高二数学第一学期期末考点.doc

2012-2013苏州高二数学期末考点分析
基本点考察
考点：逻辑用语
EX1. 命题“若，则”的否命题为 ．
EX2. 若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ．
EX3. 命题“”的否定是 ．

考点：直线：
① 直线方程；
EX1. 经过点且与直线平行的直线方程是 ．
EX2. 当时，直线必过定点

EX3. 已知点和在直线的两侧，则实数的取值范若围是 ．

② 直线斜率、倾斜角、截距；
EX1.【2012高二期末】6. 设直线5x-3y-10=0在x轴上的截距为a, 在y轴上的截距为b ,则a+b= .
EX2. 已知直线的斜率为，则其倾斜角为 ．

③ 直线平行于垂直；
EX1.【2012高二期末】2. 若直线2x+3 y-1=0与直线mx-y=0垂直,则实数m的值为 .
EX2. 若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相平行，则实数m= .
EX3. 5.“直线和直线平行”的充要条件是“ ”

考点：导数意义：
几种常见函数的导数C¢= (xn) ¢= (sinx) ¢= (cosx) ¢=
(ex) ¢= (lnx) ¢= (logax) ¢=
导数的四则运算 若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则
[f(x) ± g(x)] ¢= [f(x) g(x)] ¢= []¢=
复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数yx¢=
① 导数的物理意义；
EX1. 【2012高二期末】3. 一物体的运动方程为s=1-t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t=3
秒时的瞬时速度为 米/秒。

② 导数的几何意义（曲线切线问题：切线方程、切线斜率、切点坐标）；
导数的几何意义：f ¢ (x0)是曲线y=f(x)在点P（x0，f (x0)）处的切线的 即
EX1. 曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为

EX2. 函数y=x3过点（1，0）的切线方程为

③ 利用导数求函数的单调区间；
函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b）内，如果 ，那么函数在这个区间内 ，
如果 ，那么函数在这个区间内 ，反之？
求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤：（1）求f ¢ (x) ；
(2) 解不等式f ¢ (x)>0(或f ¢ (x)<0) 或者 求解f ¢ (x)=0后列表分析；
(3) 确认并写出单调区间；
EX1. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为

考点：空间直角坐标系
点的对称问题
【2012高二期末】4. 在空间直角坐标系O-xyz中，点P（2,1,3）关于平面xoy的对称点坐标为 。

考点：空间直线的位置关系：共面（平行、相交）、异面;求值问题；
EX1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成角的大小是________________

EX2.【2012高二期末】5. 如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1-中，既与AB异面
也与CC1异面的棱为

EX3. 9.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为________．

考点：圆与圆的位置关系：
① 圆的基本量：圆心、半径、方程；
EX1. 以点C(1,1)为圆心，且与y轴相切的圆的方程是_________________

EX2. 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为 ．

② 直线与圆相切：切线方程、切线长；
EX1. 已知圆C：x²+y²-4y=0，过点（3,2）作圆的切线，则切线长等于___________

③ 直线与圆相交：弦长、弦心距、圆上的弦到直线的距离问题；
EX1. 【2012高二期末】12. 过点M（-3,1）作直线m与圆C：交于P，Q两点，若，
则直线m的方程为 。

EX2. 若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是_____________

EX3. 直线被圆截得的弦长为等于

④ 圆与圆相交：公共弦长度、所在直线的方程；
EX1. 已知圆x²+y²=m和圆x²+y²+6x-8y-11=0相交，则实数m的取值范围是___________

EX2. 【2012高二期末】8. 若圆与圆相交，则实数r的取值范围是

考点：球类问题：外接球的半径、表面积、体积；
EX1. 【2012高二期末】9. 已知P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，
PC=3，则球O的表面积是 。

考点：圆锥曲线基本量：
① 曲线方程；
EX1. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是

EX2.【2012高二期末】 7. 已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围是

EX3. 5.与双曲线－＝1有公共渐近线，且经过点A(－3,2)的双曲线的方程是________

EX4. 10. 顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是

② （半）长轴、（半）短轴、（半）实轴、（半）焦距；
EX1. 椭圆的焦距为 ．

③ 准线方程；
EX1. 【2012高二期末】1. 抛物线y2=4x的准线方程是 .

④ 渐近线方程；
EX1. 双曲线的渐近线方程为 .

EX2. 已知双曲线的渐近线方程是，且过点（1，2），则双曲线的标准方程是

⑤ 离心率；
EX1. 已知是双曲线的两个焦点，是经过且垂直于实轴的弦，若是等腰直角三角形，则双曲
线的离心率为 ．

EX2. 平面直角坐标系xOy中，双曲线的离心率为，则m的值为__________

EX3. 已知椭圆的离心率为，则的值为 ．
⑥ 顶点坐标、焦点坐标；
EX1. 抛物线y2=4x 的焦点坐标是 .

⑦ 曲线定义；
EX1. 已知P为椭圆上一点F1、F2是椭圆的两个焦点，PF1+PF2=_________

EX2. 已知为椭圆的左右焦点，弦过,则的周长为 ．

EX3. 已知定点，点为抛物线上一动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ．

EX4. 在平面直角坐标系中，双曲线上一点，点的横坐标是3则到双曲线右焦点的
距离是 ．

考点：圆锥曲线的离心率：求值、求范围；
EX1. 【2012高二期末】10. 若过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，则该椭圆的离心率为 。

EX2. 已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率

EX3. 10. 已知、是椭圆+=1的左右焦点，弦过F1，若的周长为，则椭圆的离心
率为 ．

考点：空间几何点、线、面得位置关系；
EX1. 设表示一个平面，表示三条不同的直线，给出下列五个命题：
（1）∥，b∥，则∥b； （2）若∥b，b，则∥；
（3）⊥c，b∥c，则∥b； （4）若⊥b，⊥c，b，c＝﹥⊥；
（5）∥b，b⊥，c⊥则∥c；
其中正确命题的序号是________________

EX2. 【2012高二期末】11.设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题中，所有真命题的序号是 。
① 若a∥α，b∥α，则a∥b；
② 若a⊥α，且a⊥β，则α∥β；
③ 若α⊥β，则一定存在直线，使得⊥α，∥β；
④ 若α⊥β，则一定存在平面，使得⊥α，⊥β。

难题考察（12-14）
【2012高二期末】13.设函数，当时，有在上的最小值为，则在该区间上的最大小值是 。

【2012高二期末】14. 设函数在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，若对任意的，恒有，则K的最小值为 。

12. 若抛物线x²=2y的顶点是抛物线上距离点A（0，）最近的点，则的取值范围是____
13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²=4，若直线kx-4y+16=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则K的取值范围______________

14. 如图，设有共一条对称轴PQ、一个顶点P和一个焦点
F的2个椭圆C1，C2，记2i、2bi和2ci分别表示椭圆Ci（i=1,2）的长轴的长、短轴的长和焦距，给出下列判断①1+c1>2+c2 ②1-c1>2-c2 ③
④ ⑤中，正确的个数是____________

14． 过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是 ．

12. 如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点，是椭圆的一个焦点，则 ．

13. 已知动点与双曲线的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且的最小值为，则动点的轨迹方程为 ．

14. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 ．

一、 解答题
容易题（15-16）
考点：逻辑用语
EX1. 设有两个命题：①“关于的不等式的解集是”；②“函数是上的减函数”． 若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数的取值范围．

考点：用导数研究函数单调性问题；
① 单调区间；
② 极值（点）；
极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x0附近所有的x都有 ，则称f (x0)是f(x)的一个极大值；
如果对x0附近所有的x都有 ，则称f (x0)是f(x)的一个极小值。
可导函数点x0处的导数为0是f(x)在x0处取得极值的 条件
求函数y=f(x) 极值的步骤：
（1）确定函数的定义域 (2) 求方程f ¢ (x)=0
（3）解不等式f ¢ (x)>0(或f ¢ (x)<0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间
(4) 判断 f ¢ (x)=0的根的两侧f ¢ (x)的符号，确定是否为极大值、极小值。
EX1. 已知函数在处取得极值为
(1) 求a、b的值; (2) 若有极大值28,求在上的最大值.

③ 最值；
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有 和
求在闭区间 [a,b]上的连续函数y=f(x)最值的步骤：（1） （2）
④ 曲线切线；
【2012高二期末】15.（本小题满分14分）
已知函数，其中，求函数的单调区间和最值。

考点：立体几何证明与求值；
① 证明平行和垂直；
【2012高二期末】16.（本小题满分14分）
如图：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=A1A，AC=BC，点D、E分别为C1C、AB的中点，O为A1B与AB1的交点。
（Ⅰ）求证：EC∥平面A1BD；
（Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1BD。

EX1.（本小题满分14分）
如图，三棱锥A-BCD,BC=3，BD=4，CD=5，AD⊥BC,E、F分别是棱AB、CD的中点，连结CE,G为CE上
一点。
（1）若GF∥平面ABD,求的值； （2）求证：DE⊥BC

② 求体积；③ 求点到面的距离；④ 探索性问题；
EX1. 如图边长为4的正方形所在平面与正所在平面互相垂直，分别为的中点。
Q
P
M
D
C
B
A
(1) 求四棱锥的体积;
(2) 求证：平面;
(3) 试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？
若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

中等题（17）
考点：圆的综合问题；
① 求圆的方程、直线方程；② 定点定值问题；③ 取值范围问题；
【2012高二期末】17.（本小题满分15分）
已知圆M过三点（1,2），（0,1）， . 直线的方程为x-2y=0，点P在直线上，过点P作圆M的切线PA，切点为A .
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设经过A，P，M三点的圆为圆Q，问圆Q是否过定点（不同于M点），若有，求出所有定点的坐标；若没有，说明理由。

EX1。 在平面直角坐标系中xOy中，已知定点，半径为r的圆M的圆心M在线段AC
的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为。
（1）求圆M的方程；
（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，请
说明理由.

较难题（18-20）
【2012高二期末】18.（本小题满分15分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M得横坐标为. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1·k2的取值范围.

考点：圆锥曲线的综合问题；
① 求曲线方程、离心率； ② 定点定值、证明问题；
EX1.（本题满分16分）已知椭圆,过点作直线与椭圆交于,两点．
⑴ 若点平分线段，试求直线的方程；
⑵ 设与满足⑴中条件的直线平行的直线与椭圆交于两点，与椭圆交于点与椭圆交于点
，求证：∥

EX2. 已知椭圆E：设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为
圆心的圆O所截得的弦长为
(1) 求圆0的方程； (2) 若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值.

EX3. 已知椭圆经过点离心率为，动点
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
(3) 设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，
并求出这个定值.

③ 取值范围问题；
Ex1. 已知双曲线C的中心在原点O，右焦点为（2，0），渐近线方程为。
（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，且，求k的取值范围。

④ 探索性问题；
EX1. 已知椭圆（）的一条准线方程为，离心率，过椭圆的下顶点B(0，-b)
任作直线与椭圆交于另一点P，与准线交于点Q。
（1）求椭圆的标准方程； （2）若BP=2PQ，求直线的方程；
（3）以BQ为直径的圆与椭圆及准线分别交于点M(异于点B)、N，问：BQ⊥MN能否成立？若成立，求出

所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由。

EX2. 已知点P是⊙O：上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足
(1) 求动点Q的轨迹方程；
(2) 已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M、N，使（O是坐
标原点）？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由。

考点：函数导数实际应用题；
【2012高二期末】19.（本小题满分16分）
如图：设一正方形ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，使A、B、C、D四点重合，记为A点。恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心。
（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；
（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x ，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围。

考点：函数导数应用题；
① 曲线切线；
EX1. 设定义在(0,+)上的函数
(Ⅰ)求的最小值; (II)若曲线在点处的切线方程为,求的值.

【2012高二期末】20.（本小题满分16分）
已知函数.
（Ⅰ）若，求函数对应曲线上平行于x轴的所有切线的方程；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间 .

② 单调区间； ③ 最值、极值；
EX1. 设函数,为正整数,为常数,曲线在处的切线方程为.
(1) 求的值; (2) 求函数的最大值; (3) 证明:.

③ 函数零点和方程根的个数问题；
EX1. 已知函数且在上的最大值为,
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数在内的零点个数,并加以证明.

EX2. 已知函数

(1) 求函数的单调区间;
(2) 若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;
(3) 当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函
数在区间上的最小值.

⑤ 不等式成立问题；⑥ 参数取值范围；
EX1. 已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线在点处的切线与x
轴平行.
(Ⅰ) 求k的值; (Ⅱ) 求的单调区间;
(Ⅲ) 设,其中为的导函数.证明:对任意.[

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