地图投影的基本理论.doc

第一节地图投影的概念与若干定义 一、地图投影的产生 我们了解地球上的各种信息并加以分析研究，最理想的方法是将庞大的地球缩小，制成地球仪，直接进行观察研究。这样，其上各点的几何关系距离、方位、各种特性曲线以及面积等可以保持不变。 一个直径30厘米的地球仪，相当于地球的五千万分之一；即使直径1米的地球仪，也只有相当于地球的一千三百万分之一。在这一小的球面上是无法表示庞大地球上的复杂事物。并且，地球仪难于制作，成本高，也不便于量测使用和携带保管。 通过测量的方法获得地形图，这一过程，可以理解为将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特征点（测量控制点、地形点、地物点）用垂直投影的方法投影到图纸（图41）。因为测量的可观测范围是个很小的区域，此范围内的地表面可视为平面，所以投影没有变形；但对于较大区域范围，甚至是半球、全球，这种投影就不适合了。 由于地球（或地球仪）面是不可展的曲面，而地图是连续的平面。因此，用地图表示地球的一部分或全部，这就产生了一种不可克服的矛盾球面与平面的矛盾，如强行将地球表面展成平面，那就如同将桔子皮剥下铺成平面一样，不可避免地要产生不规则的裂口和褶皱，而且其分布又是毫无规律可循。为了解决将不可展球面上的图形变换到一个连续的地图平面上，就诞生了“地图投影”这一学科。 二、地图投影的定义 鉴于球面上任意一点的位置是用地理坐标（ ）表示，而平面上点的位置是用直角坐标（X,Y）或极坐标（ ）表示，因此要想将地球表面上的点转移到平面上去，则必须采用一定的数学方法来确定其地理坐标与平面直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法，称为地图投影。 三、地图投影的实质 球面上任一点的位置均是由它的经纬度所确定的，因此实施投影时，是先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面上，并将相同经度、纬度的点分别连成经线和纬线，构成经纬网；然后再将球面上的点，按其经纬度转绘在平面上相应位置处。由此可见，地图投影的实质就是将地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面上，建立球面上点（ ）与平面上对应点 之间的函数关系。 这是地图投影的一般方程式，当给定不同的具体条件时，就可得到不同种类的投影公式，依据各自公式将一系列的经纬线交点（ ）计算成平面直角坐标系（X，Y），并展绘在平面上，连各点得经纬线得平面表象（图42）。经纬网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。 四、地图投影的基本方法（一）几何透视法 系利用透视关系，将地球表面上的点投影到投影面上的一种投影方法。例如，我们假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般球体，在其球心、球面或球外安置光源，将透明球体上的经纬线、地物和地貌投影到球外的一个平面上，所形成的图形，即为地图。 图43即是将地球体面分别投影在平面和圆柱体面上的透视投影示意图。几何透视法只能解决一些简单的变换问题，具有很大的局限性，例如，往往不能将全球投影下来。随着数学分析这一学科的出现，人们就普遍采用数学分析方法来解决地图投影问题了。 （二）数学解析法 在球面与投影平面之间建立点与点的函数关系（数学投影公式），已知球面上点位的地理坐标，根据坐标转换公式确定在平面上的对应坐标的一种投影方法。 五、地图投影变形及研究对象与任务 经过地图投影这一方法，虽然解决了球面与平面之间的矛盾，但在平面上表示地球的各部分，完全无误的表示是不可能的，即是说它们之间必有差异，存在变形。 总体来讲，共有三种变形：一是长度变形，即投影后的长度与原面上对应的长度不相同了；二是面积变形。即投影后的面积与原面上对应面积不相等了；三是角度变形。即投影前后任意两个对应方向的夹角不相等了。 从图44、45，46和47可知地图投影产生了变形，产生这种情况的基本原因是什么?原来地球表面是一个不规则的曲面，即使把它当作一个椭球体或正球体表面，在数学上讲，它也是一种不能展开的曲面。要把这样一个曲面表现到平面上，就会发生裂隙或褶皱。在投影面上，则以经纬线的“拉伸”或“压缩”(通过数学手段)来避免之，从而可形成一幅完整的地图（图48），也就因此而产生了变形。 因此，地图投影研究的对象主要是研究将地球椭球面（或球面）描写到地图平面上的理论、方法及应用，以及地图投影变形规律。此外，还研究不同地图投影之间的转换和图上量算等问题。 地图投影的任务是建立地图的数学基础，它包括把地球面上的坐标系转化成平面坐标系，建立制图网经纬线在平面上的表象。 地图测制的最初过程，概略地分为两步：一是选择一个非常近似于地球自然形状的规则几何体来代替它，然后将地球面上的点位按一定法则转移到此规则几何体上；二是再将此规则几何体面（不可展曲面）按一定数学法则转换为地图平面。前者是大地测量学的任务，后者是地图投影学的任务。 所以整个地图投影过程见图49。 总之球面与平面之间的矛盾地图投影来 解决把将地球椭球面上的点转换成平面上的点。 大与小的矛盾比例尺来解决。 六、基本定义 我们已经知道，地球表而上的长度、面积、角度经过投影，一般地其量、值都会发生某种变化，而这些变化是在解决具体投影中必须认识和研究的。为此，我们需要给定以下一些基本定义。 1长度比与长度变形 如图410，411所示，ABCD是原面上一微分图形， 是投影面上对应图形、投影面上某一方向上无穷小线段 与原面上对应的无穷小线段 之比叫长度比，用 表示，则 （46） 长度比与1之差叫长度相对变形，简称长度变形，用 表示，则 （47） 当 时，表明投影后长度增加了； 时，表明投影后长度缩短了； 时，表明无长度变形。 长度比是一个变量，不仅随点位不同而变化，而且在同一点上随方向变化而变化。任何一种投影都存在长度变形。没有长度变形就意味着地球表面可以无变形地描写在投影平面上，这是不可能的。 2面积比与面积变形 和 两微分区域的面积分别为 、 。投影面上某区域无穷小面积和相应原面上无穷小面积之比叫面积比，用 表示，则 （48） 面积比与1之差叫面积相对变形，简称面积变形，用 表示，则 （49） 当 时，表示投影后面积增大； 时，表示投影后面积缩小； 时，表示面积无变形。 面积比或面积变形也是一个变量，它随点位的变化而变化。 3角度变形 投影面上任意两方向线所夹之角（ ）与原面上对应之角（ ）之差叫角度变形，用 表示，则 （410） 角度变形有正有负，当 时，投影后角度增大； 时，投影后角度减小； 时，投影前后角度相等，无角度变形。 角度变形也是一个变量，它随着点位和方向的变化而变化。在同一点上某特殊方向上，其角差具有最大值，这种最大值称为该点上的角度最大变形。 4标准点和标准线 标准点，系地图投影面上没有任何变形的点，即投影面与地球椭球体面相切的切点。离开标准点愈远，则变形愈大。 标准线，系地图投影面上没有任何变形的一种线，即投影面与地球椭球体面相切或相割的那一条或两条线。 标准线分为标准纬线和标准经线（分别称为标纬和标经），并又各自切纬线和割纬线或切经线和割经线。离开标准线愈远，则变形愈大。 标准点和标准线，在确定地图比例尺、分析地图投影变形分布规律、确定地图投影性质和在地图上进行量算，均要用作依据。 地图投影不可避免地产生变形，这是不依人们意志为转移的客观规律。我们研究投影的目的在于掌握各种地图投影变形大小及其分布规律，以便于正确控制投影变形。一般来说，地图投影变形越小越好，但对于某些特殊地图，要求地图投影满足特殊条件，则就不是说投影变形越小越好了。 第二节变形椭圆 一、变形椭圆的基本概念 我们还可以利用一些解析几何的方法论述上面所阐述过的变形问题。变形椭圆就是常常用来论述和显示投影变形的一个良好的工具。变形椭圆的意思是，地面一点上的一个无穷小圆微分圆(也称单位圆)，在投影后一般地成为一个微分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当地、直观地显示变形的特征。他是由法国数学家底索（Tissort）提出来的，亦称为底索曲线(指线)。图412是微分圆及其表象。 由于斜坐标系在应用上不甚方便，为此我们取一对互相垂直的相当于主方向的直径作为微分圆的坐标轴，由于主方向投影后保持正交且为极值的特点，则在对应平面上它们便成为椭圆的长短半轴，并以 和 表示沿主方向的长度比(如图413) 如果 用表示椭圆的长短半轴，则上式中 。为着方便起见，令微分圆半径为单位1，即r=1，在椭圆中即有。a=1，及b=2。因此，可以得出以下结论：微分椭圆长，短半轴的大小，等于O点上主方向的长度比。这就是说，如果一点上主方向的长度比(极值长度比)已经决定，则微分圆的大小及形状即可决定。 从图414可以看出，变形椭圆在不同投影中是各不相同的。我们知道，一个椭圆只要知道它的长短半径 ，则这个椭圆就可以完全确定了。关于计算 的解析式，将在后面研究。 图414中0栏表示投影中只有个别点或线上能保持主比例尺。1栏表示变形椭圆长、短半径 都比实地的r放长或缩短，但 ，因此形状没有变化。2栏表示 中的一个等于1,另一个不等于1，因此形状有变化。 3栏表示 都不等于1，但它们之间保持有一定的关系,即 或 ，因此形状变了但面积没有变化。4栏里的形状和面积均发生了变化。任何地图投影的变形性质，必属于图414中的某一栏。 二、极值长度比和主方向 （1）极值长度比 鉴于在某一点上，长度比随方向的变化而变化，通常不一一研究各个方向的长度比，而只研究其中一些特定方向的极大和极小长度比。 地面微分圆的任意两正交直径，投影后为椭圆的两共扼直径，其中仍保持正交的一对直径即构成变形椭圆的长短轴。沿变形椭圆长半轴和短半轴方向的长度比分别具有极大和极小值，而称为极大和极小长度比，分别用 和b表示。 极大和极小长度比总称极值长度比，是衡量地图投影长度变形大小的数量指标。在经纬线为正交的投影中，经线长度比（m）和纬线长度比（n）即为极大和极小长度比。经纬线投影后不正交，其交角为 ，则经纬线长度比m、n和极大、极小长度比之间具有下列关系： （411）或 其中（411）式也称为阿波隆尼定理 （2）主方向 过地面某一点上的一对正交微分线段，投影后仍未正交，则这两正交线段所指的方向均称为主方向。主方向上的长度比是极值长度比，一个是极大值，一个是极小值。在经纬线为正交的投影中，因交角 ，故可得： 由此表明，此时经纬线长度比与极值长度比一致。经纬线方向亦为主方向。在经纬线不正交的网格上，变形椭圆的主方向与经纬线不一致，因此在实用时要研究经纬线的长度比。 三、变形椭圆的作用 图415和图416是两个投影的示例。在投影中不同位置上的变形椭圆具有不同的形状或大小。我们把它们的形状同经纬线形状联系起来观察：在图415中，不同位置的变形椭圆形状差异很大，但面积大小差不多。 实际上这是一个等面积投影。在图416中，变形椭圆保持为圆形(但在不同位置上面积差异很大)。实际上，这是一个等角(正形)投影，故变形椭圆的长短半径相等，仍然是圆形，也就是形状没有变化。 四、等变形线 等变形线是投影中各种变形相等的点的轨迹线。在变形分布较复杂的投影中，难以绘出许多变形椭圆，或列出一系列变形值来描述图幅内不同位置的变形变化状况。于是便计算出一定数量的经纬线交点上的变形值，再利用插值的方法描绘出一定数量的等变形线以显示此种投影变形的分布及变化规律。 第三节投影变形的基本公式 一、长度比公式 由于地图投影上特点变形是不相同的，我们先从普遍的意义上来研究某一点上变形变化的特点,再深入研究不向点上变形变化的规律，便不难掌握整个投影的变形变化规律。各种变形(面积、角度等)均可用长度变形来表达，因此长度变形是各种变形的基础。为此，我们首先研究一点上长度比的特征。 按长度比定义，考虑到球面上的微分线段与平面上微分线段的比值，经推导可得任意一点与经线成 角方向上的长度比 为： （4-12）式中： M为子午线曲率半径；r为纬线圈半径 E，F，G称为一阶基本量，或称高斯系数 二、面积比公式 根据长度比可推导出面积比公式为：(413) 式中： 为极值长度比， 为经纬线投影后的夹角。三、角度变形的公式经纬线夹角变形公式经纬线在椭球面上是一组互相垂直的直线，经纬线投影后的夹角为，则在投影面上经纬线夹角变形为 ： 经纬线夹角变形的表达式可以经推导得到： (414) 式中： 最大角度变形公式 一点上可有无数的方向角，投影后这无数的方向角一般地都不能保持原来的大小。一点最大角度变形 可用极值长度比 来表示：(415) 按三角函数的概念，还可得到 此外，在实用上常通过以下公式求得： (416) 为最大与最小长度比即主方向的长度比(极值长度比)。 第四节地图比例尺 一、地图比例尺的定义 要把地球表面多维的景观描绘在二维有限的平面图纸上，必然遇到大和小的矛盾。解决矛盾的办法就是按照一定数学法则，运用符号系统、经过制图综合，特有用信息缩小表示。 为了使地图的制作者能按实际所需的比例制图，亦为了使地图的使用者能够了解地图与实际制图区域之间的比例关系，便于用图，在制图之前必须明确制定制图区域缩小的比例，在制成的图上也应明确表示出缩小的比例。 特别应该强调，由于地图投影的原因，会造成地图上各处的缩小比例的不同，地图投影时，应考虑地图投影对地图比例尺的影响。 电子地图出现后，传统的比例尺概念发生新变化。在以纸质为信息载体的地图上，地图内容的选取、概括程度、数据精度等都与比例尺密切相关，而在计算机生成的屏幕地图上，比例尺主要表明地图数据的精度。 屏幕上比例尺的变化，并不影响上述内容涉及的地图本身比例尺的特征， 首先应该指出，在传统地图上所标明的缩小比率，都是指长度缩小的比率。 当制图区域较小、景物缩小的比率也比较小时，出于采用了各方面变形都较小的地图投影，因此图面上各处长度缩小的比例都可以看成是相等的。在该情况下，地图比例尺的含义是指图上某线段的长度 与其相应的实地长度D之比。用数学式表达如下： （417） 例如，图上某线段长为5cm，在实他的长度为L500m。则其比例尺为 又如:测得地面距离1250m，求在1:5万图上的距离是多少？ 根据式(417)，图上距离 (即2.5cm)。 而当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当大时，此时所采用的地图投影比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化。 地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小，如制1:100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1:100万就是地图的主比例尺。 由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。 因此，作为用图者，一定不要在小比例尺地图上，用图上提供的主比例尺进行各种图上量算，尤其不能随意进行长度量算。 在地图投影中，切点、切线和割线上是没有任何变形的，这些地方的比例尺皆为主比例尺。切线或割线长度与球面上相应直线距离水平投影长度的比值即为地面实际缩小的倍数。 因此，通常以切点、切线和割线缩小的倍数表示地面缩小的程度；在各种地图上通常所标注的都是此种比例尺，故又称普通比例尺。主比例尺主要用于分析或确定地面实际缩小的程度。二、地图比例足在地图上的表现形式地图上表示比例尺有以下几种形式： 数字式比例尺 如 1:10000 文字式比例尺 如 百万分之一 图解式比例尺：直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 特殊比例尺： 变比例尺 无级别比例尺(1)数字式：用阿拉伯数字表示，例如1:100000等（或简写1:10万），也可用分数 表示。(2)文字式：用文字注解的方法表示。例如“百万分之一”，“图上1cm相当于实地10km”等。表达比例尺长度单位，在地图上通常以cm计，在实地以m和km计，涉及到航海方面，则以mile(海里)计 (3)图解式 直线比例尺：系以1cm为一基本尺段，呈直线图形的比例尺。整个比例尺分主副尺两部分，主尺包括若干尺段，从第一尺段分点处注0起，向右计数；副尺占一个尺段；细分10小格，从0处向左计数，每小格为0.1基本尺段，读数时可估读到0.01基本尺段。每一基本尺段相当于实地的长度随某地图的比例尺大小而定。见图419。 斜分比例尺 又称微分比例尺。它不是绘在地图上的比例尺图形，而是一种地图的量算工具；是依据相似三角形原理，用金属或塑料制成的（图4-20）。 如图中ab线段为2.64个单位长度，若地图比例尺为1:5万，则其实地长度为2.64km，若比例尺为1:10万，则实地长度为5.28km。 复式比例尺 复式比例尺系由主比例尺与局部比例尺组合成的比例尺，故又称投影比例尺（图4-21）。绘制地图必须用地图投影来建立数学基础，但每种投影都存在着变形，在大于1:100万的地形图上，投影变形非常微小，故可用同一个比例尺主比例尺表示或进行量测； 但在广大地区更小比例尺地图上，不同的部位则有明显的变形，因而不能用同一比例尺表示和量测。为了消除投影变形对图上量测的影响，根据投影变形和地图主比例尺绘制成复式比例尺，以备使用。 复式比例尺由主比例尺的尺线与若干条局部比例尺的尺线构成，分经线比例尺和纬线比例尺两种。以经线长度比计算基本尺段相应实地长度所作出的复式比例尺，称经线比例尺，用于量测沿经线或近似经线方向某线段的长度； 以纬线长度比计算基本尺段相应实地长度所作出的复式比例尺，称纬线比例尺，用于量测沿纬线或近似纬线方向某线段的长度。当量标准线上某线段长度，则用主比例尺尺线；量其它部位某线段长度，则应据此线段所在的经度或纬度来确定使用哪一条局部比例尺尺线。 (4)特殊比例尺：地图比例尺除上述几种传统表现形式外，还有两种特殊的表示： 变比例尺 当制图的主区分散且间隔的距离较远时，为了突出主区和节省图面，可将主区以外部分的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原规定的比例表示。例如旅游景区比较分散的旅游图，或街区有飞地的城市交通图等。 无级别比例尺 这是一种随数字制图的出现而与传统的比例尺系统相对而言的一个新概念，并没有一个具体的表现形式。在数字制图中、由于计算机或数据库里可以存储物体的实际长度、面积、体积等数据，因此没有必要将地图数据固定在某一种比例尺。 应该明确的是，数字制图并不是不考虑地图比例尺的概念。因为人们在数字制图的资料搜集时，非常注意这些数据来源于何种比例尺，精度和详细程度如何。 从这里可以看出，比例尺的概念为数字制图数据的使用提供了方便。不过数字地图的确不同于传统购纸质地图，因为它不必按比例尺系统来搜集地图数据。如从1:10万地图上获取的数据，在制图综合、图形处理技术方法进一步完善的条件下，它可以生成任一级其他比例尺的地图，故可以把存储数据的精度和内容详细程度都比较高的地图数据库，称为无级别比例尺地图数据库。 三、地图比例尺系统 每个国家的地图比例尺系统是不同的。我国采用十进制的米制长度单位。规定8种比例尺为国家基本地图的比例尺(表4-1)。 小比例尺地图没有固定的比例尺系统。但在长期的制图实践中，小比例尺地图也逐渐形成约定的比例尺系列。如1:100万、1:150万、1:200万、1:250万、1:300万、1:400万、1:500万、1:600万、1:750万、1:1000万等。 四、地图比例尺的作用 （1）测制和使用地图必不可少的数学基础 同一区域或同类的地图上，内容要素表示的详略程度和图形符号的大小，主要取决于地图比例尺；比例尺愈大，地图内容愈详细，符号尺寸亦可稍大些，反之，地图内容则愈简略，符号尺寸相应减小。 （2）反映地图的量测精度 测绘工作者把某一比例尺地图上0.1mm相当于实地的水平长度，称为比例尺精度；由上述可知，0.1mm即是将地物按比例尺缩绘成图形可以达到的精度的极限，故比例尺精度又称极限精度。 依据比例尺精度，在测图时可以按比例尺求得在实地测量能准确到何种程度，即可以确定小于何种尺寸的地物就可以省略不测，或用非比例符号表示；同时可以根据精度要求，确定测图的比例尺，若要求表示到图上的实地最短长度为0.5米，则应采用的比例尺不得小于： 同样，在使用地图时，根据精度的要求，可以确定选用何种比例尺的地图，例如要求实地长度准确到5m，则所选用的地图比例尺不应小于：（3）反映地图内容的详细程度 地图比例尺愈大，表示地物和地貌的情况愈详细，误差愈小，图上量测精度愈高；反之，表示地面情况就愈简略，误差愈大，图上量测精度愈低。但不应盲目追求地图精度而增大测图比例尺，因为在同一测区，采用较大比例尺测图所需工作量和投资，往往是采用较小比例尺测图的数倍，所以应从实际需要的精度出发，择取相应的比例尺。 第五节地图投影的分类 人们对于地图投影的分类已经进行了许多研究，并提出了一些分类方案，但是没有任何种方案是被普遍接受的。目前主要是依外在的特征和内在的性质来进行分类。前者体现在投影平面上经纬线投影的形状，具有明显的直观性；后者则是投影内蕴含的变形的实质。在决定投影的分类时，应把两者结合起来，才能较完整地表达投影。一、按投影的变形性质分类 地图投影按其变形性质可分为等角投影、等积投影和任意投影。 （1）等角投影 投影面上某点的任意两个方向线间的夹角与地球椭球面上相应两方向间的夹角相等，即角度投影变形=0。因此，球面上一定范围内的地物轮廓经投影后，仍保持其形状不变。长度比的变化仅与点的位置有关，而与方向无关。 即a=b，=90（经纬线投影后相互垂直），所以等角投影又称正形投影或相似投影，也有叫保角映射。为了满足a=b的要求，则由投影的面积比公式： P=ab=mn 可知，这种投影的面积变形较大。 等角投影在小范围内没有方向变形，因而便于在图上量测方向和距离，适用于编制交通图、洋流图和各种比例尺地形图。世界各国地形图多用此投影。我国大中比例尺地形图上所采用的高斯克吕格投影就是等角横切椭圆柱投影，而小比例尺地形图和航空图则采用等角圆锥投影，海图采用的墨卡托投影则是等角正圆柱投影。 (2)等积投影 等积投影是指投影面上的任意图形面积与地球椭球体面上相应的图形面积相等的投影。等积投影满足面积比P=1，由公式可知: P=ab=1 变形椭圆的最大长度比与最小长度比互为倒数关系，a=1/b, 或b=1/a，由此可以看出，在不同点上变形椭圆的形状相差很大，即长轴越长，则短轴越短。也就是说，等积投影是以破坏图形的相似性来保持面积上的相等，因此等积投影的角度变形大。 等积投影便于在地图上量测面积，主要用于编制要求面积无变形的地图，如政区、人口密度、土地利用等自然和社会经济地图。（3）任意投影 任意投影既不是等角投影，也不是等积投影，是角度、面积和长度三种变形同时存在的一种投影，即包括了除等角、等积投影之外的所有投影。 在任意投影中，有一种比较常见的投影，即等距投影。所谓等距投影是指保持沿变形椭圆一个主方向长度比为1，即a=1，或b=1。该种投影面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。 常用于编制对投影性质无特殊要求或区域较大的地图。如教学用图、科普地图、世界地图、大洋地图，以及要求在一方向上具有等距性质的地图，如交通地图、时区地图。 二、按投影方式分类 地图投影前期是建立在透视几何原理基础上，借助于辅助面将地球(椭球)面展开成平面，称为几何投影。后期则跳出这个框架，产生了一系列按数学条件形成的投影，称为条件投影。 (一)几何投影 几何投影的特点是将椭球面上的经纬线投影到辅助面上，然后再展开成平面。在地图投影分类时是根据辅助投影面的类型及其与地球椭球的关系划分的(如图4-22)。 1按辅助投影面的类型划分 方位投影：以平面作为投影面的投影； 圆柱投影：以圆柱面作为投影面的投影； 圆锥投影：以圆锥面作为投影面的投影。 2按辅助投影面和地球(椭球)体的位置关系划分 正轴投影：辅助投影平面与地轴垂直(如图4-22(C1)，或者圆锥、圆柱面的轴与地轴重合(如图422(A1)、(B1)的投影； 横轴投影：轴助投影平面与地轴平行(图422(C2)，或者圆锥、圆柱面的轴与地抽垂直(如图422(A2)、(B2)的投影； 斜轴投影；轴助投影平面的中心法线或圆锥、圆柱面的轴与地轴斜交(如图4-22(C3)、(B3)、(A3)的投影。 3按辅助投影面与地球(椭球)面的相切或相割关系划分 切投影：辅助投影而与地球(椭球)面相切(如图4-22(A2)、(A3)、(B1)、(B3)、 (C1)、(C2)； 割投影：辅助投影面与地球(椭球)面相割(如图4-22(A1)、(B2)、(C3)。(二)条件投影 条件投影是在几何投影的基础上，根据某些条件按数学法则加以改造形成的。对条件投影进行分类实质上是按投影后经纬线的形状进行分类。由于随着投影面的变化，经纬线的形状会变得十分复杂。在此我们只讨论正轴条件下的经纬线形状，其基础又是三种几何投影(如图423)。1方位投影 经线投影成同心圆，经线投影为同心圆的半径，即放射的直线束，且两条经线间的夹角与经差相等。2 圆柱投影 维线投影成平行直线，经线投影为与纬线垂直的另一组平行直线，两条经线间的间隔与经差成比例。3圆锥投影 纬线投影成同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两经线间的夹角小于经差且与经差成比例。4多圆锥投影 纬线投影成同轴圆弧，中央经线投影成直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线（图424）。5伪方位投影 纬线投影成同心圆，中央经线投影成直线，其他经线投影为相交于同心圆圆心且对称于中央经线的曲线。 特点：可设计等变形线与制图区域轮廓近似一致。如：椭圆形、卵形、三角形、三叶玫瑰形和方形等规则几何图形。 图425是正轴伪方位投影示意图，图426是斜轴伪方位投影示意图，图427是我国采用伪方位投影经纬网及角度等变形线。6伪圆柱投影 纬线投影成一组平行直线，中央经线投影为垂直于各纬线的直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。适合沿赤道和沿中央经线伸展方向的地区（图428）。 7伪圆锥投影 纬线投影成同心圆弧，中央经线投影成过同心圆弧圆心的直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线（图429）。 第六节地图投影的命名 对于一个地图投影，完整的命名参照以下四个方面进行：1地球(椭球)与辅助投影面的相对位置(正轴、横袖或斜轴)；2地图投影的变形性质(等角、等面积、任意性质三种，等距离投影属任意性质投影)；3辅助投影面与地球相割、相切(割或切)；4作为辅助投影面的可展面的种类(方位、圆柱、圆锥)。 例如正轴等角割圆锥投影(也称双标准纬线等角圆锥投影)、斜轴等面积方位投影、正轴等距离圆柱投影、横轴等角切椭圆柱投影(也称高斯克吕格投影)等。也可以用该投影的发明者的名字命名。 在地图作品上，有时还注明标准纬线纬度或投影中心的经纬度，则更便于地图的科学使用。历史上也有些投影以设计者的名字命名，缺乏投影特征的说明，只有在学习中了解和研究其特征，才能在生产实践中正确地使用。 第七节地图定向 确定地图上图形的地理方向叫地图定向，这里主要介绍地形图的定向和小比例尺地图的定向。一、地形图的定向 为了满足使用地图的要求，规定在大于1:10万的各种比例尺地形图上绘出三北方向和三个偏角的图形。它们不仅便于确定图形在图纸上的方位，同时还用于在实地使用罗盘标定地图的方位。 三北方向线（图430）（2）小比例尺地图的定向 我国的地形图都是以北方定向的。在一般情况下，小比例尺地图也尽可能地采用北方定向，见图431，即使图幅的中央经线同南北图廓垂直。但是，有时制图区域的情况比较特殊（例如我国的甘肃省），用北方定向不利于有效地利用标准纸张和印刷机的版面，也可以考虑采用斜方位定向，见图432。