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《函数的性质》案例分析

一、设计思想：
首先说明这次高三第一学期的一节复习课，因此，既要考虑对学生能力的培养，同时又要重视基本方法的归纳，总结以及落实，函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念，是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学代数，对函数的有关概念，通过复习要使学生做到准确、深刻地理解，能正确、灵活地加以运用。函数历来是数学高考中的重点考查内容，而函数的性质又是函数中最重要内容。本节课在分别复习奇偶性、对称性、周期性的基础上，对这些性质的综合运用。学生除了要掌握一些基本的方法以外，还要学会阅读数学语言，包括文字语言、符号语言、图形语言。数学语言是我们数学地思考问题的方式，同时也要学会从“语言”中获取信息，基于以上考虑，本节课通过对奇偶性、对称性、周期性的复习，使学生熟悉三种语言的转化，同时掌握代换变换的方法，通过一道高考题的深入分析、拓展、渗透轮归的思想，数形结合的思想，培养学生对有关函数性质的“数学语言”的深刻理解及获取信息的能力。
二、课堂实录
星期二上午第三节高三（3）班教室
师：我们前面分别复习函数的奇偶性、对称性、周期性
（板书）：函数y=f(x)是奇函性（文字语言）
提问：用数学符号如何表示？（学生回答）
函数的图象是有什么特点？（学生回答）
同样，画出一个关于x=1对称的函数图象，用文字语言如何表达？用符事情语言如何表述？
给出符号f(x+2)=f(x)，用文字如何表达？函数的图象具有什么特点？
T：（问题）：f(x+2)=f(x)，悟出什么？
学生齐答：函数f(x)的周期是2
T：f(x+2)=-f(x)，又能悟出什么？
（学生思考，议论纷纷，有些学生已找到答案）
S2：y=f(x)以4为周期。
f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
T：很好已知f(x)=-f(x+2)，可以这样理解，对于一个x的值，加上2，函数值相反，再加2，函数值又相反，就与f(x)相同了，（教师一边说，一边在黑板画图）。结合图形理解较为直观，但是之前代数变换的方法也很重要。
（板书例题）：设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于？
S3：f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-f(0.5)-0.5
T：这种方法利用已知所给的条件，对f(x+2)=-f(x)看成关系式，通过对x赋值，代数变换，得出结论。
S4：由f(x+2)=-f(x) 可得出f(x+4)=f(x)∴f(7.5)=-f(0.5)=-0.5
T：回答得很好。注意到了对所给符号语言的深刻理解，同时也希望同学们要掌握如何运用周期性，y=f(x)周期为Tx1-x2=KT （K∈Z）则f(x1)=f(x2)
T：我们再考虑题目的条件，还能获取哪些信息呢？
（学生思考）
T：y=f(x)是奇函数，因此，-f(x)=f(-x)，这样f(x+2)=f(-x)
（这时，有一部分学生恍然大悟，看出了函数的对称性）
y=f(x)关于x=1对称
（教师带领学生一起画出y=f(x)图像，借助图象观察 f(7.5)=-0.5）
这种方法渗透数形结合的思想，由数→形→数的过程。
（板书例题）：定义在R上的偶函数y=f(x)满足关系f(x+2)=-f(x)，且f(x)在区间[-2，0]，上是增函数，那么有如下结论：
（1）y=f(x)是周期函数
（2）y=f(x)的图象关于直线x=2对称
（3）y=f(x)在区间[2，4]上是减函数
（4）f()=f（）
学生先思考，可以互相讨论，再由学生分别回答，并说明理由。之后，教师对基本的代数变换方法化归和数形结合的数学思想，再一次归纳并强调。
T：对于例1我们将问题变式：当x∈[-1，10]时，f(x)的解析式。
把未知范围转化为已知范围，再运用函数性质。
当x∈[-1，10]时，-x∈[0，1]∴F(-x)=-x=-f(x)
∴f(x)=x
变式2：当-1≤x≤1时，f(x)的解板式？（在代数推理的基础上，同时结合图形观察）
变式3：当x∈[3，5]时，f(x)的解析式？
教师分析、强调化归的思想，将未知范围转化为已知的[-1，1]范围内。
变式4：当x∈[1，3]时，f(x)的解析式？
教师引导学生小结。
（1）学会读懂有关函数性质的三种语言，并转化。
（2）掌握代数变换的方法。
（3）体会数形结合，化归思想。
三、课后反思
对于高三的复习课，要重视运算基本功，复习要做到“低起点”“小跨度”落实基础。这节课的设计思想是要落实基本方法，回顾整个教学过程，在例1不变式训练中，学生接受有一定的困难，仍需强调、练习。另外，在复习f(a+x)=f(a-x)时，可以说明如a=0，即f(0+x)=f(0-x)，f(x)=x，因为y=f(x)以4为周期，表现出对周期及函数概念的理解准确、深刻。教师能够结合图象分析，让学生认识到问题，及时点评。总之，在有些基本方法的落实上，这需教师强调，再续习。