公司决策问题.doc

数学建模竞赛
承 诺 书

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A
我们的队号为：
参赛队员：1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人： 数模组

日期：2012年8月5日

评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：

18

数学建模竞赛
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注

A题 公司决策问题
摘要
本文应用多元函数的极值法，根据企业要求建立相关模型，通过LINGO软件对相应的整数非线性规划目标函数进行求解，从而得出最优产销方案。

针对问题一，我们将产品成本分为两大类：直接支出和制造费用。其具体表达式为：总成本=原材料成本+库存成本+缺货损失+解聘费用+培训费用+工人基本工资+加班费用，故当以总成本最小为目标时，得到相应目标函数，然后我们运用LINGO软件来求解，得到成本最低、利润最大的最优产销方案。

促销[2]是营销者为扩大销售而进行的商业活动，但是如果不合理安排促销的活动及做好适当的成本利润评估，就很容易让营销者在此商业活动中亏损。针对问题二，我们对公司进行降价促销后，各个月需求量见表2，继续利用第一问中的模型求解，将其中需求量矩阵分别更改，得到该条件下的最优产销方案。通过对比分析一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（问题一所求），显而易见，“降价促销”会引起总销售额的减少，需求产生较大变动，从而导致总利润下降。所以在这三种方案中，计划期内无促销为最佳方案。

最后本文针对模型的优点及适用灵活性提出推广建议，当然，对需要斟酌考虑的方面给出了指导性建议，希望通过对客户需求以及市场波动进行数据处理，建立一个价格策略模型与本模型结合起来，由此得到更加精确的产销模型。这对解决公司决策方案有不可估计的现实意义。

关键词: 多元函数的极值法 整数线性规划目标函数 LINGO软件 最优产销方案
一．问题重述
1.1背景介绍
某企业主要生产一种轻工艺品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。
表1 产品需求预测估计值（件）
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
预计需求量
1000
1100
1150
1300
1400
1300
1月初工人数为12人，工人每月工作20天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过15个小时。1月初的库存量为200个。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存不大于150个。各种成本费用如表2所示。
表2 产品各项成本费用
原材料成本
库存成本
缺货损失
外包成本
培训费用
100元/件
10元/件/月
20元/件/月
200元/件
50元/人
解聘费用
产品加工时间
工人正常工资
工人加班工资

100元/人
1.6小时/件
12元/小时/人
18元/小时/人

1.2需要解决的问题
（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；
（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中8%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。
二．问题分析
本文研究关于公司产品产销最优化问题，在一个公司中，生产计划是一个企业高速运转的核心，在考虑供给与需求以及生产成本、资源等各种条件限制下，我们力求计算出最优的生产方案以使企业达到最大利润化。由于本文所生产产品的价格一定，故要使利润最大必然要求生产成本最低，并且本文产品成本分为两大类：直接支出和制造费用。其中直接支出包括：原材料成本、工人基本工资、工人加班工资、外包成本；制造费用包括：库存成本、缺货损失、解聘费用、培训费用。即根据“利润=销售额-生产成本”得，我们求出目标函数总利润的最优解。
本文第二问其实是在第一问的模型上，将产品需求量在各个月份之间做部分改动，由于还是题目还是求最优产销方案，故目标函数不改变，模型不变，继续使用第一问的方法利用Lingo软件求解，再将三个方案进行对比。
三．模型假设
1.假设该公司于每月月初解聘工人，被解聘的工人不参与当月任何生产活动；

2.假设该公司于每月月初雇佣工人，新雇佣的工人与其它工人一样，需于当月工作20天，每天8小时；

3.假设所有生产的产品均为合格品且已经进行外包装；

4.假设所有产品的预测需求即为实际销售量。

5.所以员工均能够参加正常工作，不存在旷工情况。

四．模型符号
：每月加工产品数量
：每月库存数量
：每月缺货数量
：每月外包数量
：每月新招聘人数
：每月解聘人数
：每月改公司的工人数
：每月共加班小时数
:第i种方案的总利润
:第i种方案的总收入
:第i种方案的总成本

五．模型的建立与求解

5.1决策目标：本文中，产品成本分为两部分：其具体表达式为：总成本=原材料成本+库存成本+缺货损失+解聘费用+培训费用+工人基本工资+加班费用，故当以总成本最小为目标时，得到目标函数：

5.2约束条件：（1）由题意，1月初的库存量为200:

（2）6月末的库存不大于150个，且不存在缺货情况:

（3） 1月初和6月末的缺货量为0:

按规定，工人每个月加班时间不得超过15个小时:

（4） 公司实际生产能力应大于实际生产的产品数:

（6）员工人数关系：
（7）1月初工人数:

（8） 产品生产量与需求量、存货量、缺货量和外包数量的关系:

（9） 每月需求量用矩阵表示：：
【1000,1100,1150,1300,1400,1300】

综上所述，约束条件为：

5.3模型的求解：
根据以上分析，我们利用lingo软件对该整数非线性规划目标函数进行求解（lingo输入的代码及输出结果见附录1，2）。我们将lingo的输出结果进行整理，得到如表1所示：关于该公司上半年的生产方案1。
表1 该公司上半年生产方案1
时间t
招聘人数Et
解聘人数Ft
库存数Bt
缺货数Ct
外包数Dt
工人数Gt
加班时间Ht
生产数量At
0
0
0
200
0
0
12
0
0
1
0
4
0
0
0
8
0
800
2
3
0
0
0
0
11
0
1100
3
0
0
0
0
0
11
80
1150
4
2
0
0
0
0
13
0
1300
5
1
0
0
0
0
14
0
1400
6
0
1
0
0
0
13
0
1300
结论：得到最小成本的最优解为841640元。
总利润（P）=总收入（L）-总成本（Q），
由于每件产品的销售价格为240元，
总销售量为：1000+1100+1150+1300+1400+1300=7250（件），
所以总利润(P1)=240*7250-841640=898360（元）。

如图所示，1月解聘4人，工人总数8人，2月招聘3人，3月时加班80小时，4月再招聘2人，5月再招聘1人，6月解聘1人，此方案即为使成本最低、利润最大的最优产销方案。

针对第二问，该公司进行降价促销后，各个月需求量见表2.
表2 实行促销后该公司每月需求量
月份
1
2
3
4
5
6
一月促销预计需求量
1180
1012
1058
1300
1400
1300
四月促销预计需求量
1000
1100
1150
1516
1288
1196

继续利用第一问中的模型求解，将其中需求量矩阵分别更改为：【1180,1012.1058,1300,1400,1300】
【1000,1100,1150,1516,1288,1196】
将输出结果进行整理（输出结果见附录3,4），得到如下表3、表4关于该公司1月和4月的促销生产方案。

表3 1月实行“促销”该公司的的生产方案2
时间t
招聘人数Et
解聘人数Ft
库存数Bt
缺货数Ct
外包数Dt
工人数Gt
加班时间Ht
生产数量At
0
0
0
200
0
0
12
0
0
1
0
2
20
0
0
10
0
1000
2
0
0
8
0
0
10
0
1000
3
0
0
0
0
0
10
80
1050
4
3
0
0
0
0
13
0
1300
5
1
0
0
0
0
14
0
1400
6
0
1
0
0
0
13
0
1300
结论：在1月份实行“降价促销”的最小成本的最优解为841620元；总销售收入(L2)=220*1180+240*6070=1716400（元）
所以总利润（P2）=1716400-841620=874780（元）

表4 4月实行“促销”该公司的生产方案2
时间t
招聘人数Et
解聘人数Ft
库存数Bt
缺货数Ct
外包数Dt
工人数Gt
加班时间Ht
生产数量At
0
0
0
200
0
0
12
0
0
1
0
4
0
0
0
8
0
800
2
3
0
0
0
0
11
0
1100
3
0
0
0
0
0
11
80
1150
4
4
0
0
0
0
15
26
1516
5
0
2
0
0
0
13
0
1288
6
0
1
0
0
0
12
0
1196
结论：在4月份实行“降价促销”的最小成本的最优解为842358元；总销售收入(L3)=220*1516+240*5734=1709680（元）
所以总利润（P3）=1709680-842358=867322（元）

三个方案的销售额、成本与利润关系的比较，见图1

图1.三种方案下的销售额、成本与利润的对比

由上图可知，“降价促销”会引起总销售额的减少，从而导致总利润下降；

三个方案下每月预测销售量与成本的关系，见图2：

图2.三种方案下的每月预测销售量的关系
由上图可知，当公司实行“降价促销”活动时，会导致需求产生较大变动，从而导致该公司的总利润下降。
通过对比分析一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（问题一所求），显而易见，“降价促销”会引起总销售额的减少，需求产生较大变动，从而导致总利润下降。所以在这三种方案中，计划期内无促销为最佳方案。
六．模型的评价与推广
6.1模型的优点：
（1）考虑影响产品的产销情况的各个因素，通过对问题进行分析，用数学规划把问题简单化；
（2）对模型求解时，分步细求并结合各问题做出了相应的图表，使解题过程简洁易懂，具有很高的可读性；
（3）建立产品产销模型，在理论上有一定的基础，在实际操作上有可行性。把抽象的事物具体化、数字化，使我们讨论起来更加简便。

6.2模型的缺点：
（1）用极值法求解产销问题时，由于一些数据以及条件的理想化，不能与实际完全相同，所以存在一定的误差。但考虑到经理想化的数据和条件的变化波动不大，所以是可以接受的。
（2）由本文第二问的结论——在无促销的情况下的方案最好，总利润最大。但是这与常理并不相符，现实生活中，当商家实行“降价促销”计划，通常会使整个时期的总需求量增大，而不仅仅是需求量在时间上的转移。

6.3模型的推广：此模型在企业做好市场调查、确定销售方案时具有很好的指导作用，并且对各种公司的产品销售中都比较适用，具有普遍性，值得大力推广。

七．参考文献
【1】姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型》3版，北京高等教育出版社，2003.8

【2】 百度百科，促销，

【3】谢金星，《优化建模与LINGP软件》，清华大学出版社，2012.3

【4】边馥萍、侯文华、梁冯珍，《数学模型方法与算法》，高等教育出版社，2005.5

八．附录
附录1问题一的代码
min=1920*G1+1920*G2+1920*G3+1920*G4+1920*G5+1920*G6+18*H1+18*H2+18*H3+18*H4+18*H5+18*H6+50*E1+50*E2+50*E3+50*E4+50*E5+50*E6+100*F1+100*F2+100*F3+100*F4+100*F5+100*F6+10*B1+10*B2+10*B3+10*B4+10*B5+10*B6+20*C1+20*C2+20*C3+20*C4+20*C5+20*C6+100*A1+100*A2+100*A3+100*A4+100*A5+100*A6+200*D1+200*D2+200*D3+200*D4+200*D5+200*D6;
B0=200;
B6>=0;
B6<=150;
G0=12;
G1=G0+E1-F1;
G2=G1+E2-F2;
G3=G2+E3-F3;
G4=G3+E4-F4;
G5=G4+E5-F5;
G6=G5+E6-F6;
C0=C6;
C0=0;
C6=0;
H1<=15*G1;
H2<=15*G2;
H3<=15*G3;
H4<=15*G4;
H5<=15*G5;
H6<=15*G6;
100*G1+H1/1.6-A1>=0;
100*G2+H2/1.6-A2>=0;
100*G3+H3/1.6-A3>=0;
100*G4+H4/1.6-A4>=0;
100*G5+H5/1.6-A5>=0;
100*G6+H6/1.6-A6>=0;
B0+A1+D1-I1-C0-B1-C1=0;
B1+A2+D2-I2-C1-B2-C2=0;
B2+A3+D3-I3-C2-B3-C3=0;
B3+A4+D4-I4-C3-B4-C4=0;
B4+A5+D5-I5-C4-B5-C5=0;
B5+A6+D6-I6-C5-B6-C6=0;
I1=1000;
I2=1100;
I3=1150;
I4=1300;
I5=1400;
I6=1300;
A1+A2+A3+A4+A5+A6+D1+D2+D3+D4+D5+D6+B0<=7250;
A1+A2+A3+A4+A5+A6+D1+D2+D3+D4+D5+D6+B0>=7050;
@gin(A1);
@gin(A2);
@gin(A3);
@gin(A4);
@gin(A5);
@gin(A6);
@gin(B1);
@gin(B2);
@gin(B3);
@gin(B4);
@gin(B5);
@gin(B6);
@gin(C1);
@gin(C2);
@gin(C3);
@gin(C4);
@gin(C5);
@gin(C6);
@gin(D1);
@gin(D2);
@gin(D3);
@gin(D4);
@gin(D5);
@gin(D6);
@gin(E1);
@gin(E2);
@gin(E3);
@gin(E4);
@gin(E5);
@gin(E6);
@gin(F1);
@gin(F2);
@gin(F3);
@gin(F4);
@gin(F5);
@gin(F6);
@gin(G1);
@gin(G2);
@gin(G3);
@gin(G4);
@gin(G5);
@gin(G6);
@gin(H1);
@gin(H2);
@gin(H3);
@gin(H4);
@gin(H5);
@gin(H6);

附录2问题一的结果图

附录3 1月促销方案的LINGO代码跟结果

min=1920*G1+1920*G2+1920*G3+1920*G4+1920*G5+1920*G6+18*H1+18*H2+18*H3+18*H4+18*H5+18*H6+50*E1+50*E2+50*E3+50*E4+50*E5+50*E6+100*F1+100*F2+100*F3+100*F4+100*F5+100*F6+10*B1+10*B2+10*B3+10*B4+10*B5+10*B6+20*C1+20*C2+20*C3+20*C4+20*C5+20*C6+100*A1+100*A2+100*A3+100*A4+100*A5+100*A6+200*D1+200*D2+200*D3+200*D4+200*D5+200*D6;
B0=200;
B6>=0;
B6<=150;
G0=12;
G1=G0+E1-F1;
G2=G1+E2-F2;
G3=G2+E3-F3;
G4=G3+E4-F4;
G5=G4+E5-F5;
G6=G5+E6-F6;
C0=C6;
C0=0;
C6=0;
H1<=15*G1;
H2<=15*G2;
H3<=15*G3;
H4<=15*G4;
H5<=15*G5;
H6<=15*G6;
100*G1+H1/1.6-A1>=0;
100*G2+H2/1.6-A2>=0;
100*G3+H3/1.6-A3>=0;
100*G4+H4/1.6-A4>=0;
100*G5+H5/1.6-A5>=0;
100*G6+H6/1.6-A6>=0;
B0+A1+D1-I1-C0-B1-C1=0;
B1+A2+D2-I2-C1-B2-C2=0;
B2+A3+D3-I3-C2-B3-C3=0;
B3+A4+D4-I4-C3-B4-C4=0;
B4+A5+D5-I5-C4-B5-C5=0;
B5+A6+D6-I6-C5-B6-C6=0;
I1=1180;
I2=1012;
I3=1058;
I4=1300;
I5=1400;
I6=1300;
A1+A2+A3+A4+A5+A6+D1+D2+D3+D4+D5+D6+B0<=7250;
A1+A2+A3+A4+A5+A6+D1+D2+D3+D4+D5+D6+B0>=7050;
@gin(A1);@gin(A2);@gin(A3);@gin(A4);
@gin(A5);@gin(A6);@gin(B1);@gin(B2);
@gin(B3);@gin(B4);@gin(B5);@gin(B6);
@gin(C1);@gin(C2);@gin(C3);@gin(C4);
@gin(C5);@gin(C6);@gin(D1);@gin(D2);
@gin(D3);@gin(D4);@gin(D5);@gin(D6);
@gin(E1);@gin(E2);@gin(E3);@gin(E4);
@gin(E5);@gin(E6);@gin(F1);@gin(F2);
@gin(F3);@gin(F4);@gin(F5);@gin(F6);
@gin(G1);@gin(G2);@gin(G3);@gin(G4);
@gin(G5);@gin(G6);@gin(H1);@gin(H2);
@gin(H3);@gin(H4);@gin(H5);@gin(H6);

附录4 4月促销方案的LINGO代码跟结果

min=1920*G1+1920*G2+1920*G3+1920*G4+1920*G5+1920*G6+18*H1+18*H2+18*H3+18*H4+18*H5+18*H6+50*E1+50*E2+50*E3+50*E4+50*E5+50*E6+100*F1+100*F2+100*F3+100*F4+100*F5+100*F6+10*B1+10*B2+10*B3+10*B4+10*B5+10*B6+20*C1+20*C2+20*C3+20*C4+20*C5+20*C6+100*A1+100*A2+100*A3+100*A4+100*A5+100*A6+200*D1+200*D2+200*D3+200*D4+200*D5+200*D6;
B0=200;
B6>=0;
B6<=150;
G0=12;
G1=G0+E1-F1;
G2=G1+E2-F2;
G3=G2+E3-F3;
G4=G3+E4-F4;
G5=G4+E5-F5;
G6=G5+E6-F6;
C0=C6;
C0=0;
C6=0;
H1<=15*G1;
H2<=15*G2;
H3<=15*G3;
H4<=15*G4;
H5<=15*G5;
H6<=15*G6;
100*G1+H1/1.6-A1>=0;
100*G2+H2/1.6-A2>=0;
100*G3+H3/1.6-A3>=0;
100*G4+H4/1.6-A4>=0;
100*G5+H5/1.6-A5>=0;
100*G6+H6/1.6-A6>=0;
B0+A1+D1-I1-C0-B1-C1=0;
B1+A2+D2-I2-C1-B2-C2=0;
B2+A3+D3-I3-C2-B3-C3=0;
B3+A4+D4-I4-C3-B4-C4=0;
B4+A5+D5-I5-C4-B5-C5=0;
B5+A6+D6-I6-C5-B6-C6=0;
I1=1000;
I2=1100;
I3=1150;
I4=1516;
I5=1288;
I6=1196;
A1+A2+A3+A4+A5+A6+D1+D2+D3+D4+D5+D6+B0<=7250;
A1+A2+A3+A4+A5+A6+D1+D2+D3+D4+D5+D6+B0>=7050;
@gin(A1);
@gin(A2);
@gin(A3);
@gin(A4);
@gin(A5);
@gin(A6);
@gin(B1);
@gin(B2);
@gin(B3);
@gin(B4);
@gin(B5);
@gin(B6);
@gin(C1);
@gin(C2);
@gin(C3);
@gin(C4);
@gin(C5);
@gin(C6);
@gin(D1);
@gin(D2);
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