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2010届高三数学热身练试卷
一、填空题：
1．集合，则中有 ▲ 个元素。4
Read x
If x＜3 Then
y←2x
ElseIf x＝3 Then
y←2
Else
y←log2x－1
EndIf
Print y
第 4 题
2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于 ▲ ．0
3．在直角坐标系xOy中，设集合，在区域内任取一点P（x，y），则满足的概率等于 ▲ ．
4． 如图所示的伪代码表示的一个算法，当输入值x＝4时，输出值y为 ▲ ．
1
5．若曲线的一条切线l与直线x+4y－8=0垂直，则切线l的方程
为 ▲ ．
6．在等差数列中，如果， ，．那么等于 ▲ ．15
解：．
7．命题 “不存在实数a，”的否定为 ▲ 命题．（填“真”或“假”）
8．若将函数的图象向左移个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数的最小值为 ▲ .
9．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，，D是AC的中点．则·＝ ▲ ．-6
10．a，b是正实数，则 (2a＋)2＋(2b＋)2的最小值是 ▲ ．16
11．已知数列中，为其前n项之和，若，且，则S2012= ▲ ．4023
A
B
O
（第12题）
12．哥特式建筑的窗户上常常可以见到如图所示的图形．该图形由直线AB和两个圆弧围成，其中一个圆的圆心为A，另一个圆的圆心为B，而且两圆彼此通过对方的圆心，圆O为其内切圆．若AB＝a，则内切圆O的半径是 ▲ ．
13．已知函数f(x)=，无论t取何值，函数f(x)在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a的取值范围是 ▲ ． a≤．
解：若2a-1>0，一次函数单调递增，t充分大时，函数f(x)必定单调递增．
若2a-1<0，一次函数单调递减．而三次函数在某一时刻一定单调递增．因而不存在单调性．
若2a-1=0，一次函数不存在单调性．所以2a-1≤0
14．在平面直角坐标系xoy中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为 ▲ ． 1
解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，
设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：.
对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得 a=1或a=－7。
即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。

二、解答题
15．已知a＝(cosa，sina)，b＝(cosb，sinb)，c＝(1，7sina)，且0＜b＜a＜．
若a×b＝，a∥c．（1）求b的值；（2）求cos(2a－b)的值．
解：（1）由a×b＝，得cos(a－b)＝，由a∥c得cosa＝．
因为0＜b＜a＜，所以a－b∈(0，)，所以sin(a－b)＝，sina＝．
sinb＝sin[a－(a－b)]＝sinacos(a－b)－cosasin(a－b)＝×－×＝，
由0＜b＜可得b＝．
（2）由（1）得b＝．所以由cos(a－b)＝得cos(a－)＝．
所以cos(2a－b)＝cos(2a－)＝cos[2(a－)＋]＝－sin2(a－)
＝－2sin(a－)cos(a－)＝－．

A
B
C
D
E
16．如图，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE是直角梯形，∠BED＝90°，BE∥CD，AB＝6，BC＝5，＝，侧面ABE^底面BCDE．且ÐBAE＝90°．
（1）求证：平面ADE^平面ABE；
（2）过点D作平面a∥平面ABC，分别与BE，AE
交于点F，G，求△DFG的面积．
证明：（1）因为侧面ABE^底面BCDE，侧面ABE∩底面BCDE＝BE，DEÌ平面BCDE，DE^BE，所以DE^平面ABE．因为ABÌ平面ABE，所以AB^AE．
因为AB^AE，ADÌ平面ADE，AEÌ平面ADE，AD∩AE＝A，所以AB^平面ADE．
因为ABÌ平面ABE，所以平面ADE^平面ABE．
（2）因为a∥平面ABC，平面BCDE∩a＝DF，平面BCDE∩平面ABC＝BC，所以DF∥BC．同理FG∥AB．
A
B
C
D
E
G
F
因为CD∥BE，所以BCDF为平行四边形．
所以DF＝BC＝5，CD＝BF．
因为＝，所以＝，所以FG＝×AB＝4．
由（1）易证FG^平面ADE，FGÌ平面ADG，
所以FG^DG．所以DG＝3，S△DFG＝6．

17．如图所示，在一条海防警戒线上的点、、处各有一个水声监测点，、两点到点的距离分别为千米和千米．某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒．
P
A
B
C
20
30
（1）设到的距离为千米，用表示，到的距离，并求的值；
（2）求到海防警戒线的距离．
解：依题意，有，[来源:Zxxk.Com]
. …………2分[来源:Z.xx.k.Com][来源:学科网]
在△PAB中，AB=20
…………4分
同理，在△PAB中，AC=50
…………6分
∵ ∴ 解之，得…………8分[来源:Z*xx*k.Com]
(2)作PD在△ADP中，
由 得 …………12分[来源:
∴千米
答：静止目标到海防警戒线的距离为千米。…………14分

18．已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）（ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；
（ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；
（2）设直线与轴、轴分别交于点，，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．
解：（1）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，
圆： ，∴ ，
∴ ， ，∴．
（ⅱ）由及圆的性质，可得，
∴∴
∴，． ---------------- 6分
（2）设0，则

整理得

∴方程为：，
方程为：．
从而直线AB的方程为：．
令，得，令，得，
∴，
∴为定值，定值是． ----------------16分

19．已知数列{an} (n∈N*)满足：a1＝1，an＋1 an＋p an＋1＝an，这里p是正实数．
（1）求证：对于任意的n∈N*，an ≠0；
（2）当p＝1时，求证：数 一定是一个完全平方数 (n∈N*)；
（3）当p＝2时，若2010 an＜1，求最小正整数n．
解：（1）方法一：由a1＝1及得，从而，…．
依此下去，可以推知．
故对于任意的n∈N*，an ＞0，即an≠0． ……………分
方法二（反证法）：.假设存在一个正整数k，使ak＝0，则由题设，得，…．依此下去，可以推知，这与矛盾．
故对于任意的n∈N*，an ＞0，即an≠0． ……………分
（2）当p＝1时，由题设及结论（1）得 －=1． ……………分
因为a1＝1，所以数列{}是首项为1、公差为1的等差数列，即有 ＝n，an＝．
于是 ＝n2，这是一个完全平方数． ………………分
（3）当p＝2时，由题设及结论（1）得 －=1．
令＝bn，则bn＋1＝2bn＋1，所以bn＋1＋1＝2(bn＋1)． ………………分
由a1＝1得b1＋1＝2．所以数列{bn＋1}是首项为2、公比为2的等比数列，即
bn＋1＝2n，得 bn＝2n－1，从而an＝．
由2010 an＜1得 ＜1，即2n＞2011．
故满足条件的最小的正整数n＝11． ………………分

20．若函数f(x)＝x4－x3－1的图像与x轴所有交点的横坐标的和与积分别为a，b．
（1）求证：f(x)的图像与x轴恰有两个交点；
（2）求证：a2＝b－b3；
（3）求证：a＞，b＜－．
解：（1）因为f′(x)＝4x3－3x2＝x2 (4x－3)，所以x＝是使f(x)取到最小值的惟一的值，
且在区间(－∞，)上，函数f(x)单调递减；在区间 (，＋∞)上，函数f(x)单调递增．
…………………分
因为f()＜0，f(－1)＞0，f(2)＞0，所以f(x)的图像与x轴恰有两个交点．……分
（2）设x1，x2是方程f(x)=0的两个实根，则f(x)有因式，且可令f(x)＝. 于是有
. ①
分别比较①式中常数项和含x3的项的系数，得 bq＝－1， p－a＝－1，
解得q＝－，p＝a－1．
所以x4－x3－1＝． …………………分
分别比较①式中含x和x2的项的系数，得
， ②
． ③
②×a + ③×b得，即． …………………分
（3）因为方程无实根，所以判别式，得b＜0．
又 ≥0，得b2≥1，从而b≤－1．
于是由②式得≥，从而推得
≥． …………………分
令，则易知函数在区间(－∞，－1)上单调递减，且当时．于是由
，得，即．
从而推知． …………………分

数学加试题
21.【选做题】在A、B、c、D四道题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4一l：几何证明选讲
在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N．若AC=AB，
A
B
C
M
N
第21－A题
O
求证：BN=2AM．

B．选修4—2　矩阵与变换

已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
解：（1）由=，（2分） ∴. （3分）
（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为
（5分）
令，得矩阵的特征值为与4. （6分）
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （8分）
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. （10分）

C．选修4—4　参数方程与极坐标
求圆被直线（是参数截得的弦长.

　将极坐标方程转化成直角坐标方程：
即：，即；（4分）
即：（7分）
所以圆心到直线的距离，即直线经过圆心，（9分）
所以直线截得的弦长为.（10分）

D．选修4-5：不等式选讲
已知为正数，求证：.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）随机抽取某厂的某种产品200件，经检验，其中一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件，已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元。设1件产品获得的利润为（单位：万元）。
（1） 求的分布列；
（2） 求1件产品的平均利润
（3） 经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%。如果此时要求生产1件产品获得的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

23．在数列、中，已知，，且、、成等比数列，、、成等差数列，（）
（1）求、、及、、,由此猜想、的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：.
解：（1）由已知、、成等比数列，、、成等差数列，（）
， ，，，代入计算得:
，，，
，，， _______3分
由此猜想， ，_______5分
证明：（1）当，由上面计算知猜想的结论成立；
（2）假设当时结论成立，即，，
则当时，由于，
当时，结论成立 _______7分
又
当时，也成立
由（1）（2）所证可知对任意的自然数，
结论，都成立
（2）因为
当时，由