期中考试专题复习四圆锥曲线教师版.doc

夷陵中学2010级高二下理科期中考试复习专题四 圆锥曲线
典型例题
类型一 定点定值问题
例1.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于 A．B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由。
解析：（Ⅰ）由
因直线相切，，∴，
………………2分
∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，∴ 故所求椭圆方程为
（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：
由
即两圆公共点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）
（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：
由
记点．

∴TA⊥TB,
综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．
………………………16分
例2．.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。
(1)解：由题意知，∴，即
又，∴
故椭圆的方程为
(2)解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为
由得： 由得：
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则　　① ∴
∴ ∵，∴，∴
∴的取值范围是．
(3)证：∵B、E两点关于x轴对称，∴E(x2，－y2)
直线AE的方程为，令y = 0得： 又，∴
由将①代入得：x = 1，∴直线AE与x轴交于定点(1，0)．
类型二 参数范围
例3．设椭圆的两个焦点是，且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围。

类型三 最值问题
例4． 一动圆与圆外切，与圆内切.
(I)求动圆圆心M的轨迹的方程．
(Ⅱ)设过圆心的直线与轨迹相交于A、B两点，请问（为圆的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及直线的方程，若不存在,请说明理由.
解：（1）设动圆圆心为，半径为．
由题意，得，， ． (3分)
由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上，且，
．动圆圆心M的轨迹的方程为． (6分)
(2) 如图,设内切圆N的半径为,与直线的切点为C，则三角形的面积
当最大时,也最大, 内切圆的面积也最大, (7分)
设、(),
则, (8分)
由,得,
解得,, (10分)
∴,令,则,且,
有,令,则,
当时,,在上单调递增,有,,
即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,
∴存在直线,的内切圆M的面积最大值为. (14分)
例5.已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．
（1）证明：直线的斜率互为相反数；
（2）求面积的最小值；
（3）当点的坐标为，且．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
①直线的斜率是否互为相反数？ ②面积的最小值是多少？
（1）设直线的方程为．
由 可得 ．
设，则．
∴
∴

．
又当垂直于轴时，点关于轴，显然．
综上，． ---------------- 5分
（2）=．
当垂直于轴时，．
∴面积的最小值等于． ------10分
（3）推测：①；
②面积的最小值为． ------- 13分

类型四 切线问题
例6．已知椭圆的离心率，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上的动点,为椭圆的右焦点,以为圆心,长为半径作圆,过点作圆的两条切线,（为切点），求点的坐标，使得四边形的面积最大．]
（1）依题意得，
解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设 ，圆：，其中
，

又在椭圆上，

则
所以，
令，
，
当时，，当时，
所以当时，有最大值，即时，四边形面积取得最大值
此时点的坐标为或
类型五 探索性问题
例7．已知双曲线：的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由双曲线E：，得： ，，．……2分
又圆C过原点，所以圆C的方程为． ……………………4分
（Ⅱ）由题意，设，代入，得，…………5分
所以的斜率为，的方程为．………………6分
所以到的距离为， ……………………………………7分
直线FG被圆C截得的弦长为 ……………………………9分
(Ⅲ)设P(s,t),G(x0,y0),则由，得
整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ① ………………11分
又G(x0,y0)在圆C:(x+4)2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0 ②
②代入①，得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ……………………………………13分
又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知，…………………………14分
解得：s= -12, t=0. …………………………………………………………………15分
所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12,0）．
巩固提升
1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为(　　)
A.　　　 B．1　　　
C.　　　 D.
解析：利用抛物线定义

A到准线距离|AA′|，B到准线距离|BB′|，
且|AA′|＋|BB′|＝3，
AB中点M到y轴距离d＝－＝.
答案：C
2．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)
A．n＝0 B．n＝1
C．n＝2 D．n≥3
解析：如图所示．

答案：C
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：由得：y2－2y－8＝0, y1＝4，y2＝－2.
则A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)
|AF|＝＝5，
|BF|＝＝2
|AB|＝＝3
cos∠AFB＝＝＝－.
答案：D

4．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：依题意：a2－b2＝5，
令椭圆＋＝1，

如图可知MN＝AB，
∴＝，
由
∴x＝，
由∴x＝，

∴＝＝，
∴又a2＝b2＋5，
∴9b2＝b2＋4，∴b2＝.
答案：C
5．设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于(　　)
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：∵|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，
∴|PF1|＝|F1F2|，|PF2|＝|F1F2|
则若|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＋|F1F2|＝2|F1F2|>|F1F2|，
知P点在椭圆上，2a＝4c，∴a＝2c，∴e＝.
若|PF1|－|PF2|＝|F1F2|－|F1F2|＝|F1F2|<|F1F2|，
知P点在双曲线上，2a＝c，∴＝，∴e＝.
答案：A
6．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.＋1
C. D.＋1
解析：∵(＋)·＝0，
∴OB⊥PF2且B为PF2的中点，
又O是F1F2的中点

∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2.
则
整理，可得(－1)c＝2a，
∴e＝＝＋1.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：可知其中一个切点(1,0)为椭圆的右焦点，∴c＝1.
两切点的连线AB被OP垂直平分，∴所求直线OP斜率kOP＝.∴kAB＝－2，
∴直线AB：y－0＝－2(x－1)
∴y＝－2x＋2，∴上顶点坐标为(0,2)．
∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5
∴椭圆方程＋＝1.
答案：＋＝1
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：由已知4a＝16，a＝4，又e＝＝，
∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是____________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵F1(－，0)，F2(，0)，
∵＝(x1＋，y1)，＝(x2－，y2)，
∴(x1＋，y1)＝5(x1－，y2)，
∵⇒，
又∵点A，B都在椭圆上，
∴＋y＝1， ＋y＝1，
∴＋(5y2)2＝1，
∴＋25y＝1，
∴25－20x2＋24＝1，
∴25－20x2＋24＝1，
∴x2＝，∴x1＝5x2－6＝0，
∴把x1＝0代入椭圆方程得y＝1，∴y1＝±1，
∴点A(0，±1)．
答案：(0，±1)
10．已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝________.
解析：如图所示，

由角平分线定理知：＝，
∵点M为(2,0)，
∴点A在双曲线的右支上，
∵F1(－6,0)，F2(6,0)，a＝3，
∴|F1M|＝8，|F2M|＝4，
∴＝＝2， ①
又由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝6， ②
由①②解得|AF2|＝6.
答案：6
11.已知抛物线C:y=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点。
（1）求·的值；（2）设=，求△ABO的面积S的最小值；
（3）在（2）的条件下若S≤，求的取值范围。
⑴根据抛物线的方程可得焦点F（1,0），设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得-4my-4=0.
设A、B点的坐标分别为（，），（，）（﹥0﹥），则=-4.
因为=4，=4，所以==1，
故·=+=-3 ………………………………………………4分
(2)因为=，所以（1-，-）=（-1，）即 1-=-①
-=②
又=4③ =4④ ，由②③④消去，后，得到=，将其代入①，注意到﹥0，解得=。
从而可得=-，=2，故△OAB的面积S=·=
因为≧2恒成立,故△OAB的面积S的最小值是2………(8分).(3)由 ≦解之的≦≦
12．已知圆C1的方程为，定直线l的方程为．动圆C与圆C1外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（II）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ（O为坐标原点）的面积，求的值．
解（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则
，且 ————2分
A
可得 ．
由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程． ————5分
（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为．由于该直线经过点A（0,6），所以有，得．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为． —————9分
把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为．所以

13．设抛物线C1：x 2＝4 y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称．
(Ⅰ) 求曲线C2的方程；
(Ⅱ) 曲线C2上是否存在一点P（异于原点），过点P作C1的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(Ⅰ)解；因为曲线与关于原点对称，又的方程，
所以方程为． …………5分
(Ⅱ)解：设，，,．
的导数为，则切线的方程，
又，得，
因点在切线上,故．
同理, ．
所以直线经过两点，
即直线方程为,即，
代入得，则,，
所以 ，
由抛物线定义得，．
所以，
由题设知，，即，
解得，从而．
综上，存在点满足题意，点的坐标为
或 ．
…………15分
14.如图，在中，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线与圆 相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.

y
P
A
B
C
O
x

解（1）∵∴

∴∴
依椭圆的定义有：
∴， 又，∴
∴椭圆的标准方程为……………………………………………7分
（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，
也可以给满分.）
椭圆的右顶点，圆圆心为，半径.
假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，
则，圆心到直线的距离
当直线斜率不存在时，的方程为，
此时圆心到直线的距离（符合）
当直线斜率存在时，设的方程为，即，
∴圆心到直线的距离，无解
综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为
x
A(4,2)
O
y
P
F
15.如图所示，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8.
（1）求抛物线方程；
（2）若为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：设抛物线的准线为，过作于，过作于，
B
x
A(4,2)
O
y
P
F
（1）由抛物线定义知
C
(折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号.由题意知,即抛物线的方程为： 5分
（2）假设存在点，设过点的直线方程为，
显然，，设，，由以为直径的圆恰过坐标
原点有 ① 6分
把代人得
由韦达定理 ② 7分
又 ③
②代人③得 ④
②④代人①得
动直线方程为必过定点 10分
当不存在时，直线交抛物线于,仍然有，
综上：存在点满足条件 12分
注：若设直线BC的方程为可避免讨论.