高三力学复习十五讲--动能定理的应用.doc

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力学复习十二
一、动能定理的应用

[知识点析]
1、用动能定理求变力做的功
由于某些力F的大小或方向变化，所以不能直接由公式W=FScosα计算它们做的功，此时可由其做功的结果——动能的变化来求变力F做的功。
2、在不同过程中运用动能定理
由于物体运动过程中可能包括几个不同的物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一整体过程，往往对全过程运用动能定理比较简便。
[例题析思]
[例题1]一列质量为M=5.0×105kg的火车，在一段平直的轨道上始终以额定功率P行驶，在300S内的位移为2.85×103m，而速度由8m/s增加到火车在此轨道上行驶的最大速度17m/s。设火车所受阻力f大小恒定，求1、火车运动中所受阻力f的大小；2、火车头的额定功率P的大小。
[解析]火车的初速度和末速度分别用V0和Vt表示，时间用t表示，位移用S表示，根据动能定理有：
Pt-fs=
火车速度达到最大时，牵引力等于阻力f，根据瞬时功率的计算公式有：P=fVe。

[思考1]总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭发动机滑行，设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？
[提示]法一：脱节的列车整个运动过程有两个阶段，先做匀加速运动，后关闭发动机滑行做匀减速运动，运用动能定理，从全过程考虑有：
FL-K(M-m)gS1=0-
对末节车厢根据动能定理有-kmgS2=0-，由于原来列车匀速，故有F=kmg，则

法二：由于脱节后列车比末节车厢多行驶的那段距离内，克服阻力所做的功等于牵引力在L这段距离内所做的功，所以有：

[例题2]如图6-25所示，ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一小段圆弧，其长度可以不计。一个质量为m的小滑块由A点静止释放沿轨道滑下，最后停在D点，现用一平行轨道的力推滑块，使它缓慢地由D点到A点时停下，求推力对滑块所做的功。
[解析]物体的运动可以分为两个物理过程：第一人过程是滑块从A点到D点，在这一过程中重力做正功，滑动摩擦力做负功，第二个过程是滑块沿DCBA缓缓回到A点，推力做正功，重力和滑动摩擦力做负功，而这两个过程中摩擦力做功是相等的，不必去求力和位移，以滑块为研究对象，根据动能定理
向下运动时，mgh+Wf=0
向上运动时，WF-mgh+Wf=0
两式相减可得：WF=2mgh
[思考2]如图6-26所示，物体从h高处，沿光滑斜面CB从静止开始下滑，经过粗糙水平向BA后再滑上另一光滑斜面AD（斜面跟水平面交接处对物体的撞击作用忽略不计），在往复运动过程中，如果使物体最终恰好静止在BA中点，那么，该物体滑上光滑斜面AD的最大高度为多少？
[提示]物体从斜面上下滑时只有重力做功，沿斜面上滑时克服重力做功，在水平面BA上运动时克服摩擦力做功，物体滑上光滑斜面AD的最大高度应为物体第一次滑上斜面AD时所达到的高度。
选择物体从开始运动至第一次滑到斜面AD最大高度这一过程，设物体在BA段克服摩擦力做的功为Wf克，由动能定理mgh-Wf克-mgh’=0
设物体在BA段上共有几个来回，选择物体从开始运动至停止这一整体过程，上动能定理得：

由此可得出：
从解析中应注意：应用动能定理解决问题时必须对研究对象进行准确、全面的受力分析进而分析诸外力的做功情况。包括重力做功的情况。在物体整个运动过程中，如果所受外力有增减，还应根据题意分阶段进行受力分析及做功分析。总之，要分析物理过程，确定初末态。
[例题3]如图6-27所示，斜面的倾角为θ，质量为m的物体距挡板P距离为S0，以初速度v0沿斜面下滑。物体与斜面的动摩擦因数为μ，物体所受摩擦力小于物体沿斜面的下滑力。若物体每次与挡板相碰均无机械能损失，求物体通过的路程是多大？
[析与解]由于物体重力沿斜面向下的分力大于物体所受的摩擦力，物体加速下滑，与P碰撞时无机械能损失，故以原速率反弹后沿斜面向上减速直到速度为零，依次重复，最终将停靠在挡板P处。
设物体从开始运动到最终停止经过的路程为S，此过程中重力做功
WC=mgS0·sinθ，摩擦力做功Wf=-μmgS·cosθ.
对全过程运用动能定理,有mgS0·sinθ-μmgS·cosθ=0-mv02
得
[思考3]一个10kg的物体，沿着倾角为30°的斜面以15m/s的速度从斜面底端向上冲20m便自然停止，然后落下，求(1)斜面与物体间的摩擦力是多少？(2)物体回到斜面底端的速率是多大？
[提示](1)冲上阶段，物体克服重力和摩擦力的功和等于动能的减小，则有：

(2)下落阶段：重力对物体所做的功及物体克服摩擦阻力所做的功的和等于动能的增加。则有：

[例题4]一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点A离滑轮的距离是H。车由静止开始向左作匀加速的运动，过了时间t绳子与水平方向的夹角是θ，如图6-28甲的所示。问：在这个过程中，车对重物做了多少功？
[解与析]虽然车匀加速向左行驶，但重物却作变加速运动，因此提升重物的力不是恒定的力，无法用W=FScosα来求出对重物做的功，只能用动能定理来解。

①当绳子端点由A移到B时，重物升高的高度h=H/gsinθ-H，重力做的功为WG=-mgh=-mgH.
②设绳子端点到达B点时车速为v，此时重物上升速度v’，由速度的分解(图6-28乙)得v’=v·cosθ
另外，由得v=2Hctgθ/t
故v’=vcosθ=2Hcosθ·ctgθ/t，
所以重物动能增量为

③设车对重物做的功为W，根据动能定理
W+WG=△Ek得
01

0

。

[思考4]如图6-29所示，上端悬点为O的细绳长度，其下端系一小球m，自悬绳与竖直方向成60°角处由静止释放，若在O点正下方适当位置有一水平长钉O，当小球运动到最低点后又以O1为圆心做圆周运动，且小球经过圆周轨道最高点时绳上拉力刚好减小到零，试计算O1的确切位置。
[提示]小球由水平位置释放到最低点的过程中，只有重力做功，由动能定理得：
对小球以O1为圆心做圆周运动的过程中，以最低点为初态，最高点为终态，由动能定理得：
对于小球的终点用牛第二定律有：

解得：
故O1位于O点正下方的距离为OO1=(1.0-0.20)m=0.80m
注意：可以全过程列出方程
[素质训练]
1、如图6-30所示，质量为m的物体用细绳子牵引着在光滑的水平面上作匀速圆周运动。O为一光滑的孔，当拉力为F时，转动半径为R；当拉力增大到8F时，物体仍作匀速圆周运动，此时转动半径为。在此过程中，拉力对物体做的功为（ ）
A、 B、 C、 D、4FR

2、一质量为m的小球，用长为L的轻绳子悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，如图6-31所示，则力F所做的功为（ ）
A、mgLcosθ B、FLsinθ
C、mgL(1-cosθ) D、FLθ
3、如图6-32所示，板长为L，板的B端静放有质量为m的小物体P，物体与板动摩擦因数为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中物体保持与板相对静止，则这个过程中（ ）
A、摩擦力对P做功为μmgcosα·L(1-cosα)
B、摩擦力对P做功为mgsinα·L(1-cosα)
C、弹力对P做功为mgcosα·Lsinα
D、板对P做功为μmg·Lsinα
4、质量为M的跳水运动员从高为H的跳台上以速率v1跳起，入水时速率为v2，则跳起时运动员做功为 ，运动过程中空气阻力做的总功为 。
5、如图6-33所示，质量为m的物体A，从弧形面的底端以初速度v0往上滑行，到达某一高度后，又沿着原路返回，且继续沿水平面滑行至P点而停止，则整个过程摩擦力对物体做的功为 。

6、在不计空气阻力的情况下，质量为m的物体从距地面H处由静止开始下落，落地后陷进淤泥深为D处，则淤泥对物体的平均阻力为 ，物体在泥中的运动时间为 .
7、质量为m的物体从高为H的斜面上由静止开始滑下，经过一段水平距离后停下，如图6-34所示，若已知停止的地方离出发点处的水平距离为S，且物体与接触面的动摩擦因数为μ，试证明：。
8、如图6-35所示，一小球从距地面4m高处自由下落到地面，恰沿着半径为R=0.5m的半圆形槽运动，到最低点时速度vB=8m/s，而后继续沿圆弧运动，到脱离槽后又竖直上升，求小球离槽后，竖直上升可达的高度h。(g=10m/s2)

9、从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：①小球第一次与地面相碰后，能够反弹起的最大高度是多少？②小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？

10、如图6-36所示，离地面4m处的定滑轮上，用细绳悬挂两物体，质量分别为m1=1kg，m2=1.99kg。今有一速度v0=800m/s的质量m=10g的子弹沿水平方向打入m2，并留在其中，当m2滑过3m时，速度为2m/s。求在这过程中m2克服地面摩擦力做的功。

二、势能·重力做功·机械能守恒定律

[知识点析]
1、重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与物体的始末位置的高度差和重力大小有关。
(2)重力做功的大小WC=mg·h，h为始末位置的高度差。
(3)重力做的正功等于物体重力势能的减少，物体克服重力做的功等于物体重力势能的增加。
(4)重力做功，不能引起物体机械能的变化。
2、势能
(1)由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能量叫做势能。
如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等。
(2)重力势能
①由物体和地球的相对位置所决定的能叫重力势能，它是物体和地球共有的。
②重力势能Ep=mgh是相对的，式中h是物体到参考平面的高度。参考平面的选取会影响重力势能的值，但不会影响重力势能的变化值。重力势能是由于物体被举高而具有的能。用公式Ep=mgh计算，要注意：①重力势能是物体和地球组成的系统所共有的，因而重力势能具有相对性，它的大小取决参考平面(EP=0)的选择，通常选择地面为参考平面。重力势能的差值不因选择不同的参考平面而有所不同；②重力对物体做多少正(负)功，物体的重力势能就减少（增加）多少。重力做功的特点只跟物体的起点和终点位置有关，而跟物体运动的路径无关；③重力势能是标量，但有正负，当物体在参考平面上（下）方时，则重力势能为正（负）值。
(3)弹性势能：物体因发生弹性形变而具有的势能。弹性势能是由于物体发生弹性形变而具有的能。任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能。弹力对弹簧做多少正(负)功。弹簧的弹性就减少（增加）多少。弹簧的弹性势能决定于弹簧被压缩（或拉伸）的长度及弹簧的劲度系数。
3、机械能守恒定律
(1)动能和势能统称为机械能，E=EK+EP。
(2)机械能守恒定律的内容：在只有重力（和弹簧弹力）做功的情形下，物体动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变。
(3)机械能守恒定律的表达式
①物体的初态机械能等于末态机械能，即E1=E2。
②减少的重力势能等于增加的动能，即△Ep减=△Ep增(或△Ep增=△Ep减)。
(4)机械能守恒定律的判断
①利用机械能守恒的条件，即系统只有重力和弹力做功或者其他力也做功，但其代数和为零，则机械能守恒。
②对某一系统物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，没有其他形式的能转化（如没有热能产生），则系统的机械能守恒。
[例题析思]
[例题1]把一块质量为m=3kg的石头从高h=20m的阳台上以30°倾角，初速v0=5m/s斜向上抛出，求石头落地时的速度大小？（不计空气阻力）
[解与析]若利用斜抛运动的规律分析求解，涉及到运动的分解较烦，但是石头在运动中只受重力作用，只有重力做功，机械能守恒。设落地时速度大小为v，按E1=E2列式，规定地面为零重力势能面，得

[注意]应用机械能守恒定律的解题思路：(1)根据题意，选取研究对象；(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况和各力做功情况，判断是否符合机械能守恒定律的条件；(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程中的起始状态和末了状态的机械能；(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解。
[思考1]如图6-37所示，质量为m的小球，从桌面上竖直向上抛出，桌面离地高为h，小球能达到的离地面高度为H，若以桌面作为参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为（ ）

A、mgH B、mgh C、mg(H+h) D、mg(H-h)
[提示]小球在运动过程中只有重力做功，故机械能守恒，落地时机械能应等于最高点处的机械能mg(H-h)，故选D。
[例题2]如图6-38所示，劲度系数为K1的轻质弹簧两端分别与质量m1、m2的物体1、2拴接，劲度系数为K2的轻质弹簧上端与物体2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将物体1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中，物体2的重力势能增加了 ，物体1的重力势能增加了 。
[解析]先取弹簧K2为研究对象，从受大小为(m1g+m2g)的压力到恢复自然长度，弹力的变化量△F=(m1+m2)g。由胡克定律可知弹簧K2的伸长量。则物体2增加的重力势能
再取弹簧K1为研究对象，从受大小为m1g的压力到受大小为m2g的拉力，弹力变化量为。由胡克定律可知在此过程中弹簧K1的伸长量为，则物体1增加的重力势能

解析过程中要注意，物体2增加的重力势能取决于弹簧K2的伸长量x2，物体1增加的重力势能取决于弹簧组的伸长量x=x1+x2。
[思考2]如图6-39所示，物体质量为M，与甲乙两弹簧相连接，乙弹簧下端与地面连接，甲、乙两弹簧质量不计，其劲度系数分别为K1和K2，起初甲处于自由长度，现用手将弹簧的A端缓慢上提，使乙弹簧产生的弹力大小变为原来的，则物体M增加的重力势能可能是 。
[提示]考虑上提后乙弹簧处于压缩和拉伸两种情况，若乙弹簧仍处于压缩情况，则由题意得其压缩量变为原来的，而原先的压缩为，从而可得M上升了，这样可知道物体增加的重力势能为，由类似的分析可得乙弹簧处于拉伸情况下物体M上升了，推出物体增加的重力势能为。
[例题3]质量为m的小球从离开B处h1=2R的高度由静止释放恰好沿B处圆弧切线进入固定着不动的半径为R的1/4光滑圆弧运动到C处飞出着地。C处离地的竖直距离h2=2R，如图6-40示。试求物体着地D点时的速度及物体发生的位移大小，(g=10m/s2)
[解析]对运动全过程应用机械能守恒定律，求得着地时速度的大小v。
1/2mv2=mg(h1+R+h2)
(2)对物体从开始到圆弧B处的运动应用机械能守恒定律，可求得平抛运动的初速度vB=v0.
1/2mvB2=mg(h1+R) vB2=2g×3R
则：平抛的水平距离为s1=VBt2
∴
物体发生的位移应为s
∵

∴
[思考3]如图6-41所示，在竖直平面内固定着一光滑的1/4圆弧槽，它的末端水平，上端离地高H，一个小球从上端无初速滑下，若小球的水平射程为最大值，则圆弧槽的半径为（ ）
A、 B、
C、 D、
[提示]取滑槽最低点为零势能面，由机械能守恒定律有：

再由平抛运动规律有：

由上面三式联立得：
讨论可得出选项A是正确的。
[例题4]如图6-42示，把一根内壁光滑的细管弯成圆弧形状，且竖直放置。一个小球从管口A的正上方h1高处自由下落，小球恰能到达最高点管口C处。若小球从h2处自由下落，则它能人管口A运动到管口C又落回管口A，则h1:h2是多大？
[解析]小球恰能到在C处时，在C点的速度为零。由机械能守恒定律可得：m1gh1=mgR
若小球又能飞回管口A，则小球由C—A做平抛运动，所以有：
水平方向：
竖直方向：
由于整个过程机械能守恒，取管口的水平面为参考平面，所以有：

由上述四步式联解出h1;h2=4:5
注意：解决本题的关键是要理清楚“恰到最高点”和“恰能飞回A管口”的意思。
[思考4]如图6-43示，半径分别为R和r的甲乙两个光滑圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，则水平CD段的长度是多少？
[提示]小球在光滑圆形轨道上滑行，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为vC，通过甲环最大高点为V’，由小球对最高点压力为零可知有：
取轨道最低点为重力势能零势能面，由机械能守恒定律有：，这样有：。同理有小球过D点时的速度为VD，则：，再设CD长度为L，对小球滑过CD段，由动能定理有：，最终可得出：的结论。
[素质训练]
1、某消防队员从一平台上跳下，下落2m后双脚接触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了0.5m。在着地过程中地面对他双脚的平均作用力估计为（ ）
A、自身重力的2倍 B、自身重力的5倍
C、自身重力的8倍 D、自身重力的10倍
2、自由落下的小球从接触竖直放在地上的弹簧开始，到弹簧被压缩到最短的过程中（ ）
A、小球的动能先增大后减小 B、小球的机械能守恒
C、小球的重力势能减小，动能增加
D、小球的机械能减小，小球与弹簧的总机械能守恒
3、一起重机吊着物体以加速度a(a<g)竖直下落，在下落一段距离的过程中，下列说法错误的的是（ ）
A、重力对物体所做的功等于物体重力势能的减少量
B、物体重力势能的减少量等于物体动能的增加量
C、重力对物体做的功大于物体克服细绳所做的功
D、物体重力势能的减少量大于物体动能的增加量
图6-44

4、（93年上海）枪竖直向上以初速v0发射子弹，忽略空气阻力，当子弹离枪口距离为 时，子弹的动能是其重力势能的一半。
5、如图6-44所示，质量均为m的小球，A、B、C，用两条长为L的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，L>h，A球刚跨过桌面，若A球、B球相继下落着地后均不再反跳，则C球离开桌边时的速度大小是
6、质量为m的小球，在竖直的光滑圆弧内侧作圆周运动，圆弧半径为R，如图6-45所示。求小球在最低点和最高点对轨道的压力之差。

7、质量为m的小球，用长为L的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=，过E作水平线EF，在EF上钉一铁钉D，如图6-47所示。若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直平面内作圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围（不计线与钉子碰撞时的能量损失）

【素质训练答案】
一、动能定理的应用
1、C 2、C 3、D 4、；
5、 6、
7、略 8、1.4m
9、①(1-k)H/(1+K); ②H/K 10、1.28J
二、势能，重力做功，机械能守恒定律
1、B 2、AD 3、B 4、v02/3g 5、
6、6mg 7、

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