高三数学周末练习四.doc

高三数学周末练习四
班级_________姓名______________学号________
一、填空题（每题5分共60分，答案必须填写在答题纸相应横线上）
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为________．
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(2)＝________.
3．已知函数f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数，则实数m的取值范围是________．
4．已知f(x)＝x＋cos x(x∈R)，则不等式f(ex－1)>f(0)的解集为________．
5．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
6．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
7．若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)．
8．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
9． 已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．
10．与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．
11．函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．
12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
二、解答题（每题15分共60分，解答应写出必要的文字过程、证明过程或演算步骤）
13．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．

14．已知函数y＝f(x)＝.
(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)的最大值．

15．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．

16．已知f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2成立．

高三数学周末练习四
班级_________姓名______________学号________
一、填空题
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为________．
解析 f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
答案 3(x2－a2)
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(2)＝________.
解析 f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.
∴f′(2)＝0.答案 0
3．已知函数f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数，则实数m的取值范围是________．
解析　f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，依题意，知f′(x)≥0在R上恒成立，所以Δ＝4(m2－6m＋8)≤0得2≤m≤4.
答案　[2,4]
4．已知f(x)＝x＋cos x(x∈R)，则不等式f(ex－1)>f(0)的解集为________．
解析 f(x)＝x＋cos x，f′(x)＝1－sin x≥0，∴f(x)(x∈R)是增函数．若f(ex－1)>f(0)，则ex－1>0，ex>1，即x>0.∴解集为(0，＋∞)．
答案 (0，＋∞)
5．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
解析　由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.由f′(x)＞0得x＜0或x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2，所以f(x)在x＝2处取得极小值．
答案　2
6．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不等的实根，由Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)
7．若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)．
解析　f′(x)＝excos x－exsin x，因为函数图象在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝e(cos 1－sin 1)＜0，所以切线的倾斜角是钝角．
答案　钝角
8．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
解析　设P(t，t2－ln t)，由y′＝2x－，得k＝2t－＝1(t＞0)，解得t＝1.所以过点P(1,1)的切线方程为y＝x，它与y＝x－2的距离d＝＝即为所求．
答案　
9． 已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [4，＋∞)

10．与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．
解析 设切点的坐标为(x0，x＋3x－1)，则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.
答案 3x＋y＋2＝0
11．函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．
解析　由f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．故函数在(a,10－a2)上存在最大值的条件为
答案　[－2,1)
12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
解析　∵f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，∴f′(x)＝0的Δ＝|a|2－4a·b>0，cos〈a，b〉＝<＝，
又y＝cos θ在(0，π)上是递减的，∴〈a，b〉∈.
答案　
二、解答题
13．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解　f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，
由已知得解得a＝，x＝e2.
因为两曲线交点坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，所以切线方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.
14．已知函数y＝f(x)＝.
(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝处的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)的最大值．
解　(1)因为f′(x)＝，
所以k＝f′＝2e2.又f＝－e，
所以y＝f(x)在x＝处的切线方程为
y＋e＝2e2，即2e2x－y－3e＝0.
(2)令f′(x)＝0，得x＝e.
因为当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，
所以f(x)max＝f(e)＝.
15．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
解 (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有
即12a＋b＝0,8a＋2b＋c＝c－16，
化简得解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；[来源:Z&xx&k.Com]
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
16．已知f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2成立．
(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在上单调递减；在上单调递增．
故当x＝时，f(x)取最小值为－.
(2)解　存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，即2xln x≤－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥2ln x＋x＋在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥(2ln x＋x＋)min.
记h(x)＝2ln x＋x＋，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝＋1－＝＝.
当x∈(0,1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0.
所以当x＝1时，h(x)取最小值为4，故a≥4.
(3)证明　记j(x)＝2，x∈(0，＋∞)，
则j′(x)＝2.
当x∈(0,1)时，j′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，j′(x)＜0.
所以当x＝1时，j(x)取最大值为－.
又由(1)知，当x＝时，f(x)取最小值为－，
故对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2成立．
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