数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴.doc

数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴
一、圆幂的定义：
在平面上，从点作半径为的圆的割线，从起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点对于此圆周的圆幂.

圆幂定理：
（1）当在圆外时，点对于此圆的幂等于；
（2）当在圆内时，点对于此圆的幂等于；
（3）当在圆上时，规定：点对于此圆的幂等于.

二、根轴及其性质
1.根轴的定义：
对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.

2.根轴的性质：
（1）若两圆与相离（半径分别为，且），点为的中点，点在线段上，且，则此两圆的根轴是过点且垂直于的直线.特别地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段的中垂线.

（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.

（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.

（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.

（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.

（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）.
思考：能否从解析几何的角度看根轴？

三、例题
例1 如图，设和分别是的内心和外心，和分别是的内切圆和
外接圆的半径，过作的外接圆的弦.
求证：（1）；
（2）；
（3）.（欧拉公式）

例2 如图，设圆与圆相离，引它们的一条外公切线切圆于，切圆于，
又引它们的一条内公切线切圆于，切圆于，
求证：（1）；（2）直线是分别以，为直径的圆，的根轴；（3）直线和的交点在两圆的连心线上 .

例3（1997年全国联赛）已知两个半径不相等的与相交于，两点，且，分别与内切于，两点，，，三点共线，求证：.

四、练习题
1.点，为的边，上的点，分别以，为直径的圆与交于点，.求证：的垂心在直线上.

2. （第36届IMO）设、、、是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以，为直径的圆，交于点，，直线交于点.若为直线上异于的一点，直线与交圆于点及，直线与交圆于点及.
求证：
（1），，，四点共圆；
（2），，，四点共圆；
（3），，共点.

3. （第40届IMO国家队选拔题）凸四边形的四边满足，圆分别与凸四边形的，两边相切于，两点，与对角线相交于，两点.求证：存在另一个过，两点，且分别与，的延长线相切的圆.

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