2023年复合函数知识点总结例题分类讲解.doc

复合函数的定义域和解析式以及单调性
【复合函数相关知识】
1、复合函数的定义
假如是的函数，又是的函数，即，，那么关于的 函数叫做函数（外函数）和（内函数）的复合函数，其中是中间变量，自变量为函数值为。　例如：函数 是由和 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。
⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。
⑶与表达不同的复合函数。

2．求有关复合函数的定义域
①　已知的定义域为，求的定义域的方法：
已知的定义域为，求的定义域。事实上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。
②　已知的定义域为，求的定义域的方法：
若已知的定义域为，求的定义域。事实上是已知直接变量的取值范围，即。先运用求得的范围，则的范围即是的定义域。

3．求有关复合函数的解析式
①已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。
②已知求的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换
成而得。
换元法：就是先设，从中解出（即用表达），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。

4.求复合函数的单调性
若

则
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
减函数
即“同增异减”法则

5.复合函数的奇偶性
一偶则偶，同奇则奇

【例题讲解】
一、复合函数定义域解析式
例1 设函数，求．

例2 已知，求

例3 ①已知 求；
②已知 ，求．

例4 ⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；
⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；
⑶已知定义域是，求定义域．

例5 ①已知 ，求；
②已知，求．

例6 ①已知是一次函数，满足，求；
②已知，求．

二、复合函数单调性及其值域
①初等函数复合求单调区间与值域
例1 已知函数，求其单调区间及值域。

变式练习1
1.求函数=的单调区间及值域

2.求函数的单调区间和值域.

例2 求=的单调区间及值域

变式练习2
求函数f(x)=的单调区间及值域

例3 求

变式练习3
1.求函数的单调区间及值域

2.求函数·的最大值和最小值.

②含参数的复合函数单调性与值域问题
例4 已知函数（且）试讨论其单调性。

例5 求函数的值域。

变式练习4
1.讨论函数的单调性其中，且．

③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围
例6 设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围．

例7 已知在区间上时减函数，求的取值范围.

例8 若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围.

变式练习5
已知函数在区间上是增函数,求的范围.
解:令,则原函数是由与复合而成.原函数在区间上是增函数,而外层函数始终是增函数,则易知内层函数在区间上也是增函数.而实质上原函数的最大单调增区间是,由得,即.

【过关检测】
1. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：
（1）;（2）

2.求下列函数的单调递增区间：（1）;(2) .

3.已知函数，假如对于任意x都有成立，试求的取值范围.

4.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间上是单调递减函数.求实数
的取值范围.

5求函数的单调区间

【考试链接】
1.（2023山东临沂模拟理，5分）若，且，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法拟定
2.函数的图象大体是（ ）

3．（2023江苏南通模拟，5分）设（且），若（， ），则的值等于________。

4．（2023海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值范围是________。

5．（2023江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：
①函数（且）与函数（且）的定义域相同；
②函数和的值域相同；
③函数与都是奇函数；
④函数与在区间上都是增函数。
其中对的命题的序号是：__________。（把你认为对的的命题序号都填上）