高三数学(文)阶段检测(二).doc

高三数学（文）阶段检测（二）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．
1．若，则=________.
2．若复数且为纯虚数则实数的值为
3．已知命题p：“∀x∈[1,2]都有x2≥a”．命题q：“∃x0∈R，使得x02＋2ax0＋2－a＝0成立”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
4．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、则有
5．已知向量满足，，则向量在上的投影为_________.
6．在△ABC中，如果＝＝，那么△ABC的形状是________.
7．如果数列满足:是首项为1，公比为2的等比数列，那么=_.
8．已知数列满足，，则的值为_______.
9．△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________
10．若不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是_______.
11．设集合A=，函数，当且时，的取值范围是 .
12．已知，等比数列中，，，若数列的前2014项的和为0，则的值为 ．

13．内接于以为圆心，半径为的圆，且，则的边的长度为_________.
14．已知函数，存在，，则的最大值为 。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数 ，，且
（1）求的值；
（2）设 ， ，，求的值.

16．如图，直角梯形中，,,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，.
(1)证明：;
(2)证明：平面;
(3)若,求几何体的体积.

17．数列{}的前项和为，是和的等差中项，等差数列{}满足，．
（1）求数列{}，{}的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．

18．已知关于x的不等式：<1.
(1)当a＝1时，解该不等式；
(2)当a为任意实数时，解该不等式．

19．根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率 ×100％)。已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）
（1）将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数；
（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？

20．已知函数（）.
（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；
（3）设各项为正数的数列满足，（），求证：.

高三数学（文）阶段检测（二）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．
1．若，则=________.
【答案】1.
【解析】
试题分析：，，解得.
考点：集合的运算.
2．若复数且为纯虚数则实数的值为
【答案】
【解析】
试题分析：为纯虚数，所以
考点：纯虚数
3．已知命题p：“∀x∈[1,2]都有x2≥a”．命题q：“∃x0∈R，使得x02＋2ax0＋2－a＝0成立”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
【答案】(－∞，－2]∪{1}
【解析】若p是真命题，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；若q是真命题，即x02＋2ax0＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p∧q”是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a≤－2或a＝1.

4．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、则有
【答案】
【解析】
试题分析：设球的直径为2R，则
考点：球的表面积
5．已知向量满足，，则向量在上的投影为_________.
【答案】
【解析】
试题分析：设夹角为，，而向量在上的投影为
考点：向量的数量积及投影.

6．在△ABC中，如果＝＝，那么△ABC的形状是________.

A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：＝＝，＝＝，＝＝，
A=B=C△ABC是等边三角形. 故选B.
考点：正弦定理.

7．如果数列满足:是首项为1，公比为2的等比数列，那么=_.
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：等比数列的前项和.
8．已知数列满足，，则的值为_______.
【答案】-3
【解析】
试题分析：由递推式观察可知，式子并不好转化为新的数列形式.故可尝试计算几项并寻找规律.
,故此数列为以4为周期的周期数列.，则
考点：计算数列值.
9．△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________
【答案】18
【解析】
试题分析：∵，∠BAC=30°，∴，∴=4，∴==1，由知，=，∴=1-=，∴==≥=18.
考点：平面向量数量积；三角形面积公式；新概念理解；基本不等式
9．设集合A=，函数，当且时，的取值范围是 。
【答案】
【解析】
试题分析：,解得,
考点：分段函数

10．若不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
【答案】D
【解析】根据画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，
自直线经过原点起，向上平移，当时，表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.

图1 图2 图3
考点：平面区域与简单线性规划.

12．已知，等比数列中，，，若数列的前2014项的和为0，则的值为 ▲ ．

13．内接于以为圆心，半径为的圆，且，则的边的长度为_________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为内接于以为圆心，半径为的圆，所以，由，得，平方得：，即
所以，从而.
考点：平面向量数量积的应用.
14．已知函数，存在，，则的最大值为 。
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，，.由得：，所以当时，，当时，，因此当时，取最大值为.
考点：利用导数求最值

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数 ，，且
求的值；
设 ， ，，求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析：(1)利用公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确；(2)求解较复杂三角函数的时，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；；（3）要注意符号，有时正负都行，有时需要舍去一个；（4）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.
试题解析：解：（1），解得. 5分
（2），即，
，即. 8分
因为，所以，，
所以. 12分
考点：（1）三角函数给值求值,(2）诱导公式的应用.
16．如图，直角梯形中，,,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，.
(1)证明：;
(2)证明：平面;
(3)若,求几何体的体积.

【答案】（1）由为等边三角形，是的中点知，由平面平面及面面垂直性质定理知，平面，再由线面垂直定义得EF⊥CD；（2）取AE的中点G，连结MG，DG，因为M是BE的中点，所以MG∥且等于AB的一半，又因为AB∥CD且AB=，，所以DN平行且等于MG，所以MGDN是平行四边形，所以MN∥DG，由线面平行的判定定理可得MN∥面ADE；（3）由（1）知EF⊥面ABCD，所以EF是四棱锥E-ABCD的高，由△BEC为正三角形，BC=2，可求得EF的长，由题知ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB=1，BC=2，所以DC=2AB=2，可求出底面ABCD的面积，所以四棱锥D-ABCD的体积就等于.
【解析】
试题分析：（1）（2）（3）
试题解析：(1)证明： 为等边三角形，是的中点
1分
又因为平面平面，交线为,平面
根据面面垂直的性质定理得 平面; 3分
又平面
4分

(2)证明：取中点G，连接

,且 6分
,
,且 8分
四边形是平行四边形
9分
又平面，平面
平面 10分
(3)解：依题，直角梯形中，
则直角梯形的面积为 12分
由（1）可知平面，是四棱锥的高
在等边中，由边长,得 13分
故几何体的体积为
14分
考点: 线面垂直定义；面面垂直性质定理；线面平行的判定；简单几何体体积计算；逻辑推理能力；运算求解能力
17．数列{}的前项和为，是和的等差中项，等差数列{}满足，．
（1）求数列{}，{}的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），;（2）．
【解析】
试题分析：（1）由an是Sn和1的等差中项，得Sn=2an-1，由an=Sn-Sn-1可得数列递推式，从而可判断{an}是等比数列，可求an，由等差数列通项公式可求公差d，从而就可写出数列{}，{}的通项公式；
（2）由已知得，所以利用裂项相消法可求得.
试题解析：（1） ∵是和的等差中项，∴，
当时，，
，
当时，， 2分

， 4分
∴数列是以为首项， 为公比的等比数列，
6分

设的公差为，，.
8分
（2）
14分
考点：1.等差数列等比数列的通项公式；2．数列求和．
18．已知关于x的不等式：<1.
(1)当a＝1时，解该不等式；
(2)当a为任意实数时，解该不等式．
【答案】(1){x|1<x<2};(2)详见解析.
【解析】
试题分析：(1) 当a＝1时,已知不等式化为<1,进而可化为<0(特点:一边为一个分式,另一边为零)可写出不等式的解集; (2)由分式不等式的解法,先将已知不等式化为一边为一个分式,另一边为零的形式: <0按a=0,a>0和a<0分类讨论，对于a>0，由于方程(ax－2)(x－1)＝0的两根为x1＝，x2＝1，所以又要按两根的大小分三类：大于、等于和小于进行讨论；对于a<0特别应注意写不等式的解集前先应将字母x的系数化为正.
试题解析：(1)当a＝1时，不等式化为<1，化为<0， .2分
∴1<x<2，解集为{x|1<x<2} .5分
(2)a>0时，由<1得<0， 6分
(ax－2)(x－1)<0，方程(ax－2)(x－1)＝0的两根x1＝，x2＝1 8分
当＝1即a＝2时，解集为； .9分
当>1即0<a<2时，解集为； 11分
当<1即a>2时，解集为 13分
当a=0时，解集为
当a<0时，解集为
考点：分式不等式.
19．“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：

且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；２、每月处理量为400吨时，平均成本最低.
【解析】
试题分析：（1）该项目利润等于能利用的生物柴油价值与月处理成本的差，当时，，故，故该项目不会获利，而且当时，获利最大为，故政府每月至少不要补贴元；（2）每吨的平均处理成本为，为分段函数，分别求每段的最小值，再比较各段最小值的大小，取较小的那个值，为平均成本的最小值．
试题解析：(1)当时，设该项目获利为，则
，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.
(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：
①当时，，∴当时，取得最小值240；
②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.考点：1、分段函数；2、二次函数的值域；3、基本不等式.
23．已知函数（）.
（Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，（），求证：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出的定义域及导函数，由函数在定义域内单调递增知，≥0在定义域内恒成立，通过参变分离化为在定义域内恒成立，求出的最小值，即≤即为的取值范围；（Ⅱ）先将关于的方程在[1,4]上恰有两个不等实根转化为方程 =在[1,4]上恰有两个不等实根，即函数y=（x∈[1,4]）图像与y=b恰有两个不同的交点，利用导数通过研究函数y=（x∈[1,4]）的单调性、极值、最值及图像，结合y=（x∈[1,4]）的图像，找出y=（x∈[1,4]）与y=b恰有两个交点时b的取值范围，即为所求;（Ⅲ）利用（x≠1），将放缩为即，通过累积，求出的范围，即为所证不等式.
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，
，依题意在时恒成立，
则在时恒成立，即，
当时，取最小值-1，所以的取值范围是 4分
（Ⅱ），由得在上有两个不同的实根，
设
，时，，时，
，，
，得
则 8分
（Ⅲ）易证当且时，.
由已知条件，
故所以当时，，相乘得又故，即 12分
考点：常见函数的导数，导数的运算法则，导数函数单调性关系，导数的综合应用，利用导数证明不等式，运算求解能力.

17．(1)由题意可知，
…………………………4分
（2）考虑函数
当时，，令，得．………………6分
当时，，函数在上单调增；
当时，，函数在上单调减．
所以当时，取得极大值，也是最大值，
又是整数，，，所以当时，有最大值．……………10分
当时，，所以函数在上单调减，
所以当时，取得极大值，也是最大值．
由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．……………………12分
答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．………14分

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