平面薛定谔-泊松系统的轴对称解.pdf

收稿日期:.基金项目:国家自然科学基金资助项目();江西省自然科学基金资助项目(B A B );江西省社会科学基金项目(J Y ).作者简介:尚智健(),男,硕士生.通信作者:陈春芳(),女,教授,博士,博士生导师.E m i a l:c c f y g d s i n a c o m.尚智健,陈春芳平面薛定谔泊松系统的轴对称解J南昌大学学报(理科版),():S HAN GZJ,CHE NCF A x i a l l ys y mm e t r i cs o l u t i o n sf o r t h ep l a n a rS c h r d i n g e r P i s s o ns y s t e mJJ o u r n a lo fN a n c h a n gU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e),():平面薛定谔泊松系统的轴对称解尚智健,陈春芳(南昌大学数学与计算机学院,江西 南昌 )摘要:研究如下的平面薛定谔泊松型系统:uV(x)uuf(x,u),x,u,x,其中VC(,)是轴对称的.我们考虑非线性项f(x,u)是T r u d i n g e r M o s e r意义上的次临界指数增长情形,并给出一个非全局性的超四次条件,通过借助一些新的分析技巧和变分方法得到平面薛定谔泊松系统轴对称解的存在性,在此基础上我们为f(x,u)添加一个对称性条件,得到平面薛定谔泊松系统多解的存在性.关键词:平面薛定谔泊松系统;亚临界指数增长;轴对称解中图分类号:O 文献标志码:A文章编号:()A x i a l l ys y mm e t r i c s o l u t i o n s f o r t h ep l a n a rS c h r d i n g e r P i s s o ns y s t e mS HANGZ h i j i a n,CHE NC h u n f a n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t e rS c i e n c e,N a n c h a n gU n i v e r s i t y,N a n c h a n g ,C h i n a)A b s t r a c t:T h i s a r t i c l ew a s d e v o t e d t o s t u d y t h e f o l l o w i n gp l a n a r S c h r d i n g e r P o i s s o n t y p e e q u a t i o n:uV(x)uuf(x,u),x,u,x,w h e r eVC(,)i sa x i a l l ys y mm e t r i c W ec o n s i d e r e dt h a tt h en o n l i n e a rt e r mf(x,u)i s a s u b c r i t i c a l e x p o n e n t i a l g r o w t hc a s e i n t h e s e n s eo fT r u d i n g e r M o s e r,a n dg a v e an o n g l o b a l s u p e r f o u r t hc o n d i t i o n B yu s i n gs o m en e wa n a l y t i c a l t e c h n i q u e sa n dv a r i a t i o n a lm e t h o d s,w eo b t a i n e dt h ee x i s t e n c eo fa x i s y mm e t r i cs o l u t i o n sf o rt h ep l a n a rS c h r d i n g e r P i s s o ns y s t e m O n t h i sb a s i s,w e a d d e da s y mm e t r y c o n d i t i o n f o rf(x,u)T h e e x i s t e n c e o fm u l t i p l e s o l u t i o n s f o rp l a n a rS c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e m w a so b t a i n e d K e yW o r d s:p l a n a rS c h r d i n g e r P i s s o ns y s t e m;s u b c r i t i c a l e x p o n e n t i a l g r o w t h;a x i a l l ys y mm e t r i cs o l u t i o n s本文研究了具有次临界指数增长的薛定谔泊松系统:uV(x)uuf(x,u),x,u,x,()其中VC(,)是轴对称的.它是以下更一般系统的一种形式:uV(x)u uf(x,u),x N,u,x N,()其中,VC(N,)和fC(N,).薛定谔泊松方程主要来源于量子力学、半导体理论等领域,用来描述粒子在时空中的运动规律.可以看到系统()中的第二个方程决定了:N仅限于调和函数,而自然被选为u的牛顿势,即u与拉普拉斯方程的基本解N的卷积,由下式给出:N(x)l n|x|,N,N(N)N|x|N,N,其中N是单位N维球的体积.通过这种变换,第 卷第期 年月南昌大学学报(理科版)J o u r n a l o fN a n c h a n gU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l N o J u n 将()系统转化为一个等价的积分微分方程:uV(x)u(Nu)uf(x,u),x N()则与()相关的能量泛函为:IN(u)RN(|u|V(x)u)dxRN,uudxRNF(x,u)dx其中F(x,t)tf(x,s)ds,N,u(x)(Nu)(x).如果u是N的临界点,则(u,N,u)是()的弱解.通过变分方法,大多数学者关注的系统()是维(即N)且的情况.在这种情况下,利用H a r d y L i t t l e w o o d S o b o l e v不等式,IN在H()中是一个定义明确的C泛函,如果非线性项f(x,t)在t处是超线性的,在t处是超立方的,则可以验证能量泛函具有山路几何结构.具体的证明可以参考以下两类文献:第一类是文献 中次临界增长的例子:l i m|t|f(x,t)|t|()另一类则是文献 中临界增长情况:l i m|t|f(x,t)|t|()与N的情况不同,当方程(,)变为平面时(即当N时)有:uV(x)u l n|xy|u(y)dyuf(x,u),x()用变分法求解该方程的文献很少,这是因为变号无界对数积分核 l n|x|的出现使得对应的能量泛函在H()上定义并不良好.通过缩放,假设,那么相关的能量泛函是:(u)(|u|V(x)u)dx l n|xy|u(x)u(y)dxdyuF(x,u)dx()为了克服这一缺陷,受S t u b b e 的启发,C i n g o l a n i和W e t h 在 年开发了以下方程的变分框架:uV(x)u(,u)(x)u|u|q u,x()其中(,u)(x)l n|xy|u(y)dy,对应的更小的希尔伯特空间:XuH():V(x)l n(|x|)udx()通过应用N e h a r i流形和一个新的强紧性条件(在适当平移后的任何能级上满足C e r a m i条件),证明了当V(x)是周期函数且q时,方程()有基态解.当V为正常数时,他们也得到了非径向解的存在 性(具 有 任 意 多 的 节 点 域).随 后,D u和W e t h 于 年利用文献 中的强紧性条件,证明了当V(x)为常数且q时,具有任意多个节点域的方程()的非径向解的存在性.最近,在文献 中,C h e n和T a n g将上述结果部分扩展到(),使一般非线性F(x,u)满足以下多项式增长条件:(P G)fC(N,),存在常数C和p(,)使得:|f(x,u)|C(|u|p),(x,u)更多有关此类问题的研究情况请读者参考文献 .为了说明我们的结论,首先提出一些假设.假设V和f满足以下条件:(V)VC(,),对任意x(x,x),有V(x):V(x,x)V(|x|,|x|)并且l i m|x|i n fV(x);(F)对任意(x,t),有f(x,t):f(x,x,t)f(|x|,|x|,t)(F)fC(,),对任意t,有s u px,|s|t|f(x,t)|,对任意,x,有l i m|t|f(x,t)|e t(F)l i m|t|f(x,t)t关于x是一致的;(F)对任意(x,t)(),有f(x,t)t,对任意x,有l i m|t|F(x,t)t存在,v,r,使得f(x,t)tv tF(x,t),(x,t),|t|r(F)对任意(x,t),有f(x,t)南昌大学学报(理科版)年f(x,t);(F)对任意(x,t)(),有f(x,t)t,对任意x,有l i m|t|F(x,t)t存在,r使得f(x,t)tF(x,t),(x,t),|t|r接下来陈述这篇论文的主要结果.定理假设(F)(F)和(V)成立,那么()有一个轴对称解uX,.定理假设(F)(F)和(V)成立,那么()有无限个几何不同的轴对称解u.由(F)可以推导出(F),有以下推论:推论假设(F)(F),(F)和(V)成立.那么()有一个轴对称解uX,.注在本文中,我们将用Ci,i,表示各种正常数,这些正常数可能因不同位置而不相同,但对问题的分析并不重要.|q表示Lq()中 的 一 般 范 数 其 中q,).H()表示通常的具有内积和范数的S o b o l e v空间其范数如下(u,v)H(uvu v)dx,|u|H(u,u)/,u,vH()主要结果的变分框架和证明当N时,C a在 中建 立 的P o h o z a e v T r u d i n g e r M o s e r不等式可以取代S o b o l e v不等式,文献 中 亦 是 使 用 这 个 方 法.P o h o z a e v T r u d i n g e r M o s e r不等式如下:引理()如果且uH(),则有(e u)dx()如果uH(),u,uM且,那么存在一个只依赖于M和的常数C(M,),使得(e u)dxC(M,)()借鉴文献 中的方法,定义以下对称双线性形式:(u,v)aA(u,v)l n(|xy|)u(x)v(y)dxdy()(u,v)aA(u,v)l n(|xy|)u(x)v(y)dxdy()(u,v)aA(u,v)AA l n|xy|u(x)v(y)dxdy()在每种情况下,定义都局限于可测函数u,v:,使得相应的二重积分在勒贝格意义上被很好地定义.我们注意到对于任意r,有 l n(r)r,并且由H a r d y L i t t l e w o o d S o b o l e v不等式(参见文献 ),可以得到A(u,v)|xy|u(x)v(y)dxdyCuvdxdy()其中C.根据()()定义如下函数:I:H(),I(u)A(u,u)n l n(|xy|)u(x)u(y)dxdyI:L(),),I(u)A(u,u)l n(|xy|)u(x)u(y)dxdyI:H(),I(u)A(u,u)l n|xy|u(x)u(y)dxdy这里I只取L()中有限值.实际上,()意味着|I(u)|Cu,uL()()接着定义如下可测函数u:ul n(|x|)u(x)dx,)令u|u|V(x)udx,uX因此,uE(uu)是X的一个范数,我们在()处定义了X.对任意x,有V(x),则|u|V(x)udxu u,uX()因而X连续嵌入到H()中.又l n(|xy|)l n(|x|y|)l n(|x|)l n(|y|),x,y()第期尚智健等:平面薛定谔泊松系统的轴对称解所以由H l d e r不等式,可以得到,对任意j,k,l,mX,有|A(j k,l m)|l n(|x|)l n(|y|)|j(x)k(x)|l(y)m(y)|dxdy l n(|x|)|j(x)k(x)|dx|l(y)m(y)|dy|j(x)k(x)|dxl n(|y|)|l(y)m(y)|dyjklmjklm()根据文献 中的引理,我们知道I,I和I在X中是C的,并且Ii(u),vAi(u,u v),u,vX,i,()由引理,(F),(F)和(),我们可以得知C(X,)且(u)uI(u)F(x,u)dx,uX()(u),v(uvV(x)u v)dxA(u,u v)f(x,u)vdx,u,vX()和(u),uuI(u)f(x,u)udx,uX()因此,能量泛函()的临界点是()的解.引理 假设VC(,)与l i mi n f|x|V(x).那么存在使得uH u,uX()此外,通过证明X中的弱收敛序列在Ls()中是强收敛的,可以证明对任意s,),嵌入(X,E)Ls()是紧的.引理 假设(V),(F)(F)成立.如果u是限制在E上的的临界点,那么u是X上的的临界点.引理 假设(V)成立,则有A(u,v)uv,uE()由引理可知,推论是成立的.推论假设(V)成立,则有I(u)uu,uE()为了证明非平凡解的存在性,将应用如下山路定理.引理 设X为一个实巴拿赫空间且IC(X,).设S是X的一个闭子集,它将X在不同的连接分量X和X中(拱状地)断开.进一步假设I()和()X,存在,使得I|S;()存在eX,使得I(e).则I有一个(C e)C序列且c定义如下:ci n fm a xt,I(t)其中C,:(),()e引理假设(V)和(F)(F)成立,则存在一个常数c(,s u pt(t w)且存在一个数列unE满足(un)c,(un)E(unE)()证明由引理可知,对任意s,),嵌入XLs(R)是连续的,即存在s使得ussu,uX()由(F)和(F)可知,对和C,使得对(x,t),有|F(x,t)|tC(e t)|t|()由引理(),可知(e t)dx(eu(u/u)dxC(,),u/()由()和(),可知F(x,u)dxuC(e u)|u|dxuC(e u)dx/uuCu,u/()由(),()和(),可知(u)uI(u)I(u)F(x,u)dxuCu南昌大学学报(理科版)年Cu,u/()因此,存在l和/使得(u)l,uG:uE:u()现在我们选择wE,用(F)可证明l i mt(t w)综上所述,选取T使eTwG:uE:u 和(e),那么根据引理和G:uE:u,可以得出结论:存在cl,s u pt(t w)且有一个序列unE满足().引理假设(V)和(F)(F)成立,则每一个满足()的序列在E中是有界的.证明首先,证明|un|的有界性.反证,假设un.令vnun/un,那么vn,对任意s,),有vnsksvnks.由(F),(),()和(),我们可以得到;co()(un)(un),unun|un|rf(x,un)unF(x,un)dxv|un|rundx|un|rf(x,un)undxun|un|rf(x,un)unF(x,un)dxvun|un|rf(x,un)undx()un|un|rf(x,un)unF(x,un)dxvun()如果有必要取vn子序列仍然记为vn,并假设在E中有vnv.由引理,在Ls()中,对任意s,),有vnv,在几乎处处有vnv.)如果v,那么在Ls()中对任意s,),有vn,在几乎处处有vn.由(F)和(F)可知,存在,C,C,使得|f(x,t)|C|t|C(e t)|t|,(x,t)(,)()因此,ununrf(x,un)ununrf(x,un)unvndxCC(e r)unrvndxCC(e r)vno()()同理ununrF(x,un)o()()根据()我们可以得知o()o(),矛盾.()如果v,则根据(),(F)(F)和F a d o us引理,存在C,使得l i mn|un|rf(x,un)unvnF(x,un)unvndxv|vn|un|rf(x,un)unvndxl i mn|un|rf(x,un)unvnF(x,un)unvndxv|vn|un|rf(x,un)unvndx(vC)k|un|rf(x,unvn)|un|vnvndx()矛盾.综上所知un 有界.接下来我们证明un 是有界的.设unC,则存在一个常数C使得unC.如果:l i ms u pnun则由G a g l i a r d o N i r e n b e r g不等式:unssCsununs 我们可知,在Ls()中对任意s,),有un.令(,/C),由(F)和(F)可知,存在C,使得|f(x,t)|cC|t|C(e un),(x,t)(,)()第期尚智健等:平面薛定谔泊松系统的轴对称解通过()和引理()有f(x,un)undxcC|un|C(e un)|un|dxcC(e un)/dx/|un|cC(e un/)dx/|un|cC(eun(un/|un|)dx/|un|co()()由(F),(),(),(),()和()可知co()(un)(un),unI(un)I(un)f(x,un)unF(x,un)dxco()()矛盾,因此.由(F),(F),(),(),()和(),有I(un)I(un)f(x,un)undxo()C()再由推论,可知un 是有界的,故un 在E中是有界的.推论假设(V),(F)(F)和(F)成立,则每一个满足()的序列在E中是有界的.证明定理和定理定理的证明首先证明,在E中unu.反证,如有必要取un子列仍然记为un,并假设在E中有unu,则由引理可知,在Ls()中对任意s,)有unu,在中几乎处处有unu.因此,由()可知A(un,un(unu)o()A(u,un(unu)o()()由(),引理()和H l d e r不等式可知|f(x,un)f(x,u)|unu|dx|f(x,un)|unu|dx|f(x,u)|unu|dxcC|un|C(e un)|unu|dxcC|u|C(e u)|unu|dxcC(un u)unuC(e un/)dx/(e u/)dx/unuo()()因为un 和un 是有界的,则有l n(|y|)|u(y)|un(y)u(y)|dxl n(R)uunu|unu|RBR()l n(|y|)u(y)dy/on()oR(),n,R()即l n(|y|)|u(y)|un(y)u(y)|dxo()()由()()和unu的事实,可以得知|A(un,u(unu)|l n(|x|)l n(|y|)un(x)|u(y)|un(y)u(y)|dxdyunuunu unl n(|y|)|u(y)|un(y)u(y)|dyo()()同理|A(u,u(unu)|o()()由(),(),(),(),(),()和(),我们可以得知o()(un)(u),unuunuA(un,(unu)A(un,u(unu)A(u,u(unu)A(un,un(unu)A(u,un(unu)|f(x,un)f(x,u)|unu|dxunuA(un,(unu)o()unu ununuo()()再由:l i ms u pnun可知在E中unu.因此,c l i mn(un)(u)且(u).定理的证明这部分证明类似文献 的南昌大学学报(理科版)年证明,因此我们省略它.参考文献:B E N GUR I A R,B R E Z I S H,L I E BE H T h eT h o m a s F e r m i v o nW e i z s c k e rt h e o r yo fa t o m sa n dm o l e c u l e sJ C o mm u n i c a t i o n si n M a t h e m a t i c a lP h y s i c s,():C A T TOI,L I ON SPLB i n d i n go fa t o m sa n ds t a b i l i t yo fm o l e c u l e s i nH a r t r e ea n dT h o m a s F e r m i t y p e t h e o r i e sJ C o mm u n i c a t i o n si nP a r t i a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():L I E BE H T h o m a s F e r m ia n dr e l a t e dt h e o r i e so fa t o m sa n d m o l e c u l e sJ R e v i e w so f M o d e r nP h y s i c s,():B E N C IV,F OR TUNA T O DFS o l i t a r yw a v e so ft h en o n l i n e a r K l e i n G o r d o n e q u a t i o n c o u p l e d w i t h t h eM a x w e l l e q u a t i o n sJ R e v i e w s i nM a t h e m a t i c a lP h y s i c s,():L I ON SPL S o l u t i o n so fH a r t r e e F o c ke q u a t i o n sf o rC o u l o m bs y s t e m sJ C o mm u n i c a t i o n s i nM a t h e m a t i c a lP h y s i c s,():AMB R O S E T T IA,RU I ZD M u l t i p l eb o u n ds t a t e sf o rt h eS c h r d i n g e r P o i s s o np r o b l e mJ C o mm u n i c a t i o n si nC o n t e m p o r a r yM a t h e m a t i c s,():C E R AM IG,VA I R A G P o s i t i v es o l u t i o n sf o rs o m en o n a u t o n o m o u s S c h r d i n g e r P o i s s o n s y s t e m sJJ o u r n a lo fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():D A P R I LT,MUG NA IDS o l i t a r yw a v e sf o rn o n l i n e a rK l e i n G o r d o n M a x w e l la n d S c h r d i n g e r M a x w e l l e q u a t i o n sJP r o c e e d i n g so f t h eR o y a lS o c i e t yo fE d i n b u r g hS e c t i o nA:M a t h e m a t i c s,():HEX M M u l t i p l i c i t ya n dc o n c e n t r a t i o no fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h eS c h r d i n g e r P o i s s o ne q u a t i o n sJ ZA n g e w M a t hP h y s,():J I ANG Y,Z HOU H S S c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e mw i t hs t e e pp o t e n t i a lw e l lJJ o u r n a lo fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():R U I ZD T h eS c h r d i n g e r P o i s s o ne q u a t i o nu n d e rt h ee f f e c t o f an o n l i n e a r l o c a l t e r mJJ o u r n a l o fF u n c t i o n a lA n a l y s i s,():S UNJJ,MA S W G r o u n ds t a t es o l u t i o n sf o rs o m eS c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e m sw i t hp e r i o d i cp o t e n t i a l sJJ o u r n a lo fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():CHE NS,F I S C E L L A A,P U C C IP,e ta l S e m i c l a s s i c a lg r o u n ds t a t es o l u t i o n sf o rc r i t i c a lS c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e m sw i t h l o w e rp e r t u r b a t i o n sJJ o u r n a l o fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():HEX M,Z OU W M E x i s t e n c ea n dc o n c e n t r a t i o no fg r o u n ds t a t e sf o rS c h r d i n g e r P o i s s o ne q u a t i o n sw i t hc r i t i c a lg r o w t hJ J o u r n a lo fm a t h e m a t i c a lp h y s i c s,():Z HANGJ O nt h eS c h r d i n g e r P o i s s o ne q u a t i o n sw i t hag e n e r a l n o n l i n e a r i t y i n t h e c r i t i c a l g r o w t hJ N o n l i n e a rA n a l y s i s:T h e o r y,M e t h o d s&A p p l i c a t i o n s,():Z HAN GJJ T h ee x i s t e n c ea n dc o n c e n t r a t i o no fp o s i t i v e s o l u t i o n s f o r an o n l i n e a rS c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e m w i t hc r i t i c a lg r o w t hJJ o u r n a lo fm a t h e m a t i c a lp h y s i c s,():S T U B B EJ B o u n ds t a t e so f t w o d i m e n s i o n a lS c h r d i n g e r N e w t o ne q u a t i o n sJa r X i vp r e p r i n t a r X i v:,C I N G O L AN IS,WE THT O nt h ep l a n a rS c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e mC/A n n a l e s d el I n s t i t u t H e n r iP o i n c a r C,A n a l y s e n o nl i n a i r e E l s e v i e r M a s s o n,():DU M,WE TH T G r o u n ds t a t e sa n dh i g he n e r g ys o l u t i o n so ft h ep l a n a rS c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e mJN o n l i n e a r i t y,():CHE NST,S H I J,T AN GXH G r o u n ds t a t e s o l u t i o n so fN e h a r i P o h o z a e vt y p ef o rt h ep l a n a rS c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e m w i t hg e n e r a ln o n l i n e a r i t yJ D i s c r e t ea n dC o n t i n u o u sD y n a m i c a lS y s t e m sS e c t i o nA,():CHE NST,TANGXHE x i s t e n c eo f g r o u n ds t a t e s o l u t i o n sf o rt h ep l a n a ra x i a l l ys y mm e t r i cS c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e mJD i s c r e t e a n dC o n t i n u o u sD y n a m i c a lS y s t e m sS e c t i o nB,():CHE NST,TAN G X H O nt h ep l a n a rS c h r d i n g e r P o i s s o ns y s t e m w i t ht h ea x i a l l ys y mm e t r i cp o t e n t i a lJJ o u r n a lo fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():L IG,WANGC T h ee x i s t e n c eo fan o n t r i v i a l s o l u t i o nt oan o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e mo f l i n k i n gt y p ew i t h o u tt h e Am b r o s e t t i R a b i n o w i t z c o n d i t i o nJ A n n a l e sA c a d e m i S c i e n t i a r u mF e n n i c M a t h e m a t i c a,():MA R KOW I CH PA,R I N GHO F E RCA,S CHME I S E RC S e m i c o n d u c t o re q u a t i o n sM S p r i n g e rS c i e n c e&B u s i n e s sM e d i a,R A B I NOW I T ZPH M i n i m a xm e t h o d s i nc r i t i c a l p o i n tt h e o r yw i t ha p p l i c a t i o n st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n sMAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,T ANG X HI n f i n i t e l y m a n ys o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a r第期尚智健等:平面薛定谔泊松系统的轴对称解S c h r d i n g e re q u a t i o n s w i t h s i g n c h a n g i n g p o t e n t i a la n dn o n l i n e a r i t yJJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,():TANGX H,CHE NST,L i nX,e t a l G r o u n ds t a t e s o l u t i o n so fN e h a r i P a n k o vt y p ef o rS c h r d i n g e re q u a t i o n sw i t hl o c a ls u p e r q u a d r a t i cc o n d i t i o n sJJ o u r n a lo fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():TANGXH,CHE NST G r o u n ds t a t e s o l u t i o n s o fN e h a r i P o h o z a e vt y p ef o rS c h r d i n g e r P o i s s o np r o b l e m sw i t hg e n e r a lp o t e n t i a l sJ D i s c r e t ea n d C o n t i n u o u sD y n a m i c a lS y s t e m s,():W I L L EM M M i n i m a xT h e o r e m s,P r o g r e s s i nN o n l i n e a rD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s a n dT h e i rA p p l i c a t i o n sM,v o l ,B i r k h a u s e rB o s t o nI n c,B o s t o n,MA,C AO D M N o n t r i v i a l s o l u t i o no fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hc r i t i c a le x p o n e n t i nRJ C o mm u n i c a t i o n s i nP a r t i a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():A D A CH IS,TANAKA K T r u d i n g e rt y p ei n e q u a l i t i e si nRNa n dt h e i rb e s te x p o n e n t sJ P r o c e e d i n g so ft h eAm e r i c a nM a t h e m a t