高中数学常用公式艾西教育.doc

我们更关心孩子的未来

高中数学必修1

函数计算

分数指数幂
对数的换底公式a＞0，a≠1，M＞0，N＞0
（，且）.

(,且,,且, ).

(,且,,且,, ).

.

抽象函数

正比例函数

指数函数

对数函数

幂函数

余弦函数

正弦函数

指数函数
对数函数
定义域

值域

图象

性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数

表2
幂函数

a=－1
a=1/2
a=1
a=2
a=3

定义域
X≠0
X≥0
X∈R
X∈R
X∈R
值域
Y≠0
Y≥0
Y∈R
Y≥0
Y∈R
奇偶性
奇
非偶非奇
奇
偶
奇

高中数学必修2

立体图形计算

c底面周长，h高，
斜高，l母线
侧面积
表面积
体 积
柱
体
菱柱

圆柱

台
体
菱台

圆台

锥
体
菱锥

圆锥

球
体

S=
V=

直线方程

点斜式

直线斜率k，且过点
当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．
但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
斜截式

直线斜率为k，
直线在y轴上的截距为b
垂直：K1×K2=－1
平行：K1=K2 ， b1 ≠b2
两点式
直线两点，
截矩式

其中直线l与轴交于点（a，0）,与y轴交于点（0，b）,
即l与x轴、y轴的截距分别为a，b。
一般式

（A，B不全为0）

点和直线间的距离

两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，
则
点到直线距离公式：一点到直线的距离
两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解

圆的方程

标准方程圆心，半径为r

一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；
当时，方程不表示任何图形。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1） 设直线，圆，圆心到l的距离为，
则有；
；

（2） 设直线，圆，
先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有
；
；

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。

过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．

圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含； 当时，为同心圆。

高中数学必修4

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．
7、弧度制与角度制的换算公式：，，．
8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
Pv
x
y
A
O
M
T
11、三角函数线：，，．
12、 同角三角函数的基本关系：

；

．
13、三角函数的诱导公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
，．
，．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．
函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．

函
数
性
质

图象

定义域
R
R

值域

R
最值
当，；
当
．
当，
；
当
．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增函数
减函数
在增函数
在减函数
增函数
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
(高数2）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

向量：既有大小，又有方向的量
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为的向量．
单位向量：长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
向量加法运算
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．
⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．
⑸坐标运算：设，，则．

向量减法运算
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．

向量数乘运算
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．

向量共线定理
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．

平面向量基本定理
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，
有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

分点坐标公式
设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．

平面向量的数量积

⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则
①．
②当与同向时，；当与反向时，；或．
③．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：
设两个非零向量，，则．
若，则，或．
设，，则．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
；
；
；
；
（）；
（）．

二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
26、，其中．

高中数学必修5
正弦定理：
在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
正弦定理的变形公式：
①，，；
②，，；
③；
④．

三角形面积公式：．

余弦定理：在中，有，，
．
余弦定理的推论：，，．
设、、是的角、、的对边，
则：①若，则；
②若，则；③若，则．

数列：按照一定顺序排列着的一列数．
Ù数列的项：数列中的每一个数．
Ù有穷数列：项数有限的数列．
Ù无穷数列：项数无限的数列．
Ù递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
Ù递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
Ù常数列：各项相等的数列．
Ù摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
Ù数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
Ù数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
Ù如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
Ù由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，
则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．
Ù若等差数列的首项是，公差是，则．
通项公式的变形：
①；②；③；
④；⑤．
Ù若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．

等差数列的前项和的公式：①；②．
等差数列的前项和的性质：
①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，（其中，）．
Ù如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
Ù在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．
Ù若等比数列的首项是，公比是，则．
通项公式的变形：①；②；③；④．
Ù若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．
Ù等比数列的前项和的公式：．
Ù等比数列的前项和的性质：
①若项数为，则．
②．
③，，成等比数列．

不等式的性质：
①；
②；
③；
④，；⑤；
⑥；⑦；
⑧．
一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．
二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．
①若，，则点在直线的上方．
②若，，则点在直线的下方．
在平面直角坐标系中，已知直线．
①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．
②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．

二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式

二次函数
的图象

一元二次的根

有两个相异实数根

有两个相等实数根
没有实数根
一元二次不等式的解集

线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．
线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
Ù 设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．
Ù 均值不等式定理： 若，，则，即．
Ù 常用的基本不等式：
①；
②；
③；
④．
Ù 极值定理：设、都为正数，则有
⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．
⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．

- 14 -
I Care Education 高考数学常用公式