第三讲空间向量与立体几何.doc

第三讲 空间向量与立体几何

一、规律与方法总结
1.两条异面直线所成角的求法
设直线a,b 的方向向量为，其夹角为，则（其中为异面直线a,b 所成的角）。
2.直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e ,平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向理e 与n 的夹角为，则有，或者。

3.二面角的求法
①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，（m,n）即为所求二面角的平面角。
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求。
如图所示，二面角，平面的法向量为n1,平面向量的法向量为n2,<n1,n2>=,则二面直角的大小为或。

类型一 利用空间向量证明空间位置关系
例1 如图所示，已知向量直三棱ABC-A1B1C1中，为等腰三角形，∠BAC=900 ，且AB=AA1，D、E、分别为B1A、C1C、BC的中点。

（1）DE//平面ABC；
（2）B1F⊥AEF。
证明：如图建立空间直角坐标系A-xyz，令AB=AA1=4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B１（4，0，4）。
（1）取AB中点为N，则N（2，0，0），C（0，4，0），D（2，0，2），
∴，， 平面ABC，DE平面ABC。
（2），
即
即又平面AEF。

变式拓展
1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=900，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、E、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。
求证：（1）B1D⊥平面ABD；
（2）平面EGF//平面ABD。
证明：（1）如图所示，以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0，），D（0，2，2），B1（0，0，4）设BA=a，则A（a,0,0）,所以，即因此平面ABD。
（2）E（0，0，3），G（），F（0，1，4），则，
即因此B1D⊥EGF。结合（1）可知平面EGF//平面ABD。

类型二 利用空间向量求线线角、线面角
例2 如图，已知四棱椎P-ABCD的底面为等腰梯开，AB//CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点。
（1）证明：PE⊥BC；
（2）若∠APB=∠ADB=600，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。

解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0）B（0，1，0）。
（1）证明：设C（m,0,0）,P(0,0,n)(m＜0,n＞0),可得。
（2）由已知条件可得故，，
设n=(x,y,z)为平面PEH的法向量，则，即因此可以取n=(1,).由可得

变式拓展
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA=AB=BC=
（1）求PB与AD所成的角。
（2）求直线PD与面PAC所成的角的余弦值。
（1），
.

.
，与CD所成的角为600。
（2），，设m=(x,y,z)是平面PAC的一个法向量
则即即x=-y,z=0.x=1,则m=(1,-1,0),
设直线PD与面PAC所成的角为，

即直线PD与PAC所成角的余弦值为。

类型三 利用空间向量求二面角
例3 如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=
（1）证明：EB⊥FD；
（2）已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得FQ=求平面BED与平面R所成二面角的正弦值。
（1）证明：中点，AB=BC，AC为直径，

又平面B。
平面B
(2)解：如图，以B为原点，为轴正方向，为轴正方向，过B作平面的垂线，建立空间直角坐标系，由此得B（0，0，0），。

。
设平面的法向量为,
则

平面BE与平面所成二面角的正弦值为。

变式拓展
如图，在长方体中，分别是上的点，
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）证明平面；
（3）求二面角的正弦值。
解：如图所示 ，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设，依题意得，

（1）易得。
于是
所以异面直线与所成角的余弦值为。
（2）证明：易知，
，于是因此又所以平面
（3）设平面的法向量
则即不妨令=1，可得
由（2）可知，为平面的一个法向量。
于是
从而
所以二面角的正弦值为。

题型热点交汇
例4 如图所示，在正方体中，是棱的中点。
（1）求直线和平面所成的角的正弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论。
解：设正方体的棱长为1。如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系。
（1）依题意，得，，，所以=。
在正方体中，因为平面，所以是平面的一个法向量。设直线和平面所成的角为，则
即直线和平面所成的角的正弦值为。
（2）依题意，得，
设是平面的一个法向量，则由
得所以取，得设是棱上的点，则又，所以。而平面于是平面为的中点，这说明在棱上存在点，使平面

变式拓展
4.如图所示，直三棱柱中，分别为的中点，平面
（1）设二面角为600，求与所成角的大小。
（1）证明：以A为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立坐标系（见题图）
设则，
由平面，知
求得。
所以
（2）解：设平面的法向量则
又故令
则又平面的法向量由二面角为600知
故由得，于是，。。所以与平面所成的角为300。
8