包丽莉 实验一1.doc

实验一 微积分基础
实验目的
了解数学软件Mathematica的基本功能,通过实验来进一步学习使用该软件，
能用Mathematica验证或观察得出微积分学的几个基本结论。完成简单的数学实验。
实验环境
Windows环境下 数学软件Mathematica
实验基本理论和方法
画一些简单函数的图像，求函数的极限，求函数的导数，函数逼近法，

实验步骤和内容

实验内容
1．画出分段函数= 的图像
2．求极限
3．求的二阶导数
4．求在[-2π，2π]的图像
5．在一个坐标系上画出正弦函数的Taylor展开式的图像,并给不同的曲线染上不同的颜色
6．在区间[-1,1]上作出函数的图像,观察图像当x趋近于0时的变化情况.并与此函数在区间[-0.1,0.1]的图像作对比.
7． 分别取n=5,50,500,在同一坐标系中画出区间[-4П，4П]上函数f(x)=sinx与

的图象。观察当n增加时向sinx逼近的现象

实验步骤
1．输入分段函数=
由Mathematic编辑器可得到它的语言，图像为

实验结论
在区间[-∞，-1]上的图像为函数=Sin(x)的图像。在区间[-1，0]是函数=x^2/ 的图像，为抛物线。在区间[0，∞]是函数=x-1/ 的图像，为直线。
2．求极限，由Mathematic编辑器可得到它的结果为

3．求的二阶导数，由Mathematic编辑器可得到它的结果为

4．求在[-2π，2π]的图象，由Mathematic编辑器可得到它的结果
语句为：

图像为：

5．正弦函数的Taylor级数及其图像
在同一个坐标系中显示几条图像，不易辨认那一条曲线是哪一个函数的图像。那么可以将他们染上不同的颜色，再显示在同一个坐标中，就容易辨认了。比如，在同一坐标系里作出区间x∈[-π，π]上正弦函数 及多项 ， 的图像。将正弦函数染成红色，5次多项式染成紫色，3次和7次染成黑色。如图，可观察到这些多项式函数的图像，逼近正弦函数的图像。语句，图像如下：

实验结论
上面的第一句是在区间x∈[-π，π]上画正弦函数 x的图像，选项PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}是将图像染成红色：其中的RGBColor[1,0,0]中是红色（Red），绿色（Green），蓝色（Blue）三种颜色（）的比例为1，0，0.这三个数在0到1之间取值。1，0，0表示红取最大值1，绿和蓝没有，因此就是染红色。如果取0，0，0就是黑色，取1，1，1就是白色。第二句中取1，0，1是将红，蓝配到一起，为紫色。上面的前三个语句分别将画出的图像命名为curve1,curve2,curve3以便再次引用。最后一句Show[curve1,curve2,curve3]就是将这三个图像重新显示在同一个坐标系中。

6.由Mathematic编辑器可得函数在区间[-1,1]上的结果
语句为：

图像为：

由Mathematic编辑器可得函数在区间[-0.1,0.1]上的图像
语句为：

图像为：

实验结论

我们观察图像在=0附近是黑糊糊的一片,看不清楚.因此需要专门将=0附近放大来观察,而离=0较远的部分就不用看了.看得出当x趋近于0时曲线在与之间振荡, 越接近0就振荡得越快,越疯狂.在=0的附近仍然看不清楚.可以再放大,将区间改为[-0.1,0.1]甚至[-0.01,0.01].

7．分别取n=5,50,500,在同一坐标系中画出区间[-4П，4П]上函数f(x)=sinx与

的图象。观察当n增加时向sinx逼近的现象
语句为：

图像为：

将实验中的p[x,50]换成p[x,500]的实验结果为：

实验结论
通过实验观察，我们发现随着n的增加Pn(x)的函数图象逼近于sinx的函数图象，当n=500时函数图象已经非常接近，所以Pn(x)是sinx的良好逼近