概率论基础定积分概念笔记.doc

第五次P141.习题3、2、29、301、 解： 2、习题4，(11) 解： 3、P109，例3.5，习题3，选择题4、 5、设，则30有理函数积分真分式部分分式 部分分式： 其中：5、解： 令 令 6、P112例3.6 (4),(5) 7P142 习题6 (3),(4) 40三角有理式积分令 8、 9、 6、设的原函数恒正，且，当，有，求解： 由得C=1 定积分的概念一、定义及性质：， 注意(1)积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法”、“取法”无关； (3)定积分的值与积分变量的选取无关； (4)在有界是在可积的必要条件，在连续是在可积的充分条件。：在几何上表示介于，之间各部分面积的代数和。补充规定 P115，性质（1）（9）其中(8)为估计定理：在，则 (9)中值定理：如在连续，使例1、 利用定积分几何意义，求定积分值 上式表示介于, , , 之间面积例2、（估计积分值） 证明 证：在 上最大值为， 最小值为2 二、基本定理 牛顿莱伯尼兹公式 10变上限积分基本定理：设在连续，为上任意一点，则是可导函数，且 即说明为的一个原函数。例3、已知, , , ， 求：解：例4、 例5、有极大值的点为 D A. B. C. D. 例6、如 ,则 B A. B. C. D.例7、P117例3.11例8、设在上连续，且,证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数证： 20定积分计算 牛顿莱伯尼兹公式设在连续。为在上的任意一个原函数，则有 定积分换元法与分部积分法30奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1) 在连续，当为偶数，则当为奇函数，则(2) ，以T为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。例9、原式 例10、例11、 例12、设则 A、 B、 C、 D、例13、加P124例3.18例14、 设法二设原式例15、设为连续函数，且 求解： 设则 两边积分 (、在连续，且求、的表达式答案：)例16、设，求解： 令 ()例17、设求解：例18、已知在上二阶可导，且，及求解：原式例19、设在连续证明：证：右边=例20、设求解： 例21、设连续，且求，并讨论在处连续性解：得令 在连续即在连续例22、试证方程在内有且仅有一实根证：设在连续且由介值定理，使F()=0即F(x)=0有根又，单增 根唯一例23、设在，连续试证：内至少一点，使证：设则在可导中值 在上满足罗尔定理条件至少存在一点，使即亦即例24、P128例3.23(1)(3)例25、 例26习题3.11设在连续，可导，且，证明在内，有证： 在单调减，故三、定积分应用P132 1平面图形面积()直角坐标： P134例3.26，例3.27例1习题321求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积解：在点处，切线方程在点处，切线方程得交点（ii）极坐标 例2、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点+ 2旋转体体积由所围平面图形绕轴旋转一周所生成的立体体积，由所围平面图形绕旋转一周所得旋转体体积例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为切线方程（3,1）Q切点在切线上， 0 1 2 3，切线方程：19