甲乙两站相距公里，则，解得 ．
五、简单方程应用问题
1．单位量与总量问题、
（1）（2004）某校有若干女生住校，若每间房住4 人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有－间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ C ）
A . 4 B . 5 C . 6 D . 7
分析：设女生宿舍的房间数为，则，解得．
注：选项验证法。
（2）（2005）某项工程8个人用35天完成了全工程量的，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ）．
A.18 B.35 C.40 D.60
分析：设完成剩余的工程还需要的天数是，则，故，即正确选项为C．
2．和倍、差倍、和差问题
小明今年一家四口人，全家年龄之和为岁，父亲比母亲大一岁，姐姐比小明大两岁，四年前全家年龄之和为岁，则父亲今年多少岁？(D)
(A) (B) (C) (D)
六、分数（比）、百分数应用问题
1．（2003）某工厂产值三月份比二月的增加，四月份比三月的减少，那么 ．
A．四月份与二月份产值相等． B．四月份比二月份产值增加．
C．四月份比二月份产值减少． D．四月份比二月份产值减少．*
分析：设二月份的产值为 ，则四月份的产值为 ，所以四月份比二月份产值少

2．（2004）甲、乙两种茶叶以x : y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50 元，乙种每斤40 元，现甲种茶价格上涨10 % ，乙种茶价格下降10 % 后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 等于（ C ）.
A . 1 : 1 B . 5 : 4 C . 4 : 5 D . 5 : 6
分析：由于，所以．
3．（2005）2005年，我国甲省人口是全国人口的%，其生产总值占国内生产总值的%；乙省人口是全国人口的%，其生产总值占国内生产总值的%，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ）．
A. B. C. D.
分析：设全国人口为p，国内生产总值为h，则甲省人均生产总值为，乙省人均生产总值为，所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是，即正确选项为D。
4．（2006）一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量为（B）升。
A. 2.55 B. 3 C. 2.45 D.4
分析：根据题意，，即，解得。
七、其他问题
1．一顾客去甲商店买价格为元的鞋子，给了甲店主一张元钞票，因甲没有零钱，所以到乙商店换钱，然后将鞋子和元钱一起给了该顾客，顾客走后，乙店主发现那张元钞票为假币，索要甲店主一张元真币．问甲店主赔了多少钱？(A)
(A)元 (B)元 (C)元 (D)元
2．相同表面积的立方体和球，谁的体积大？(B)
(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定
3．（2003）五支篮球队相互进行循环赛，现已知队已赛过4场，队已赛过3场，队已赛过2场，队已赛过1场，则此时队已赛过 ．
A．1场． B．2场．* C．3场． D．4场．

A
B
C
D
E
A

T
T
T
T
B
T

T

T
C

D

E

注：排除法，利用奇、偶数性质。
4．（2006）100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（D）人。
A .25 B.15 C.5 D.3
分析：根据题意，既有电脑又有手机的人数为 ，所以有电脑但没有手机的人数是。
解法2：根据题意，24个没有电脑的人中15个人有手机，因此既没手机又没有电脑的人只有9人，从而在12个没有手机的人中只有3人有电脑。

第二部分 代数
[内容综述]
一、数和代数式
1．实数的运算
（1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）

（2）绝对值
2．复数的运算及其几何意义 （虚数单位、实部、虚部、共轭复数、模、幅角）
， ，，

；
，；
，
；

3．几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）
； ；
； ；
； ．
二、集合与函数（微积分）
1．集合运算（交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律）

2．函数
（1）概念（定义、两要素、图形、反函数）
，
（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）

（3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）

三、代数方程：
1．二元一次方程组解的存在性
2．一元二次方程
（1）求根公式（判别式）；（2）根与系数的关系
，；
3．二次函数的图像（开口、对称轴、顶点坐标）、

四、不等式
1．不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式）
性质：

基本不等式：，
2．几种常见不等式的解法
绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等
，；
五、数列
1．数列的概念（数列、通项、前项的和、各项的和、数列与数集的区别）
，
2．等差数列
（1）概念（定义、通项、前项的和）；（2）简单性质：中项公式、平均值

3．等比数列
（1）概念（定义、通项、前项的和）；（2）简单性质：中项公式

六、排列、组合、二项式定理
1．分类求和原理与分步求积原理
2．排列与排列数
（1）定义；（2）公式
注 阶乘（全排列）
3．组合与组合数
（1）定义；（2）公式；
（3）基本性质：
4．二项式定理：
七、古典概率问题
1．基本概念：必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件
2．概率的概念与性质
（1）定义（非负性、规范性、可加性）；
（2）性质：，，
3．几种特殊事件发生的概率
（1）等可能事件（古典概型）
（2）互不相容事件 ；对立事件
（3）相互独立事件
（4）独立重复试验
如果在一次试验中某事件发生的概率为，那么在此独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为 ．
[典型例题]
一、数和代数式
1．若且，则的最小值是[ B ]
(A) (B) (C) (D)

分析：表示复数对应的点在以点为圆心、半径是的圆周上，最小，是指复数对应的点到点的距离最短，此最短距离为．
2．如果整除，则实数[ D ]
(A)0 (B)-1 (C)2 (D) 2或
分析：能够整除说明是的一个因子，因此当时，的值应为，即
，
解得 或．
二、集合和函数
1．已知，函数的图像关于原点对称的充分必要条件是[ D ]
(A) (B) (C) (D)
分析：函数的图像关于原点对称的充分必要条件是函数为奇函数，故其偶次项的系数为，即．
注：也可利用求得，再说明当时，的图像关于原点对称.
2．设，且，那么[ B ]
(A) (B)
(C) (D)
分析：由于，所以选项(A)(C)不正确．
根据 及可知
．

三、代数方程和简单的超越方程
1．设，若是方程的两个根，求，．
分析：根据韦达定理可知 ，所以
；
；
．

2．指数方程组的解[ A ]
(A)只有一组 (B)只有两组
(C)有无穷多组 (D)不存在
分析：在方程组中每个方程的两端取对数，得

由于与的系数不成比例，所以此方程组只有一组解．
四、不等式
已知集合，集合，若，求得取值范围．
分析：．
当时，；当时，．
所以当时，不会有；当时，若，则．
五、数列
1．设是一等差数列，且，求和．
分析：由于，所以
；
．
2．设是一等比数列，且，求和．
分析：设数列的公比为，则，所以
；
或 ；
．
六、排列、组合、二项式定理
1．5个男生和2个女生拍成一排照相．
（1）共有多少种排法？（）
（2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（）
2．100件产品中，只有3件次品，从中任取3件，
（1）恰有一件次品的取法有多少种？
（2）至少有一件次品的取法有多少种？
（3）至多有两件次品的取法有多少种？
3．求展开式中所有无理项系数之和．
分析：无理项指的是的指数是非整数的项，根据二项式定理可知要求的和为
．
七、古典概率问题
1．在100件产品中，只有5件次品．从中任取两件，
（1）两件都是合格品的概率是多少？
（2）两件都是次品的概率是多少？
（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？
2．甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是和．
（1）两人都投中的概率是多少？
（2）恰有一人投中的概率是多少？
（3）至少有一人投中的概率是多少？
3．将10个球等可能地放到15个盒子中去，求下列事件的概率：
（1）某指定的10个盒子中各有1个球；
（2）正好有10个盒子中各有1个球．
[样题与真题]
一、基本概念
1．求阶乘不超过的最大整数[ ]
(A) (B) (C) (D)
2．（2004）实数在数轴上的位置如下图表示，
O
b
a
c

图中O为原点，则代数式（ A ）．
A． B． C． D．
分析：因为，所以
．
3．（2004）表示的幅角，今又，则（ D ）．
A． B． C． D．

分析：由于，所以．
注：排除法。
4．（2005）复数
A.4 B.2 C.2 D.
分析：因为，所以，即正确选项为C．
5。（2006）复数的共轭复数是（ A ）.
A. B. C. 1 D.
分析：由于，所以。
二、函数运算
1．设函数，，则[ A ]
(A) (B) (C) (D)
分析：，．
三、乘方运算
1．在连乘式展开式中，前面的系数为[ C ]
(A) (B) (C) (D)
分析：

2．（2003）已知实数和满足条件和，则的值是 ．
A．．* B．． C．． D．．
根据条件，得
或
解得 或
3．（2005）设为正数，则
A. B.
C. D.
分析：选项验证法。由于，，，，根据题意便知正确选项为C．
4．（2005）已知，则
A.50 B.75 C.100 D.105
分析：由于，所以，从而，故正确选项为B．
四、代数方程、一元二次函数
1．设，则函数的最大值为[ C ]
(A) (B) (C) (D)
分析： 如图：最大值只可能在端点取到．
2．（2003）函数在上单调增的充要条件是 ．
A．，且． B．，且．
C．，且．* D．，且．
分析：根据题意，抛物线的开口朝上、对称轴在轴左侧，故，所以，且．
3．（2004）已知，且满足和，则（ B ）．
A． B． C． D．
分析：由于，且，所以
当时，，
当时，，
从而有．
或根据，也可以推出有．
4．（2006）方程，所有实数根的和等于（ C ）。
A.2006 B.4 C.0 D.
分析：
当时，；
当时，。
所以方程的所有实数根的和等于。
5．（2006）设二次函数的对称轴为，其图像过点（2，0），则（ D ）。
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
分析：根据题意，所以，从而
。
五、幂、指、对函数
比较 与谁大？[ B ]
(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定
分析：考虑函数则；
．
六、函数简单性质
1．函数是[ B ]
(A)周期函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)单调减少函数
分析：
注：排除法与特殊值代入法。。
2．（2003）函数与的图形关于 ．
A．直线对称． B．直线对称．
C．轴对称． D．轴对称．*
分析：记，由于，所以曲线上的点关于直线的对称点在曲线上．
注：特殊值代入法。取特殊函数进行判定．
七、不等式
（2004）设均为正数，若，则( A).．
A． B． C． D．
分析：选项验证法。当时，正分数的分子依次增大、分母依次减小，所以．
八、数列
1．（2005）三个不相同的非0实数成等差数列，又恰成等比数列，则等于（ ）．
A.4 B.2 C. D.
分析：根据条件可知，从而，，由于，所以，，即正确选项为A．
注：本题根据，及可直接用排除法得到正确选项A．
2．（2006）设n为正整数，在1与n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（A ）。
A. B. C. D.
分析：（本题是代数题。考查了乘方运算的性质、等比数列的概念和通项公式）
设此等比数列的公比为，则，即，所以
。
九、排列组合
1．5棵大小不同的柳树，6棵大小不同的杨树，载到5坑内，一坑一棵，5个坑内至多载两棵柳树，5个坑都载了，有多少种载法？
(A) 281 (B) 200 (C) 81 (D)275
十、古典概率
1．现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？[ ]
(A)第一个人 (B)第二个人 (C)第三个人 (D)一样大
2．袋中有3个黄球,2个红球，1个兰球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，（都）取得红球的概率是（ ）
(A) (B) (C) (D)
分析：，或．
3．（2003）一批产品的次品率为，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 ．
A．．* B．． C．． D．．
分析：，或 ．
4．（2004）将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（C ）．
A． B． C．* D．
分析：将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，共有种放法，3个空格相连的放法有6种（），所求概率为．
5．（2005）任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）．
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
分析：当所取正整数的个位数是2或8时，其平方数的末位数字就是4，所有正整数的个位数只有1，2，3，4，5，6，7，8，9，0等十种可能，所以要求的概率是，即正确选项为B．
6．（2006）桌上有中文书6本，英文书6本，俄文书3本，从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（ ）。
A. B. C. D.
答：C
分析：（本题是概率题。考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式）
所求概率为 。

第三部分 几何（与三角）
[内容综述]
一、平面几何图形
1．三角形
（1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积）

（2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）
2．四边形
（1）矩形（正方形）；（2）平行四边形（菱形）；（3）梯形
3．圆和扇形
（1）圆(周长、面积、弦、圆周角、圆心角)

（2）扇形
4．平面图形的相似关系
注：正多边形的内角和、椭圆的面积

二、空间几何体
1．长方体（正方体）
2．圆柱体
3．圆锥体

4．球

三、三角函数
1．定义（符号，特殊角的三角函数值）

2．三角函数的图像和性质（微积分）

3．常用的三角函数恒等式
同角恒等式：
两角和公式：
诱导公式：
注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理）．
4.反三角函数

四、平面直线
1．直线方程（倾角、斜率，点斜式、斜截式、截距式、一般式）

2．两条直线的位置关系（相交，平行，垂直）
；；
平行但不重合：；重合：；垂直：
3．点到直线的距离
，，
注：直线与圆等平面图形的位置关系
五、圆锥曲线
1． 圆

2．椭圆
（1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合．
（2）方程；
（3）图像；（4）离心率；
（5）准线
3．双曲线
（1）定义：到两定点距离之差的绝对值为一常数的点的集合．
（2）方程；

（3）图像；（4）离心率；
（5）渐近线；（6）准线
4．抛物线
（1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合．
（2）方程；
，
（3）图像；（4）离心率 ；（5）准线

[典型例题]
1．已知，求．

分析：由于，
，所以．
2．设，，求
（1）的最大值；
（2）时的值．
分析：由于

所以的最大值为；
当时，有，即．
3．设三角形的三条边分别为，面积为，已知，求．
分析：根据及可得 ，所以
．
当时，有 ；
当时，有．
4．如果与均是锐角，且，那么
．
分析：

5．已知直线，求点关于的对称点。

A

分析：设所求的点为，则直线与直线垂直，且线段的中点在直线上，所以

解得 ．
6．双曲线的右准线与两条渐近线交于两点，若以为直径的圆经过右焦点，求该双曲线的离心率．
F

分析：双曲线的右准线为 ，两条渐近线方程为，所以线段的长度为．根据题意可知
，
即，所以，从而，因此
．
7．写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
分析：将化为标准形式为
，
所以焦点坐标为 ,准线方程为 ．
[样题与真题]
一、平面几何
1．一张（圆形）饼平铺，若切三刀，最多切成几块？[ ]
(A) (B) (C) (D)

2.如图，弦长，则它们所对的圆周角哪个大？[ ]
(A) (B) (C)一样大 (D)无法确定
a
b

3．如图，一个长为的梯子，端只能在竖直墙面上滑动，端只能在地面上滑动，则梯子与墙面和地面所围成的面积最大时，角应为多大？
(A) (B) (C) (D)

4．如图，矩行与椭圆相切，则椭圆面积与矩形面积之比和相比较谁大？[ ]
(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定

5．一个三角形的边长分别为，则此三角形的面积为[ ]
(A) (B) (C) (D)
6．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比应为[ ]
(A) (B) (C) (D)无法确定
7．（2003）如图，正方形的面积为，和分别是和的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
A．． B．． C．．* D．．
C
B
E
F
G
O
H

分析 如图，阴影部分的面积为．因为G是三角形BCD的中心，所以，从而三角形DGC，DHG，DHA的面积相等，都是．由于三角形GFC在底边FC上的高是三角形DFC在底边FC上的高的，所以三角形GFC的面积是三角形GCD面积的一半．综上，阴影部分的面积为．
8．（2004）如图，直角中为直角，点E和D，F分别在直角边AC和斜边AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，则（ ）．
A． B． C． * D．

A
C
B
E
D
F

分析

A
B
C
E
D
F
2A
3A
4A
4A

如图，根据条件可知，三角形AFE，FED，DCB都是等腰三角形．根据三角形的外角等于不相临的两个内角和及对顶角相等，可知角EFD的大小为2A，角CED的大小为3A，角BDC的大小为4A，所以角A和角B之和为5A，从而．
或
B
C
A
E
D
F
2A
3A
4A
4A

9．（2004）如图，长方形ABCD由4个等腰直角三角形和一个正方形EFGH构成，若长方形ABCD的面积为，则正方形EFGH的面积为（ ）．
A． B． C． * D．
D
A
B
C
G
H

分析 设小正方形的边长是，则GC的长度是，HB的长度是，AD的长度是，所以，从而．
注：．
10．(2004) 在圆心为O，半径为15的圆内有一点P，若OP=12，则在过P点的弦中，长度为整数的有（ ）．
A．14条 B．13条* C．12条 D．11条
分析
O
P
A

如图，过P且与直径垂直的弦的长度是，这也是过P点的弦中长度最短的，由于直径是过P点的弦中最长的一条，所以过P点的弦中长度为整数的有条．
注：按本题的问法，考虑到对称性，结果应为24条．但选项中没有这个选项．
11．（2004）中，AB=5，AC=3，，该三角形BC边上的中线长是的函数，则当在中变化时，函数取值的范围是（ ）．
A．（0，5） B．（1，4）* C．（3，4） D．（2，5）
分析
A
B
C
f(x)
3
5

如图，当在内变化时，BC边上的中线长f(x)的变化范围是．
12．（2005）在四边形ABCD中对角线AC，BD垂直相交于O点．若AC=30，BD=36，则四边形ABCD的面积为（ ）．
A.1080 B.840 C.720 D.540
分析：
A
B
C
D

如图，易知四边形ABCD的面积等于与的面积之和，其值为，即正确选项为D．
13．（2005）在中，AB=10，AC=8，BC=6．过C点以C到AB的距离为直径作一圆，该圆与AB有公共点，且交AC于M，交BC于N，则MN等于（ ）．
A. B. C. D.
分析：
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｐ

如图，根据条件可知是直角三角形，由于ＣＰ是圆的直径，所以圆周角ＣＭＰ和ＣＮＰ都是直角，从而ＭＮ和ＣＰ都是长方形ＭＣＮＰ的对角线，所以，故正确选项为Ｂ．
14．（2006）如右图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB＝10厘米，则图中阴影部分的面积为（　B ）平方厘米。
MN
N
A
B

A.10π B.12.5π C.20π D.25π
分析：记大圆半径为、小圆半径为，则根据题意可知，所以图中阴影部分的面积为 。
D
15．（2006）已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如右图所示，则阴影三角形的面积等于（ B ）。
4
8
B
C
A
O

A. 8 B. 10 C.12 D. 14
分析：如图，易知与全等，从而，解得，所以阴影三角形的面积等于。
16．（2006）.如右图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于，那么光线与地平面所成的角度是（ B ）。
A
B

A. 15° B. 30° C.45° D.60°
分析：设半圆的半径为，则半椭圆的一条半轴为，记其另一半轴为。根据题意可知
，
R
b

如图可知度。
二、空间几何体
1．（2003）已知两平行平面之间的距离为，是平面内的一条直线，则在平面内与直线平行且距离为的直线有 ．
A．条． B．条． C．条．* D．条．

2．（2003）正圆锥的全面积是侧面积的倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为 ．
A．． B．．* C．． D．．
分析：设正圆锥的底面半径为，母线长为，则，即，所以．故正确选项为B．

3．（2005）一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如右图所示（单位：分米）．若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次．
A.6 B.8 C.12 D.16

分析：甲容器的容积是，乙容器的容积是，所以若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水8次，即正确选项为B．
4．（2006）一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ D ）。
20cm
10cm

A. B. cm C. cm D. cm
分析：将球取出后，假设水面下降了cm，则
，
解得 ，所以容器中水面的高度为。
三、平面解析几何
1．直线与圆的位置关系为[ C ]
(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)无法确定
分析：圆心到直线的距离 ．
2．已知三角形的三个顶点的坐标分别为，则其周长是[ ]
(A) (B)
(C) (D)
3．（2003）过点作圆的切线和，是两个切点，则所在直线的方程为 ．
A．． B．． C．． D．．*
分析：如图，直线AB的方程为．
P
A
B
O

4．（2003）设点在圆的内部，则直线和圆 ．
A．不相交．* B．有一个交点．
C．有两个交点且两交点间的距离小于．
D．有两个交点且两交点间的距离大于．
分析：根据题意可知，的圆心到直线的距离是，所以直线与圆不相交．
注：特殊值代入法。
5．（2004）直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（ ）．
A．x-2y=1* B.x+2y=1 C.2x+y=1 D.2x-y=1
分析
x+y=0
+
2x-y=1
-1
1/2
1
-1/2

如图，由于直线过点，这两点关于直线的对称点分别是，故直线过点，所以其方程为．
6．（2005）已知为反比例函数图像上的一点，过分别作两坐标轴的平行线，交轴于，交轴于，则的面积为（ ）．
A. B.1 C. D.
分析：
Ｍ
Ｐ
Ｎ

如图，的面积为，即正确选项为C．
7．（2005）设一个圆的圆心为，该圆与坐标轴交于A，B两点，则到坐标原点的距离是（ ）．
A.2 B.8 C.10 D.10
分析：A
B

由于AB是圆的一条弦，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，从而．到坐标原点的距离是，即正确答案为C．
8．（2005）已知，若圆的圆心在第四象限，则方程的图形是（ ）．
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
分析：由于圆的圆心在第四象限，所以，从而的图形是一个椭圆，即正确选项为B．

9．（2006）P(a,b) 是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如右图所示，则的最大值与最小值依次是（A ）。
y
A（ ） D( )
·P(a,b)
B(m,q) C(n,q)
x
0

A. B. C. D.
分析：由于过点和原点的直线方程为，即是该直线的斜率。由图可知满足题意最大斜率值是、最小斜率值是。
10．（2006）在平面α上给定线段AB=2，在α上的动点C，使得A，B，C恰为一个三角形的3个顶点，且线段AC与BC的长是两个不等的正整数，则动点C所有可能的位置必定在某（ C ）上。
A． 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线
分析：不妨假设比长，由于AC与BC的长是