高考物理第一轮复习导学104直线运动的图象及应用.doc

高考物理第一轮复习同步导学
§1．4　直线运动的图象及应用

【考点自清】
一、位移—时间图象：
1、图象的物理意义：表示做直线运动物体的位移随时间变化的关系。
横坐标表示从计时开始各个时刻，纵坐标表示从计时开始任一时刻物体的位置，即从运动开始的这一段时间内，物体相对于坐标原点的位移。
2、图线斜率的意义：图象的斜率表示物体的速度。
如果图象是曲线则其某点切线的斜率表示物体在该时刻的速度，曲线的斜率将随时间而变化，表示物体的速度时刻在变化。
斜率的正负表示速度的方向；
斜率的绝对值表示速度的大小。
3、匀速运动的位移—时间图象是一条直线，而变速直线运动的图象则为曲线。
4、图象的交点的意义是表示两物体在此时到达了同一位置即两物体“相遇”。
5、静止的物体的位移—时间图象为平行于时间轴的直线，不是一点。
6、图象纵轴的截距表示的是物体的初始位置，而横轴的截距表示物体开始运动的时刻，或物体回到原点时所用的时间。
7、图象并非物体的运动轨迹。
二、速度—时间图象：
1、图象的物理意义：表示做直线运动物体的速度随时间变化的关系。
横坐标表示从计时开始各个时刻，纵坐标表示从计时开始任一时刻物体的速度。
2、图线斜率的意义：图象的斜率表示物体加速度。
斜率的正负表示加速度的方向；
斜率的绝对值表示加速度大小。
如果图象是曲线，则某一点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，曲线的斜率随时间而变化表示物体加速度在变化。
3、匀速直线运动的速度图线为一条平行于时间轴的直线，而匀变速直线运动的图象则为倾斜的直线，非匀变速运动的速度图线的曲线。
4、图象交点意义表示两物体在此时刻速度相等，而不是两物体在此时相遇。
5、静止物体的速度图象是时间轴本身，而不是坐标原点这一点。
6、图象下的面积表示位移，且时间轴上方的面积表示正位移，下方的面积表示负位移。
7、图象纵轴的截距表示物体的初速度，而横轴的截距表示物体开始运动的时刻或物体的速度减小到零所用时间。
8、速度图象也并非物体的运动轨迹。
【重点精析】
一、物理图象的识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点
运动学图象主要有x-t图象和v-t图象，运用运动学图象解题总结为“六看”：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面积”，五看“截距”，六看“特殊点”。
1、“轴”：先要看清坐标系中横轴、纵轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量间的关系，是位移和时间关系，还是速度和时间关系？同时还要注意单位和标度。
2、“线”：“线”上的一个点一般反映两个量的瞬时对应关系，如x-t图象上一个点对应某一时刻的位移，v-t图象上一个点对应某一时刻的瞬时速度；“线”上的一段一般对应一个物理过程，如x-t图象中图线若为倾斜的直线，表示质点做匀速直线运动，v-t图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动。
3、“斜率”：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中对应物理量的大小和定性分析中对应物理量变化快慢的问题。如x-t图象的斜率表示速度大小，v-t图象的斜率表示加速度大小。
4、“面积”：图线和坐标轴所围成的面积也往往表示一个物理量，这要看两轴所代表的物理量的乘积有无实际意义。这可以通过物理公式来分析，也可以从单位的角度分析。如x和t乘积无实际意义，我们在分析x-t图象时就不用考虑“面积”；而v和t的乘积vt=x，所以v-t图象中的“面积”就表示位移。
5、“截距”：表示横、纵坐标轴上两物理量在“初始”（或“边界”）条件下的物理量的大小，由此往往能得到一个很有意义的物理量。
6、“特殊点”：如交点，拐点（转折点）等。如x-t图象的交点表示两质点相遇，而v-t图象的交点表示两质点速度相等。
【例1】如图所示，为A、B、C三物体从同一地点、同时出发沿同一方向做直线运动的xt图象，在0～t0时间内(　　)
A、平均速度
B、平均速率
C、A一直在B、C的后面
D、A的速度一直比B、C的速度大
【解析】从x-t图象知，在t0时刻A、B、C离起点O的位移相同，故A正确.由A在时刻t0已经返回到终点，故路程关系是sA>sC＝sB，故平均速率vA>vC＝vB，B不正确。答案A
【规律总结】对于图象问题，首先要弄清坐标轴表示的意义，然后再弄清图线所描述的规律.本题的图线描述的是位移随时间变化的规律，而不是物体的运动轨迹.
【变式练习1】一宇宙空间探测器从某一星球表面垂直升空，假设探测器的质量恒为1 500 kg，发动机的推力为恒力，宇宙探测器升空到某一高度时，发动机突然关闭，如图所示为其速度随时间变化的规律.
⑴、升高后9 s、25 s、45 s，即在图线上A、B、C三点探测器的运动情况如何？
⑵、求探测器在该行星表面达到的最大高度
⑶、计算该行星表面的重力加速度及发动机的推动力(假设行星表面没有空气).
【解析】⑴、升空后探测器做初速为零的匀加速直线运动.9 s末发动机关闭，此时速度最大，此后做匀减速运动，25 s末速度减为零，此时探测器离行星表面最高，然后探测器返回做自由落体运动，45 s末落地，速度为80 m/s.
⑵、由上述分析可知25 s末探测器距行星表面最高，最大高度hm＝×25×64 m＝800 m
⑶、由9 s～45 s计算图线的斜率可得该行星的重力加速度g＝(80＋64)/(45－9) m/s2＝
4 m/s2.对0～9 s过程运用牛顿第二定律有：F－mg＝ma，而a＝m/s2≈7.1 m/s2
F＝m(g＋a)＝1 500×(4＋7.1) N＝1.665×104 N
二、x-t图象与v-t图象的比较
形状相同的图线，在不同的图象中所表示的物理规律不同，通过下图中的例子体会x-t图象和v-t图象中图线表示的物理规律。
x-t图象
v-t图像

①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)；
②表示物体静止；
③表示物体向负方向做匀速直线运动；
④交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移；
⑤t1时刻物体位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)
①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)；
②表示物体做匀速直线运动；
③表示物体做匀减速直线运动；
④交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度；
⑤t1时刻物体速度为v1(图中阴影部分面积表示质点①在0～t1时间内的位移)
【例2】做直线运动的物体的v-t图象如图所示.由图象可知(　　)
A、前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为－1 m/s2
B、15 s末物体回到出发点
C、10 s末物体的运动方向发生变化
D、10 s末物体的加速度方向发生变化
【解析】从图线的斜率可知物体在前10 s内的加速度为0.5 m/s2，后5 s内的加速度为－1 m/s2，A正确.物体先沿正方向做匀加速直线运动，10 s末开始做匀减速直线运动，运动方向不变，加速度方向发生了变化，15 s末物体速度为零，离出发点距离37.5 m，选项D正确，B、C错误。答案AD
【规律总结】应用v-t图象分析物体的运动时，要抓住图线的特征与运动性质的关系，要抓住图线的“点”、“线”、“面积”和“斜率”的意义。
【变式练习2】若将上题中的图象的纵轴(v轴)换成x轴，其他条件不变，试回答下列问题：
⑴、物体在0～10 s和10 s～15 s两个阶段分别做什么运动？
⑵、物体何时距出发点最远，何时回到出发点？
【解析】⑴、0～10 s内，物体的速度为v1＝k1＝0.5 m/s，物体沿x轴正方向做匀速直线运动.10 s～15 s内，物体的速度为v2＝k2＝－1 m/s，物体沿x轴负方向做匀速直线运动.
⑵、从图可直接判断，物体10 s末离出发点最远，最远距离为5 m；第15 s时，物体位移为0，回到出发点.
三、应用图象分析问题
【例3】摩托车在平直公路上从静止开始启动，a1＝1.6 m/s2，稍后匀速运动，然后减速，a2＝6.4 m/s2，直到停止，共历时130 s，行程1 600 m，试求：
⑴、摩托车行驶的最大速度；
⑵、若摩托车从静止启动，a1、a2不变，直至停止，行程不变，所需最短时间为多少.
【解析】画出v-t图象如图(甲).
⑴、由v2－＝2ax，
有＝1 600
而a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2
解得vm＝12.8 m/s(舍去另一解)
⑵路程不变，则图象中面积不变，当v越大则t越小，如图(乙)所示.设最短时间为tmin，则
tmin＝ ①
＝1 600 ②
其中a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2
由②式得vm′＝64 m/s
故tmin＝＝50 s
即最短时间为50 s.
【规律总结】利用公式和图象，都可以求出最大速度、最短时间等极值问题，但用图象法显然更直观、简洁。
【变式练习3】物体沿一直线运动，在t时间内通过的路程为S。它在中间位置½S处的速度为v1，在中间时刻½t时的速度为v2，则v1、v2的关系为
A、当物体作匀加速直线运动时，v1＞v2
B、当物体作匀减速直线运动时，v1＜v2
C、当物体作匀速直线运动时，v1＝v2
D、当物体作匀减速直线运动时，v1＞v2
【解析】由题意，作出物体的v一t关系图，½S点处的虚线把梯形面积一分为二，如图所示，由图可知，无论物体作匀加速直线运动还是作匀减速直线运动。在路程中间位置的速度v1始终大于中间时刻的速度v2，当物体作匀速直线运动时，在任何位置和任何时刻的速度都相等。故正确答案A、C、D。
四、速度—时间图象的迁移与妙用
【例4】如图所示，两个光滑的斜面高度相同，右边由两部分组成且AB＋BC＝AD，两小球a、b分别从A点沿两侧斜面由静止滑下，不计转折处的能量损失，哪一边的小球先滑到斜面底端.
【解析】两小球从等高处沿光滑的斜面下滑(由静止)，由于两边斜面倾角不同，下滑的加速度不同(aAB>aAD>aBC)，根据机械能守恒定律，两球达到底端的速度大小相等，因此画出其vt图象如图所示，其中折线为沿ABC斜面下滑的a球的速度图象，直线为沿AD斜面下滑的b球的速度图象。
要满足a、b两图线下方的面积相等，必须使图中画有斜线部分的两块面积相等，那就一定有ta<tb，即沿ABC下滑的小球先到达底端。
【规律总结】图象在中学物理中应用十分广泛，它能形象地表达物理规律，直观地叙述物理过程，并鲜明地表示物理量间的各种关系。利用图象解决物理问题，是学好物理的一种重要方法，由于其具有直观形象、简捷实用的特点，高考更加重视对图象的理解与应用， 利用图象法解决问题的知识点明显增多，高考中命题的几率也明显提高。
【变式练习4】一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比。当其到达距洞口为d1的A点时速度为v1．若B点离洞口的距离为d2（d2＞d1），求老鼠由A运动至B所需的时间。
【解析】图中的曲线与横轴所围面积的数值正是老鼠经过一定的位移所需的时间。如图所示，取一窄条，其宽度Δx很小（Δx→0），此段位移所需时间Δt也很小（Δv→0），可以认为在如此短时间内，老鼠的速度改变很小（Δv→0），如图中窄条的面积为A＝Δx=，这正表示老鼠经位移Δx所需的时间。故图中，图线=，x1＝dl，x2＝d2及x轴所围的梯形面积正是老鼠由dl爬至d2所需的时间。K=v1d1=v2d2;T=。
【同步作业】
1、(2010·聊城模拟)如图所示的x－t图象和v－t图象中，给出的四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是 (　　)

A．图线表示物体做曲线运动
B．x－t图象中t1时刻物体1的速度大于物体2的速度
C．v－t图象中0至t3时间内物体4的平均速度大于物体3的平均速度
D．两图象中，t2、t4时刻分别表示物体2、4开始反向运动
【解析】运动图象只能用来描述直线运动，A错；x－t图象中，t1时刻物体1的斜率大于物体2，故B对；v－t图象，0至t3时间内由速度——时间图象所围的面积可知4＞3，C对；t2时刻物体2开始反向，t4时刻物体4的速度方向不变，加速度开始反向，D错．
答案：BC
2、某物体的位移图象如图所示，则下列叙述正确的是 (　　)
A．物体运动的轨迹是抛物线
B．物体运动的时间为8 s
C．物体运动所能达到的最大位移为80 m
D．在t＝4 s时刻，物体的瞬时速度为零
【解析】位移随时间的变化关系曲线并非为物体运动的轨迹．由图象可知，在0～4 s内物体沿正方向前进80 m，非匀速；4 s～8 s内物体沿与原来相反的方向运动至原点．在t＝4 s时，图线上该点处切线的斜率为零，故此时速度为零．由以上分析知A错，B、C、D均正确．
答案：BCD
3、小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，取g＝10 m/s2。则(　　)
A．小球下落的最大速度为5 m/s
B．小球第一次反弹的初速度的大小为3 m/s
C．小球能弹起的最大高度为0.45 m
D．小球能弹起的最大高度为1.25 m
【解析】结合题给v－t图，可以确定是以竖直向下为正方向的．由题图知0～0.5 s过程为下落过程，最大速度为5 m/s，A正确；0.5 s～0.8 s过程为反弹过程，初速度大小为3 m/s，B正确；由v－t图线与坐标轴所围面积为位移可得反弹的最大高度为h＝(0.8－0.5)×3 m＝0.45 m，C正确，D错．
答案：ABC
4．(2010·东城模拟)一质点自x轴原点出发，沿x轴正方向以加速度a加速，经过t0时间速度变为v0，接着以－a加速度运动，当速度变为－时，加速度又变为a，直至速度为时，加速度再变为－a，直到速度变为－…，其v－t图象如图4所示，则下列说法正确的是 (　　)
A．质点一直沿x轴正方向运动
B．质点将在x轴上一直运动，永远不会停止
C．质点最终静止时离开原点的距离一定大于v0t0
D．质点运动过程中离原点的最大距离为v0t0
【解析】由v－t图可知，质点先沿x轴正向运动，经2t0时间反向加速后减速，接着又正向加速后减速，如此反复，但每次位移总比前一次小，最终停止，质点在运动过程中在2t0时刻离原点最远，其位移大小等于大三角形面积v0·2t0＝v0t0，只有D对．
答案：D
5．小李讲了一个龟兔赛跑的故事，按照小李讲的故事情节，兔子和乌龟的位移图象如图所示，由图可知 (　　)
A．兔子和乌龟是同时同地出发
B．兔子和乌龟在比赛途中相遇过两次
C．乌龟做的是匀速直线运动，兔子是沿着折线跑的
D．乌龟先通过预定位移到达终点
【解析】由题图可知，兔子和乌龟在同一地点，但不是同时出发，兔子自认为自己跑得快，肯定赢，所以比乌龟晚出发时间t1，故选项A错．图中乌龟和兔子的x－t图象两次相交，表示在比赛途中它们相遇两次：第一次是t2时刻兔子追上乌龟，第二次是t4时刻乌龟又追上了兔子，故选项B正确．乌龟一直做匀速直线运动，而兔子也在做直线运动，只是中间停了一段，结果是乌龟先通过预定的位移到达终点，乌龟赢了．综上所述，正确的选项为B、D。
答案：BD
6．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v-t图象中(如图)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况。关于两车之间的位移关系，下列说法正确的是( )
A．在0～10s内两车逐渐靠近
B．在10～20s内两车逐渐远离
C．在5～15s内两车的位移相等
D．在t=10s时两车在公路上相遇
0
1
2
3
4
30
60
－30
甲
乙
v/(km·h－1)
t/h
【解析】甲车做速度为5m/s的匀速直线运动，乙车做初速度为10m/s的匀减速直线运动.在t=10s时，两车的速度相同，在此之前，甲车的速度小于乙车的速度，两车的距离越来越大;在此之后，甲车的速度大于乙车的速度，两车的距离又逐渐减小，在t=20s时两车相遇，故选项A、B、D均错.5～15s内，两图线与时间轴所围成的面积相等，故两车的位移相等，选项C正确.
答案 C
7．（2008海南卷8）t＝0时，甲乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是
A．在第1小时末，乙车改变运动方向
B．在第2小时末，甲乙两车相距10 km
C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D．在第4小时末，甲乙两车相遇
【解析】速度图像在t轴下的均为反方向运动，故2h末乙车改变运动方向，A错；2h末从图像围成的面积可知乙车运动位移为30km，甲车位移为30km，相向运动，此时两车相距70km-30km-30km=10km，B对；从图像的斜率看，斜率大加速度大，故乙车加速度在4h内一直比甲车加速度大，C对；4h末，甲车运动位移120km，乙车运动位移30m，两车原来相距70km，故此时两车还相距20km，D错。【答案】：BC
8．（2008广东卷10）某人骑自行车在平直道路上行进，图中的实线记录了自行车开始一段时间内的v-t图像，某同学为了简化计算，用虚线作近似处理，下列说法正确的是
A．在t1时刻，虚线反映的加速度比实际的大
B．在0－t1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大
C．在t1-t-2时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大
D．在t3-t-4时间内，虚线反映的是匀速运动
【解析】v－t图线的斜率表示物体的加速度，v－t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移，据此判断选项B、D正确。需要注意的是若为曲线，则曲线的切线的斜率表示物体的加速度。【答案】BD
9．甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标，从此时开始，甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一路标时速度又相同，则哪一辆车先经过下一个路标？
【解析】由题可知这三辆汽车的初、末速度相同，它们发生的位移相同，而题中并不知乙、丙两车在各阶段是否做匀速直线运动，因此，我们只能分析它们的一般运动，即变速直线运动，这样匀变速直线运动的规律就无法求解这一问题，如果我们利用图象法，即在同一坐标系中，分别做出这三辆车的v-t图象，如图所示，由此可知：乙车到达下一个路标的时间最短，即乙车最先通过下一个路标。
10．两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两只相同小球a和a/ 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)
【解析】首先由机械能守恒可以确定拐角处v1> v2，而两小球到达出口时的速率v相等。又由题薏可知两球经历的总路程s相等。由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsinα，小球a第一阶段的加速度跟小球a/第二阶段的加速度大小相同（设为a1）；小球a第二阶段的加速度跟小球a/第一阶段的加速度大小相同（设为a2），根据图中管的倾斜程度，显然有a1> a2。根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同（纵坐标相同）。开始时a球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间为t1）则必然有s1>s2，显然不合理。考虑到两球末速度大小相等（图中vm），球a/ 的速度图象只能如实线所示。因此有t1< t2，即a球先到。
11．甲、乙两车同时同向沿直线驶向某地，甲在前一半时间以v1匀速运动，后一半时间以v2匀速运动.乙在前一半路程以v1匀速运动，后一半路程以v2匀速运动，先到目的地的是____.
【解析】图中画出了甲与乙的x-t图线，图象画好答案也出现了，t乙＞t甲， 所以甲先到达目的地；图中假设v1＞v2，若v2＞v1可得到同样的结果，此题也能用v－t图象求解，无论用x－t图象还是v－t图象，都要比用计算的方法简捷得多.
12．质点P以O点为平衡位置竖直向上作简谐运动，同时质点Q也从O点被竖直上抛，它们恰好同时到达最高点，且高度相同，在此过程中，两质点的瞬时速度vP与vQ的关系应该是(　　)
A.vP＞vQ B.先vP＞vQ，后vP＜vQ，最后vP=vQ=0.
C.vP＜vQ D.先vP＜vQ，后vP＞vQ，最后vP=vQ=0.
【解析】这也是用解析方法很难下手的题目，但若能利用题设条件，画好、分析好两个质点的v－t图线，就能很快找到答案.
先在图中画出Q作匀减速运动的v－t图象.由于P作简谐运动，当它由平衡位置向极端位置运动过程中，受到的回复力从零开始不断变大，它的加速度也从零开始不断变大，速度不断变小，P作加速度不断增大的减速运动，其v－t图线是一条曲线.根据v－t图线上任一点的切线的斜率数值上等于质点在该时刻的加速度，由于P的加速度由零开始不断变大，画出曲线切线斜率的绝对值也应由零开始不断增大，即曲线的切线应从呈水平状态开始不断变陡，那么只有向右边凸出的下降的曲线才能满足这样的条件.又因P与Q的运动时间相等，所以曲线的终点也应在t，P与Q的路程相等，所以曲线包围的面积应等于三角形vQ0Ot的面积，根据这些要求，曲线的起点，即质点P的初速度vP0必定小于Q的初速vQ0，且两条v－t图线必定会相交，如图7中的实线所示.图7的两条虚线表示的质点P的v－t图线都不满足题设条件（P与Q的路程相等），所以（D）选项正确.
13．如图所示为汽车刹车痕迹长度x(即刹车距离)与刹车前车速v(汽车刹车前匀速行驶)的关系图象。例如，当刹车痕迹长度为40 m时，刹车前车速为80 km/h。
(1)假设刹车时，车轮立即停止转动，尝试用你学过的知识定量推导并说明刹车痕迹与刹车前车速的关系.
(2)在处理一次交通事故时，交警根据汽车损坏程度估计出碰撞时的车速为40 km/h，并且已测出刹车痕迹长度为20 m，请你根据图象帮助交警确定出该汽车刹车前的车速，并在图象中的纵轴上用字母A标出这一速度，由图象知，汽车刹车前的速度为多少?
解析 (1)设汽车的质量为m，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，根据牛顿第二定律,汽车刹车时有μmg=ma
对汽车的刹车过程由运动学公式得：
－2ax=－v2
由以上两式得x=
即刹车痕迹与刹车前车速的平方成正比。
(2)汽车相撞时的速度为40km/h，根据图象可知从这个速度减到零，汽车还要向前滑行10m，撞前汽车已经滑行20m，所以，如果汽车不相撞滑行30m后停下。滑行30m对应的初速度如图中的A对应速度。故汽车刹车前的速度为68km/h。

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