(考试必备)广东省高州长坡中学2011届高三12月月考数学文.doc

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2011年2月24日星期四
小セ

广东省高州长坡中学
2011届高三年级12月月考
数学（文）试题

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的
1．已知集合，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知是实数, 则“”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3． 若复数z与其共轭复数满足：，则复数z的虚部为 （ ）
A．1 B． C．2 D．-1
4．已知三条直线l、m、n，三个平面，有以下四个命题：

①；②；
③；
④。其中正确
命题的个数为 （ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
5．右图程序运行后输出的结果为 （ ）
A．3 4 5 6 B．4 5 6 7
C．5 6 7 8 D．6 7 8 9
6．若函数的定义域和值域都是[0，1]，则a= （ ）
A．2 B． C． D．
7．△ABC中，，则向量与夹角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知圆的方程为设该圆中过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是 （ ）
A． B． C． D．
9．函数的单调递增区间为 （ ）
A． B． C． D．
10．点P是双曲线（a>0, b>0）左支上的一点，其右焦点为F ，若M为线段FP的中点, 且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分
11．已知函数为奇函数，若，则　　　　．

12．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若 的取值范围是 。
13．已知两点，，若抛物线上存在点
使为等边三角形，则b＝_________ ．
14．若某多面体的三视图（单位: cm）如图所示, 则
此多面体的体积是 ．

15．在由1,2,3,4,5组成可重复数字的二位数中任取一个数, 如21、22等表示的数中只有一个偶数“2”，我们称这样的数只有一个偶数数字，则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为 、 ．
16．对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”，

仿此，53“分裂”中最大的数是 ．
17．已知满足,不等式恒成立,则的取值范围为
．
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程;
（Ⅱ）求函数在区间上的值域．

19．如图，矩形中，，，是中点，为上的点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
A
B
C
D
E
F
G

20．（本题满分14分）数列{}的前项和满足：．
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）令，数列{} 的前项和为，求证：．

21．（本题满分15分）已知函数．
（I）当时，求函数的单调递增区间；
（II）是否存在，使得对任意的，都有，若存在，求 的范围；若不存在，请说明理由．

22．已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，右焦点为F（1，0），直线l经过点F，且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一．BBAAA DDBDB
二．11．1 12． 13．5，-1/3 14．cm3
15． 16．29 17．
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
18．解：（1）

由
函数图象的对称轴方程为
（2）∴
∴
∴
∴值域为
19．
（Ⅰ）证明：，
∴，则
又，则
∴
解：
∴，而
∴
∴
是中点 ∴是中点
∴且

∴
∴中，
∴ （12分）
∴
20．解 （1）当时有：
两式相减得：，’
∴，又，
∴ ．
∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列．
从而，
∴．
（2）
∴
∴
．
21 ．解：（I）
．
i） 若时，则，
a) 此时都有，
有．
的单调递增区间为和．
ii）若，则，
的单调递增区间为． （II）当时，
且，
当时，都有．
此时，在上单调递减 ．
又在上单调递减．．
由已知
解得又．．
综上所述，存在使对任意，都有成立．
22（Ⅰ）由题意可知，c=1，又e==，解得a=………
所以b2=a2-c2=1
所以椭圆的方程为+ y2=1．…
（II）若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k（x-1）．
由
得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．△=16k4-4（1+2k2）（2k2-2）=8k2+8>0．
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则
x1+ x2=，x1 x2=．…设M（t，0），则=（ x1-t,y1）， =（ x2-t,y2）,
=（x1-t）（x2-t）+ y1 y2
= x1 x2- t（x1+ x2）+ t 2+k2（x1-1）（x2-1）
=（1+ k2） x1 x2-（ t +k2）（ x1+ x2）+ t 2+k2
=（1+ k2）-（ t +k2）+ t 2+k2
=
=
要使得=λ（λ为常数），只要=λ，
即（）k2 + （t2-2 -λ）=0．（*）
对于任意实数k，要使（*）式恒成立，只要
解得…若直线l垂直于x轴，其方程为x=1．
此时，直线l与椭圆两交点为A（1，）、B（1,一）,
取点S（，0），有=（-,）,=（-,-）,
=（-）×（-）+×（-）
==λ ．
综上所述，过定点F（1，0）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点M（，0），使得=

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