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平面几何常见极值问题的解法探究黄发长(海南省洋浦中学 5 7 8 1 0 1)【摘要】在动态几何题中,求满足条件的某个几何量在运动(变化)过程中达到最大(或小)值的问题,称为几何极值问题.这类题通常作为压轴题出现在中考选择题、填空题中.本文从三个“基本事实”出发,观察、探究、归纳常见平面几何极值问题的解法.【关键词】几何;极值;解题技巧1 两点之间,线段最短这类题的解答关键点在于利用轴对称构建对称点(有时只需在图中寻找现成的点),把所求问题转化为两点之间距离大小的问题.“将军饮马问题”是此类题中最经典的模型.例1 如图1,正方形A B C D的边长为8,点M在D C上且DM=2,N是A C上的一动点,则DN+MN的最小值是 .图1 图2解析 本题解题关键点在于构建点D(或M)关于直线A C的对称点,相比较而言,构建点D的对称点(即为点B)更为容易.这样连接MB,即可得最小值是1 0.2 垂线段最短2.1 直接考查这里所说的“直接考查”是指要求的结论(即使存在转化而间接求解),直接用到基本事实,是相对下述“2.2”复合考查而言的.例2 如图2,在四边形A B C D中,点P是A B上一动点,点E、F分别 在C D、P D上,且D E=13DP,D F=13D C,若s i n C B A=34,B C=8,则E F的最小值为 .分析 易证D E FD P C,且相似比为13,则当P C最小时,E F取得最小值.显然当s i n C B A=34,B C=8时,C PB A是P C取最小值的前提.则易求得E F的最小值为2.2.2 复合考查所谓复合考查,指要求的结论在形式上不是一条“整”线段,而是几部分的和.其解法通常是把结论中的部分整合为“整体”来求解.此类题型中典型的例子是“胡不归模型”.例3 如图3,在A B C中,A B=A C=1 0,t a nA=2,B EA C于点E,D是线段B E上的一个动点,那么:(1)A E=;(2)C D+55B D的最小值是.图3 图4分析(1)A E=2 5;(2)解题时把“55B D”先转化是关键,不妨设55B D=m,则有mB D=55,而55=2 51 0=E AA B,即有mB D=E AA B,于是过点D作D PA B(如图4),则55B D=D P.于是求“C D+55B D的最小值”便转化为求42 数理天地 初中版解题技巧2 0 2 3年9月上“C D+DP的最小值”.显然当三点C、D、P共线时,可满足要求,过点C作直线A B的垂线CH,即最小值为CH的长.易求得最小值CH=4 5.3 不是课本定理,却也是“基本事实”3.1 藏在图形中却显而易见的极值问题举个例子来说明“显而易见”,如在圆中最长的弦是直径.解此类题,构造与所求结论相关的直径是解题关键.图5 图6例4 如图5,A B是O的弦,A B=5,点C是O上的一个动点,且A C B=4 5,若点M、N分别是A B、A C的中点,则MN长的最大值是 .分析 MN是A B C的一条中位线,则要求MN长的最大值,可转化为求弦B C长的最大值.显然当B C为直径(易求直径为5 2)时其长最大,所以MN长的最大值是5 22.3.2 与轨迹有关的极值问题解决这类问题的关键在于找准动点的轨迹.当轨迹与圆有关时,给定条件中往往会有直角,把直角当作圆周角,直角顶点便“动”了起来(形成轨迹),接下来确定直角所对的直径是解题关键.要注意的是,直径有时是显现的、有时是隐藏着的,这恰恰是难点所在.例5 如图6,在A B C中,A B=5,A C=7,A E平分B A C,B EA E,垂足为E,D为B C的中点,则D E=;若把条件“A E平分B A C”改为“A E为过点A的任意射线”,其他条件均不变,则D E的最大值=.分析(1)延长B E交A C于点F,易有D E为B F C的中位线,则D E=12F C=1;(2)求D E的最大值,突破口在先搞清点E的轨迹是什么.由于A E B为直角,联想到圆.以A B为直径的圆即为点E的轨迹.于是D E的最大值即为图6中过圆心O的线段D E=6.例6 如图7,在矩形A B C D中,A B=4,B C=3,E,F分别为A B,C D边的中点.动点P从点E出发沿E A向点A运动,同时,动点Q从点F出发沿F C向点C运动,连接P Q,过点B作BHP Q于点H,连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍,在点P从点E运动至点A的过程中,线段DH长度的最小值为.图7分析 从图上看直角BHP所对的斜边B P长是变化的,本题直径隐藏着.连接E F交P Q于点M(如图8),易证EMP FMQ,且EMFM=2 1,即P Q始终过点M,连接BM,BM即为“隐藏”的直径.作O,连接D O交O于点H,则DH 为线段DH长度变化过程中的最小值.由EMFM=2 1可知EM=2,而B E=2,则BM=22,即半径O B=2,易得O D=1 3,则DH=1 3-2.图84 结语解答几何极值问题,处理好解题与培养核心素养的关系是关键.具体说,就是通过解题培养直观想象、应用意识等素养;反过来通过直观想象区分条件特征,准确应用相关“基本事实”解答问题.522 0 2 3年9月上解题技巧 数理天地 初中版