食堂窗口建模优化.doc

排队论模型应用

排队论模型应用

食堂窗口设置合理化改进

指导老师：
学 生：
学 号：
2010年6月19日

问题 学生食堂的卖饭菜窗口个数和同学们吃饭的方便程度有关.窗口太少,吃饭高峰期同学排除时间很长,浪费时间,引发学生的不满情绪.窗口太多,会造成资源浪费,增加食堂成本.请同学们完成以下问题:
(1)请建立数学模型说明窗口设置是否合理;
(2)给食堂管理部门写一封短信,提出你对改进食堂卖菜饭窗口数量设置的建议.
问题分析 食堂窗口与就餐人员之间是服务机构与顾客的关系,可以用服务系统模型来表示,就餐人员打饭的过程,即为顾客接受服务机构服务的过程.
离去
到达
顾客
排队规则
等待服务
服务时间
服务系统
接受服务

故可以用排队论模型中有关服务系统的理论来分析和解决该问题.
模型建立 学生到食堂就餐的时刻可以认为是随机的,若用N(t)表示[0,t)时间内到达该服务系统的顾客数,则对于任意一个给定的时刻t,N(t)的值都是随机的,即随机变量族{N(t)|t∈[0,A)}是一个随机过程.同样,打饭需要的时间长短因人而异,也认为是随机的,若用V(n)表示第n位顾客所需的服务时间,则有随机变量族{Vn,n=1,2,…}.
我们排除团体用餐的情况,并且将少数结伴而来的学生亦视为有先后顺序,故这里将学生就餐的过程看作是排队论中的泊松过程(最简单流)讨论.
因此,由排队论的有关知识, t时刻到达服务系统的人数为k 的概率为:
P(N(t)=k)= (λt)kk!e-λt ,k=1,2,……,其中λ＞0,
第n位顾客所需的服务时间不超过t的概率服从负指数分布:
P(Vn≤t)= 1-e-μt , t≥0 , 0 , t<0 . 其中μ＞0.
为了使模型便于求解,假定每个工作人员的打饭效率相同,每个窗口的饭菜相同,即不会出现某个窗口“扎堆”排长队或无人问津的现象.由于每个窗口独立排队、服务,这里把m个窗口服务X位顾客的情况等同为1个窗口服务 Xm 位顾客的情况来讨论.又假定食堂打陶服务系统的容量无限,来到食堂就餐的学生不会在未打好饭之前离去.这样,得到一个输入过程为最简单流,服务时间为负指数分布,1个服务台,系统容量无限,顾客源数无限的等待制排队模型.
这里,对有关符号的数量指标加以说明:
λ ——单位时间内平均到达的顾客数,即平均到达率;
μ ——单位时间内受到服务的顾客数,即平均服务率;
1μ ——每位顾客的平均服务时间;
Lq ——等待队长的期望值;
Wq ——等待时间的期望值.
模型求解 某食堂有4个服务窗口,对该食堂进行讨论.
在11:30至12:10之间,每4分钟为1个时段,统计到达人数,如下表.
时段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
到达数
68
93
105
118
134
147
136
113
89
47
求得平均到达率为:
λ= 68+93+105+118+134+147+136+113+89+4710×4×4 = 5.94 (人/分钟)
相应地,对50名顾客接受服务的时间进行统计,得到下表.
时间(秒)
0～5
5～10
10～15
15～20
20～25
25～30
人数
2
35
8
3
1
1
求得平均服务时间为:
1μ = 2×2.5+35×7.5+8×12.5+3×17.5+1×22.5+1×27.550×60 = 0.157(分钟)
平均服务率为:
μ = 6.37 (顾客/分钟)
等待队长的期望值为:
Lq = λ2μ(μ-λ)=5.9426.37×(6.37-5.94) = 12.88(顾客)
等待时间的期望值为:
Wq = λμ(μ-λ)=5.946.37×(6.37-5.94) = 2.17(分钟)
结果分析 上述模型求出的平均服务时间为9.4秒,这与实际情况大体吻合;等待队长的期望值为12.88顾客,明显偏长,但实际上,高峰期往往排队会更长些,这主要是因为在高峰期,用餐人数比闲时明显增多(如下图所示),且持续时间较长;相应地,现实中高峰期的等待时间也比求得的平均等待时间(2.17分钟)要久.另外,实际上并不是每个窗口的饭菜都一样的,存在个别窗口很受欢迎或不受欢迎的情况,造成该窗口前的排队明显过长.就餐人员排队时间过长,自然会产生不满情绪.
时段
到
达
人
数

相应地,在就餐人数较少时,单位时间到达的顾客数明显少于单位时间工作人员所能服务的人数,造成资源浪费,增加了食堂的成本.
因此,该食堂的窗口设置尚不够合理的.现从就餐人员排队时间过长引起不满和食堂资源浪费增加成本两个方面来考虑改进窗口设置.
窗口设置改进:现假设各时段内的用餐人数是均匀增加的,根据各时段的到达人数分别求出每个时段需要的窗口数,如下表所示.
11:30为零点，每4分钟为1个时段
时段
窗口数

11:30前, 3个窗口即可; 11:35应开放4个窗口;11:45应开放5个窗口,以防止出现排队过长的现象;直到12:05再减少为4个窗口,至此时,5、6、7时段排队的就餐人员已经服务完毕;12:10后只需2个窗口即可.调整后,各时段能够服务人数和需要排队等待人数如下表.
时
间
←11:30
←11:35
←11:45
12:05
→
12:10
→
窗口
3个
4
4
4
5个
4个
时段
11:34→
11:38→
11:42→
11:46→
11:50→
11:54→
11:58→
12:02→
12:06→
12:10→
服务
76.44
101.9
101.9
101.9
127.4
127.4
127.4
127.4
127.4
50.96
排队
0
0
3.08
16.08
6.6
19.6
8.6
0
0
0
这里做出说明,大约到11:48,到就餐人数的才达到5个窗口能够服务的人数,按平均服务时间来算,11:45至11:48之间的3分钟时间内,5个窗口的服务能力有剩余,完全能够完成之前排队人员( 所示)的服务.
窗口调整后的等待时间( 和 部分取最大值)仅为调整前(2.17分钟)的一半:(6.6+19.6+8.6)/5×0.157=1.09(分钟),改进的效果十分明显.
对于食堂的运营成本, 其它因素不变的情况下,这里只讨论人力部分.该食堂11:20至12:10之间营业,每个窗口有1名工作人员,总的人力成本为:50×4=200(人·分钟).调整窗口设置后,11:20至11:30只需最多2个窗口,12:10至12:20也只需最多2个窗口,总的人力成本最多为:2×10+3×5+4×10+5×20+4×5+2×10=190(人·分钟).
故窗口设置按照该方案调整后,食堂的运营成本也会相应减少.
给食堂管理部门的建议
某食堂现在有4个窗口,经过我们的调查分析,人少时窗口空闲浪费资源,增加成本,人多时就餐人员排队过久,引起不满情绪.为既减少排队等待时间防止用餐人员不满,又降低食堂成本,有如下2条建议:
1.按就餐人员到达时间设置窗口:11:30前２个,11:30后3个,11:35后4个,11:45后5个,12:05后4个,12:10后2个.调整后,就餐人员排队等待时间仅为原来的一半,排队造成的不满也将明显减少;同时,食堂窗口所需要的人力成本也相应地减少.
2.某些饭菜受欢迎而有一些却不受欢迎,这样使得某些窗口前排队过久引起不满,而另有一些窗口空闲造成资源浪费,增加了食堂的运营成本,建议食堂提高烹调技艺,全面改善饭菜质量.
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