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反比例函数题型聚焦

　　反比例函数是初中数学学习的“三大函数”（一次函数、二次函数和反比例函数）之一，其重点是反比例函数的概念、图象和性质．透视反比例函数的主要题型，聚焦反比例函数的解题方法．
　　题型一：考查求反比例函数的关系式
　　例1　若反比例函数的图象经过(－2，1)，则k的值为 (　　)
　　A、－2　　　B、2　　　C、－　　　D、
　　分析：这是一类常见的中考题型，已知反比例函数经过一点求反比例函数的解析式，由于反比例函数确定值时只需要一个点，所以将点的坐标代入解析式即可求出值．
　　解：将(－2， 1 )代入，所以＝－2．故选（A）
　　例2　某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）与可变电阻 R（Ω）之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A时，用电器的可变电阻为_______Ω．

　　分析：由图象知电流I与电阻R成反比例函数关系，可设关系式为，从图象知（9，4）在函数图象上，则可得的值从而解决问题．
　　解：设电流I与电阻R的关系式为，
　　把（9，4）代入关系式得：K＝36
　　∴关系式为，当I＝10A时，R＝3.6（Ω）
　　评注：本题了用待定系数法求反比例函数关系式，用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：⑴设所求反比例函数的一般式；⑵根据题意列出方程或方程组并求解；求出待定系数；⑶写出所求的反比例函数关系式．
　　题型二：考查反比例函数图象的性质
　　例3　反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，则的值可为（　　）
　　A．　　　B．0　　　C．1　　　D．2
　　分析：因为反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，所以，所以，观察4个选项只有D正确．
　　解：选（D）．
　　例4　已知是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（　　）
　　Ａ．　　　Ｂ．
　　Ｃ．　　　Ｄ．
　　分析：本题考查了反比例函数图象的性质，由于反比例函数有两个分支分别位于两个象限，所以解决此类问题的最好方法是用“数形结合思想”来做，如图所示：

　　观察图象可知：．
　　解：选（C）
　　评注：用“数形结合法”比较容易解决反比例函数图象的性质的有关问题，本题极易犯的错误是，由可知，所以随着的增大而减小，所以，选A．忽略的性质成立的前提条件是在“同一象限里”．这一点必须注意．
　　题型三　反比例函数值的比较
a2 a1
b1
b2
M
N
x
y
O

　　例5　已知点M(a1，b1)，N(a2，b2)都在函数的图像上，若a1＞a2＞0，关于 b1，b2的大小关系正确的是（　　）
　　（A）b1＞b2＞0　　（B）b1＜b2＜0
　　（C）b2>b1>0　　（D）b2＜b1＜0
　　解：如图所示，
　　正确答案为：D．
y3
y1
y2

　　例6、在函数( a 为常数)的图像上有三点：（ -1，y1 ），（ ，y2 ），（ ，y3 ），则函数值y1 ，y2 ，y3的大小关系为（　　）
　　（A）y1＞y2＞y3　　（B）y1＜y2＜y3
　　（C）y2>y1> y3　　（D）y2＜y1＜y3
　　解：∵∴函数( a 为常数)的图像如图所示，
　　正确答案为：C．
　　评注　反比例函数的函数值比较大小问题是近几年出现频率较高的一类题目．在函数值可以求出时，可以计算后直接比较；当函数值不可求时，就只能根据函数性质采用数形结合的方法来比较，具有很强的抽象性，难度较大．
　　题目的一般形式：已知，A(x1，y1)， B(x2，y2)在反比例函数的图像上，且x1＜x2，试比较y1与y2的大小．
　　分类探究y1与y2的大小关系（见下表）：

A，B两点位置
图像示意图
函数值大小关系
k＞0
A，B位于同一象限即 x1，x2同号
0＜x1＜x2或
x1＜x2＜0

x1 x2
y1
y2
或x1 x2
y1
y2

y1＞y2
A，B位于不同象限即 x1，x2异号
x1＜0＜x2
x1
y1
y2
x2

y1＜y2
k＜0
A，B位于同一象限即 x1，x2同号
x1＜x2＜0或
0＜x1＜x2
x1 x2
y2
y1
或
x1 x2
y2
y1

y1＜y2
A，B位于不同象限即 x1，x2异号
x1＜0＜x2
x1
y1
y2
x2

y1＞y2
　　思路点拨：只要能判断出k 的符号，画出示意图象，数形结合，便可求解．须注意的问题是分类讨论，不要漏解；不能简单的按函数性质判断，谨防思维定势．
　　题型四：考查反比例函数的应用
　　例7　一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.
　　(1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度v(千米/小时)与时间t(小时)之间的函数关系式
　　(2)如果该司机匀速返回时，用了48小时，求返回时的速度.
　　分析：根据速度、时间、路程三者的关系求解．
　　解析：⑴甲乙两地的距离是80×6＝480（千米）
　　∴汽车速度v(千米/小时)与时间t(小时)之间的函数关系式为：；
　　⑵当时，（千米/小时）
　　评析：解决反比例函数的应用问题关键是抓住实际问题中的等量关系，把实际问题转化为数学模型．
　　题型四：考查反比例函数与一次函数的综合运用
　　例8　已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点与点，且与反比例函数的图象相交于另一点．
1
0
1
3

C
B
A

　　（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
　　（2）求点的坐标．
　　分析：由A点可求出反比例函数的解析式，
由A、C可求出一次函数的解析式，从而解决问题
　　解：（1）点在反比例函数的图象上．
　　　　即
　　又，在一次函数图象上．
　即
　　反比例函数与一次函数解析式分别为：与
　　（2）由得，即
　　或于是或
　　点的坐标为
　　评注：解决综合问题离不开解析式这一基础，求解析式往往是中考必考的内容之一，其解题的方法是将点的坐标代入解析式来解决问题．

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