高考数学复习点拨求数列通项的初等方法新人教A版.doc

求数列通项的几种方法
近年的高考中出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式）求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供教学参考.
1、多式相加法
数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.
例1.在数列{an}中，a1=－1，an+1= an+2n，求an（n≥2）.
解：由条件，a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……，an= an－1+n(n－1)，以上n－1个式子相加化简得：an=a1+n(n－1)=n2－n－1.
2、多式相乘法
数列有形如an=f(n)·an－1的解析关系，而f(1)·f(2)……f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.
例2．在数列{an}中，≥2），求.
解：由条件an－1,
这n－1个式子相乘化简得：
.
3、待定系数法
数列有形如、b为常数）的线性递推关系，可用待定系数法求得an.
例3．在数列{an}中，求.
解：在的两边同加待定数，得+（－1）/3），令得数列{是公比为3的等比数列,
∴an=
4、分解因式法
当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.
例4．已知数列满足（n∈），且有条件≥2）.
解：由得：
对n∈，再由待定系数法得：
∴
5、求差法
数列有形如的关系（非递推关系），可考虑用求差后，再用其它初等方法求得
例5．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数与2的等差中项等于与2的等比中项：
（1）写出数列的前3项；
（2）求数列的通项公式.
出题者的意图是：通过（1）问求出数列前3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.
解：（1）略
（2）由条件，得
即 ①
②
①－②得，
即
分解因式得
对于∈＞0，∴
∴是公差为4的等差数列，

6、倒数法
数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出
例6．设数列满足求
解：原条件变形为两边同乘以得.
∵
∴
7、复合数列构成等差、等比数列法
数列有形如的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法求得
例7．在数列中，求
解：由条件
∴
∴再用多式相加法可得：
8、循环法
数列有形如的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出
例8．在数列中，
解：由条件
即
即每间隔6项循环一次.1998=6×333，
∴
9、开方法
对有些数列，可先求再求
例9．有两个数列它们的每一项都是正整数，且对任意自然数、、成等差数列，、、成等比数列，
2bn=an+an+1,①
a2n+1=bn·bn+1.②

解：由条件有：

由②式得：③
④
把③、④代入①得：，
变形得）.
∵＞0，∴－.
∴是等差数列.因

∴故

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