概率论基础定积分概念笔记.doc

第五次
P141.习题3、2、29、30
1、

解：

2、习题4，(11)
解：

3、P109，例3.5，习题3，选择题

4、

5、设，则
30有理函数积分
→真分式→部分分式
部分分式：
其中：

5、
解：

令 令
∴

6、P112 例3.6 (4),(5) 7 P142 习题6 (3),(4)

40三角有理式积分
令

8、

9、

6、设的原函数恒正，且，当，有，求
解：

由 得C=1
∴
∴

定积分的概念
一、定义及性质
<定义>：，
注意(1)积分区间有限，被积函数有界；
(2)与“分法”、“取法”无关；
(3)定积分的值与积分变量的选取无关
；
(4)在有界是在可积的必要条件，
在连续是在可积的充分条件。
<几何意义>：在几何上表示介于，，，之间各部分面积的代数和。
补充规定
<性质> P115，性质（1）—（9）
其中(8)为估计定理：在，，则

(9)中值定理：如在连续，，使

例1、 利用定积分几何意义，求定积分值

上式表示介于, , , 之间面积

例2、（估计积分值） 证明
证：在 上最大值为，
最小值为2
∴
∴

二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式
10变上限积分
基本定理：设在连续，为上任意一点，
则是可导函数，且
即 说明为的一个原函数。

例3、已知,,
, ,
，
求：
解：

例4、

例5、有极大值的点为 D
A. B. C. D.

例6、如 ,则 B
A. B. C. D.

例7、P117 例3.11

例8、设在上连续，且,
证明：
若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数
证：

20定积分计算
① 牛顿莱伯尼兹公式
<定理>设在连续。为在上的任意一个原函数，则有
② 定积分换元法与分部积分法

30奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质
(1) 在连续，
当为偶数，则
当为奇函数，则
(2) ，以T为周期
说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。

例9、
原式

例10、

例11、

例12、设 则
A、 B、 C、 D、

例13、 加P124 例3.18

例14、
设

法二 设 原式

例15、设为连续函数，且 求
解： 设 则
两边积分

∴

(、在连续，且
求、的表达式
答案： )

例16、设 ，求
解：

令
(∵)
∴

例17、设 求
解：

例18、已知在上二阶可导，且，及
求
解：原式

例19、设在连续
证明：
证：右边=

例20、设 求
解：

例21、设连续，，且
求，并讨论在处连续性
解： 得
令

∴

∴ 在连续
即在连续

例22、试证方程 在内有且仅有一实根
证：设 在连续
且
由介值定理 ，使 F(ζ)=0 即F(x)=0有根
又∵ ，单增
∴根唯一

例23、设在，连续
试证：内至少一点，使
证：设
则在可导
中值

在上满足罗尔定理条件
∴至少存在一点ζ，使
即 亦即

例24、P128例3.23 (1) (3)

例25、

例26 习题3.11
设在连续，可导，且，
证明在内，有
证：

在单调减，
故

三、定积分应用 P132
1°平面图形面积
(ⅰ)直角坐标：

P134 例3.26，例3.27

例1习题3 21
求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积
解：
在点处，，切线方程
在点处，，切线方程
得交点

（ii）极坐标

例2、求由曲线所围图形公共部分的面积
解：两曲线的交点

+

2°旋转体体积
由所围平面图形绕轴旋转一周所生成的立体体积，

由所围平面图形绕旋转一周所得旋转体体积

例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积
解：设切点为
切线方程
（3,1）
Q切点在切线上，∴
0 1 2 3
，∴切线方程：

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