第3章第2节.doc

第三章第二节1(2014厦门质检)函数y(3x2)ex的单调递增区间是()A(，0)B(0，)C(，3)和(1，)D(3,1)解析：选Dy2xex(3x2)exex(x22x3)，由y0得x22x30解得3x1，函数y(3x2)ex的单调递增区间是(3,1)故选D.2(2014青岛检测)函数f(x)exx(e为自然对数的底数)在区间1,1上的最大值是()A1B1Ce1De1解析：选Df(x)ex1，令f(x)0，得x0，令f(x)0得x0，令f(x)0，得x0，则函数f(x)在(1,0)上递减，在(0,1)上递增，f(1)e11，f(1)e1，f(1)f(1)2e2e0，f(1)f(1)故选D.3(2014温州十校联合体联考)已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则()Af(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Bf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Cf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Df(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)解析：选D令g(x)，则g(x)0，所以函数g(x)是单调减函数，所以g(1)g(0)，g(2 014)g(0)，即，故f(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)4(2014辽宁五校联考)函数f(x)x3bx21有且仅有两个不同零点，则b的值为()ABCD不确定解析：选Cf(x)3x22bxx(3x2b)，由f(x)0，得x0，x.当曲线f(x)与x轴相切时，f(x)有且只有两个不同零点，因为f(0)10，所以f0，解得b.故选C.5(2012重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：选D由图可得函数y(1x)f(x)的零点为2,1,2，则当x1时，1x0，此时在(，2)上f(x)0，f(x)0，在(2,1)上f(x)0，f(x)0；当x1时，1x0，此时在(1,2)上f(x)0，f(x)0，在(2，)上f(x)0，f(x)0.所以f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，因此f(x)有极大值f(2)，极小值f(2)，故选D.6若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2B3C6D9解析：选Df(x)12x22ax2b，4a296b0，又x1是极值点，f(1)122a2b0，即ab6，ab9，当且仅当ab时等号成立，ab的最大值为9，故选D.7(2014南京模拟)若f(x)(x2)2bln x在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_解析：(，1由题意可知f(x)(x2)0在(1，)上恒成立，即bx(x2)在x(1，)上恒成立，由于(x)x(x2)x22x(x(1，)的值域是(1，)，故只要b1即可，故所求范围为(，18已知函数f(x)xsin x，xR，则f(4)，f，f的大小关系为_(用“”连接)解析：ff(4)ff(x)sin xxcos x，当x时，sin x0，cos x0，f(x)sin xxcos x0，则函数f(x)在区间上为减函数，4，ff(4)f，又函数f(x)为偶函数，ff(4)f.9函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_解析：f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)0，函数递减；当xa或xa时f(x)0，函数递增f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，解得a.故a的取值范围为.10(2014武汉调研)已知函数f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示(1)若f(1)1，则f(1)_；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，则h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为_(用“”连接)解析：1，h(0)h(1)h(1)由图象可得f(x)x，所以f(x)x2c，又f(1)c1，解得c，所以f(x)x2，故f(1)1.又g(x)x2，所以g(x)x3c，则h(x)f(x)g(x)x2c1x3c2，所以h(0)c1c2h(1)c1c2h(1)c1c2，故h(0)h(1)h(1)11(2012北京高考)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)与h(x)在(，2上的情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知：当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当3k2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(，312(2014武汉调研)设函数f(x)x22x1aln x有两个极值点x1，x2，且x1x2.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：f(x2).(1)解：由题设知，f(x)的定义域为(0，)求导数得f(x)2x2.f(x)有两个极值点x1，x2，f(x)0有两个不同的根x1，x2，故2x22xa0的判别式48a0，即a.又x1x21，x1x20，所以a0，所以a的取值范围为.(2)证明：0x1x2，且x1x21，x21，a2x22x，f(x2)x2x21(2x22x)ln x2.令g(t)t22t1(2t2t2)ln t，其中t1，则g(t)2(12t)ln t.当t时，g(t)0，g(t)在上是增函数，g(t)g，故f(x2)g(x2).13(2014青岛检测)已知函数f(x)a(x21)ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a(4，2)及x1,3时，恒有maf(x)a2成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)2ax(x0)，当a0时，恒有f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数；当a0时，当0x 时，f(x)0，则f(x)在上是增函数；当x 时，f(x)0，则f(x)在上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当a0时，f(x)在上是增函数，f(x)在上是减函数(2)由题意知对任意a(4，2)及x1,3时，恒有maf(x)a2成立，等价于maa2f(x)max，a(4，2)， 1，由(1)知，当a(4，2)时，f(x)在1,3上是减函数，f(x)maxf(1)2a.maa22a，即ma2，a(4，2)，2a20，实数m的取值范围为m2.14(2011江西高考)设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值解：(1)f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，得a.所以当a时，f(x)在上存在单调递增区间，即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.(2)令f(x)0，得两根x1，x2，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)，又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a，得a1，x22.从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).1(2014聊城质检)若函数ye(a1)x4x(xR)有大于零的极值点，则实数a的取值范围是()A(3，)B(，3)CD(，)解析：选B因为函数ye(a1)x4x，所以y(a1)e(a1)x4，若a1，则y0，所以函数ye(a1)x4x在R上单调递增，故函数y在R上无极值点，故a1，函数ye(a1)x4x在R上有极值点，从而函数的零点为x0ln.因为函数ye(a1)x4x(xR)有大于零的极值点，故ln0，得到a3，选B.2已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值为()A13B15C10D15解析：选A求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.故选A.3已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析：(0,1)(2,3)由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或者t3t1，得0t1或者2t3.4已知函数f(x)x3ax2x2(a0)的极大值点和极小值点都在区间(1,1)内，则实数a的取值范围是_解析：(，2)由题意可知f(x)0的两个不同解都在区间(1,1)内因为f(x)3x22ax1，所以根据导函数图象可得又a0，解得a2.5(2014太原模拟)已知函数f(x)axln x(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)x22x2，若对任意x1(0，)，均存在x20,1，使得f(x1)g(x2)，求实数a的取值范围解：(1)由题知f(x)a(x0)当a0时，由于x0，所以ax10，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，由f(x)0，得x.从而易知，在区间上f(x)0，在区间上f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由题知，原问题可转化为当f(x)maxg(x)max时，a的取值范围问题易知g(x)max2.由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，值域为R，故不符合题意当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，则有f(x)maxf1ln1ln(a)，所以21ln(a)，解得a.综上可得，实数a的取值范围为.