数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴.doc

数学竞赛辅导讲义圆幂与根轴一、圆幂的定义：在平面上，从点作半径为的圆的割线，从起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点对于此圆周的圆幂.圆幂定理：（1）当在圆外时，点对于此圆的幂等于；（2）当在圆内时，点对于此圆的幂等于；（3）当在圆上时，规定：点对于此圆的幂等于.二、根轴及其性质1.根轴的定义：对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.2.根轴的性质：（1）若两圆与相离（半径分别为，且），点为的中点，点在线段上，且，则此两圆的根轴是过点且垂直于的直线.特别地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段的中垂线.（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）.思考：能否从解析几何的角度看根轴？三、例题例1 如图，设和分别是的内心和外心，和分别是的内切圆和外接圆的半径，过作的外接圆的弦.求证：（1）；（2）；（3）.（欧拉公式）例2 如图，设圆与圆相离，引它们的一条外公切线切圆于，切圆于，又引它们的一条内公切线切圆于，切圆于，求证：（1）；（2）直线是分别以，为直径的圆，的根轴；（3）直线和的交点在两圆的连心线上 .例3（1997年全国联赛）已知两个半径不相等的与相交于，两点，且，分别与内切于，两点，三点共线，求证：. 四、练习题1.点，为的边，上的点，分别以，为直径的圆与交于点，.求证：的垂心在直线上.2. （第36届IMO）设、是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以，为直径的圆，交于点，直线交于点.若为直线上异于的一点，直线与交圆于点及，直线与交圆于点及.求证：（1），四点共圆；（2），四点共圆；（3），共点.3. （第40届IMO国家队选拔题）凸四边形的四边满足，圆分别与凸四边形的，两边相切于，两点，与对角线相交于，两点.求证：存在另一个过，两点，且分别与，的延长线相切的圆.4