高等数学竞赛试题1答案.doc

高等数学竞赛试题1

一、 填空：
1．若是上的连续函数，则a = －1 。
2．函数在区间上的最大值为 。
3． 。
4．由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 。
5．设函数由方程所确定，则 。
二、选择题：
1． 设函数f (x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（ A ）
（A）等价无穷小； （B）同阶但不等价的无穷小；
（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小。
2． 设函数f (x)在点x = a处可导，则在点x = a处不可导的充要条件是（ C ）
（A）f (a) = 0，且； （B）f (a)≠0，但；
（C）f (a) = 0，且； （D）f (a)≠0，且。
3． 曲线（ B ）
（A）没有渐近线； （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；
（C）有一条铅直渐近线； （D）有两条水平渐近线。
4．设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）
（A）若，则； （B）若，则；
（C）若，则； （D）若，则。
5．设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）
（A）； （B）；
（C）； （D）。
三、设函数f (x)具有连续的二阶导数，且，，求。
解：由题设可推知f (0) = 0，，于是有
。
故 。
四、设函数由参数方程所确定，求。
解：由，，得到，所以
。
而当x = 9时，由及t > 1，得t = 2，故
。
五、设n为自然数，计算积分。
解：注意到：对于每个固定的n，总有
，
所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又
，
于是有
，
上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以
。
六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。
证明：因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点，所以存在，设为A，则A≠0；又因f (x)为奇函数，所以。
命：

则在x = 0点处连续，从而在上处处连续，且是奇函数：
当x > 0，则－x < 0，；
当x < 0，则－x > 0，,
即是连续的奇函数，于是是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。又
，
即 ，
所以是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。
七、设f (u, v)有一阶连续偏导数，，，证明：
。
解： 设：，则

类似可得，
代入原式左边，得到

八、设函数f (u)连续，在点u = 0处可导，且f(0)= 0，求：。
解：记，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有

于是有
。
九、计算，其中L为正向一周。
解：因为L为，故

其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
故D的面积为2×1=2。从而。
十、⑴ 证明：当充分小时，不等式成立。
⑵ 设，求。
证明：⑴ 因为，
又注意到当充分小时，，所以成立不等式。
⑵ 由⑴知，当n充分大时有，，故
，
而，于是
，
由夹逼定理知。
十一、设常数，证明：当x > 0且x ≠ 1时，。
证明：设函数，
故要证，
只需证：当；当。
显然：。
命：，则。
当x = 2时，，x = 2为唯一驻点。又，，所以x = 2为的唯一极小值点，故为的最小值(x > 0)，即当x > 0时，从而严格单调递增。
又因，所以当；当。
十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a > R ，求此半球壳对棒的引力。
解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影及均为零。
设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：

记。在球坐标下计算，得到

若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则
。
高等数学竞赛试题2答案
一、选择题
1. 下列命题中正确的命题有几个？…………………………………………………………（ A ）
（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；
（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.
(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个.
2. 设 ， 则是间断点的函数是…………………………（ B ）
(A) ； (B) ； (C) ； (D) ..
3. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 …………（ C ）
(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .
4. 设连续，当时，与为等价无穷小，令，
, 则当时，的 …………………………………… （ D ）
(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.
5. 设在点的某邻域内连续，且满足 则在点处 …………………………………………………………………………………………… （ A ）
(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.
6. 设在连续，且导函数的图形如图所示，则有……………… （ D ）
(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；
(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；
(C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点；
(D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.
7. 设有连续的一阶导数，则 …………………………… （ B ）
(A) ； (B) ； (C) ； (D) 0 .
8. 设任意项级数 条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与……………………（ B ）
(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.
二、设在区间连续，,
试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；
（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：.
解（1）
（2）
（3）

（4）

三、求曲线 所围成的平面图形的面积.
[解1]去掉绝对值曲线为：

[解2]令.
.
四、设曲面为曲线 () 绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分
[解1]S的方程为
补两平面

；

[解2]

五、设幂级数 , 当时，且;
（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值..
解（1）令
，
，求得
（2）由.
六、设函数可微，, 且满足 求 .
解
，对y积分得
代入，，
，
七、如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数 ，河流中水的流速为常数 ，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点.
解 如图所示，设为船在要时刻的位置
此时两个分速度为，
消去t得
，又,代入得，则有

讨论：①当
②
③
高等数学竞赛试题3答案
一、选择题
1. 设，且，则（ C ）
(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零；
(C) 不一定存在； (D) 一定不存在.
2. 设是连续函数，的原函数，则（ A ）
(A) 当为奇函数时,必为偶函数；
(B) 当为偶函数时,必为奇函数；
(C) 当为周期函数时,必为周期函数；
(D) 当为单调增函数时,必为单调增函数.
3. 设，在内恒有，记，则有（ B ）
(A) ; (B) ; (C) ; (D) 不确定.
4. 设有连续导数，且，，当时，是同阶无穷小，则（ B ）
(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.
5. 设，则在点（ D ）
(A) 不连续； (B) 连续但偏导数不存在；
(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.
6. 设，则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）
(A) ； (B) 3, 11； (C) ； (D) .
7. 设是包含原点在内的两条同向闭曲线，的内部，若已知（k为常数），则有（ D ）
(A) 等于k； (B) 等于； (C) 大于k； (D) 不一定等于k，与L2的形状有关.
8. 设在处收敛，则在处（ D ）

二、设，试确定、的值，使都存在.
解：当时，，故；
当时，

，。
三、设的一个原函数，且，求.
解：，，
，由知，，

四、设，S为的边界曲面外侧，计算

解：（下侧），（上侧），，

五、已知，，，…，，….
求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根.
解一：（1），

； 又收敛，收敛，
收敛，又因，故收敛。
（2）令，，，且，，即a是的根，令，，，，，故根唯一。
解二：由已知，，…，…，由此可见，， （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。
设，。
，
由知、收敛，令，；
由，，知，。
对两边取极限得， ①
对两边取极限得， ②
由①—②得，解得
由知收敛，且为方程的根（再证唯一性）。
六、设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：
, 其中D为圆环域：
解一：令，，，。由已知当时，，

，，故
解二：令，，
，令为（逆时针），为（顺时针）

，
。
七、有一圆锥形的塔，底半径为R，高为，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为，楼梯入口在点, 试求楼梯曲线的方程.
解：设曲线上任一点为，，
曲线参数方程为（*），
在点的切向量为，垂线方向向量为。
，，
，化简得，由实际问题应，
解得，由，得，故，将此式代入参数方程（*）即得楼梯曲线。
高等数学竞赛试题4答案
一、计算题
1．求
解 原积分=
=
2．求
解 由洛比塔法则，
原极限=
而

3．求p的值，使
解：当取满足即时
积分
4．设，，且，求的表达式
解：由条件单调增。且
易知，若不然，不妨设 则当时
矛盾 同理可让
5．计算，其中S为圆柱面，（0z1）
解：S圆柱面关于y对称，且y是奇函数
原积分=
二、设

求（1） （2）
解：

（1） （2）

A
C
B
D

E
三、有一张边长为的正方形纸（如图），、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合， 与重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点重合，D落在轴正向上，此时，求：
（1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；
（2）此旋转曲面、xoy平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积。
解：圆柱面为
D点坐标为（0，4，0），E点坐标可取为（2，2，0）
（1）C点坐标为（0，4，4） 过C，E两点的直线方程为
放转曲面方程
（2）旋转曲面在xoz的投影曲线方程为

四、求函数在的最大值、最小值。
解：在D的最大、最小值即为在
的最大、最小值
，而，即最大值为1
，而即最小值为
五、 求
解： k<n时

六、（满分15分）证明：，
证明：

只须证
同理
且
当时，，即，得证
高等数学竞赛试题5答案
1．计算，（a>0，b>0）
解：原积分=
=
2. 设幂级数的系数满足，，n=1，2，3…，求此幂级数的和函数。
解：则

即，且
解方程 由
3. 已知二阶可导，且，，
（1）证明 ，
（2）若，证明
证明：（1）记 则
即
⑵
即
4．求
由洛比塔法则原极限=
5．设 ，求
解：

6． ，（）
解：记原积分为I则

7.设函数满足方程，，，求的极值。 解：由条件，
有
解方程得
含 得可能极值点 k整数
当时有极大值
时极小值
8.证明当时，
证明:令，则，要证不等式为＜，即要证＜，而且＜0，
＞得证
9．求 解：原极限=
10．设，求a，b的值。
解：当（时）
即
而
11.设 ，求
解：

n≥2
12.某水库的泄洪口为圆形，半径为1米，现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方（如图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？

解：取小圆的圆心为原点、水平线为x 轴，垂线为y轴。则泄洪口圆周方程为，闸门（原始位置）为,下降后为两圆交点为：
2米
1米
其中 或

盖住的面积为
13. 已知是[0，1]上二阶可导函数，且， ，证明：使得。
证明：＜1

高等数学竞赛试题6答案
一．选择
1．函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：
A、必要而非充分条件； B、充分而非必要条件；
C、充分必要条件； D、既非充分又非必要条件。
2．设，则=
A、 B、 C、 D、
3．曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系：
A、 B、
C、 D、
4．设其中D是由x=0,y=0, ,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是
A、I1＜I2＜I3; B、I3＜I2＜I1; C、I1＜I3＜I2; D、I3＜I1＜I2.

答案：1. D 2. A 3.B 4.C

二、填空题
5．设，则= __________ 。
6．函数在点(0，)处沿轴负向的方向导数是 __________ 。
7．设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分_________ 。
8．设，则I=________________。
答案: 5. 6. 0 7. 0 8. 24
三、计算
9．求极限 。
解： =－8
10．函数由方程所确定，求。
解：当时,
；
；
11．求函数的极大值点或极小值点。
解：由，得驻点

点非极值点。函数无极大值点，在点处取极小值。
12．设闭区域为D上的连续函数，且

求
解 设，在已知等式两边求区域D上的二重积分，有

从而
所以
故 于是
13．计算二重积分，其中D是由抛物线及直线y=x+4所围成的区域。
解：原式
14．计算I=2yzdv,其中Ω是由x2+z2=1,y=0,y=1所围的位于z≥0部分的立体。
解．

15．已知L是由所确定的平面域的边界线，求。
解：

16．计算曲线积分，式中L是正向圆周
解：

四、证明题
17．试证曲面的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。
证明：曲面上点处的切平面法向量

切平面方程为

即
切平面与三个坐标平面所围四面体的体积
为常数
高等数学竞赛试题7答案
一、求由方程所确定的函数在内的极值，并判断是极大值还是极小值.
解：对两边求导得，
令得，代入原方程解得.
.
故当时，取极大值.
二、设，求, .
解：=,
=
三、计算曲线积分，其中是以点（1，0）为中心，为半径的圆周,取逆时针方向.
解：, , 当时, ， 当时,由格林公式知,.
当时, ,作足够小的椭圆曲线,从到.
当充分小时,取逆时针方向,使,于是由格林公式得，
因此 = =
四、设函数在内具有连续的导数，且满足
，
其中是由所围成的闭区域，求当时的表达式.
解：
=,
两边对求导得
，且，
这是一个一阶线性微分方程，解得

五、设，求级数的和.

解：令, 则
=.

.
.

= =,

六、设在上连续且单调增加，试证：对任意正数，，恒有
.
解：令，
则,
=

=,
于是.
七、设具有连续偏导数，由方程=0确定隐函数，求.
解：两边对求偏导得,
两边对求偏导得,
，, =1.
八、设，判别数列的敛散性.
解：定义，令，则,
当时，,
=.
, 由可知收敛，从而收敛.
九、设半径为的球面的球心在球面：上，问当为何值时，球面在球面内部的那部分面积最大？
解：由对称性可设的方程为，球面被球面所割部分的方程为，
, ,
.
球面与球面的交线在平面的投影曲线方程为，令
所求曲面面积为,
=.
令得驻点,
容易判断当时，球面在球面内部的那部分面积最大.
十.计算，其中曲线弧为：，.
解： , (1) ,
， (2)
将(1)、(2)代入得
= =4.
十一.计算曲面积分，其中是曲面被平面所截出部分的上侧.
解：记为平面上被园所围成的部分的下侧，为由与围成的空间闭区域.由高斯公式知

=
=
=2.
=3

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