经济数学基础期末复习辅导资料.doc

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【经济数学基础12】期末复习辅导

一、 课程的考核说明
本课程的考核对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融、 工商管理、 会计学等专业的学生．
　　本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式．考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成, 其中形成性考核作业成绩占考核成绩的30%, 期末考试成绩占考核成绩的70%。
经济数学基础课程参考教材是由李林曙、 黎诣远主编的、 高等教育出版社出版的”新世纪网络课程建设工程——经济数学基础网络课程”的配套文字教材:
经济数学基础网络课程学习指南
经济数学基础——微积分
经济数学基础——线性代数
考核说明中的考核知识点与考核要求不会超出课程教学大纲与参考教材的范围与要求．微积分和线性代数各部分在期末试卷中所占分数的百分比与它们在教学内容中所占的百分比大致相当, 微积分约占60%, 线性代数约占40%。
试题类型分为单项选择题、 填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一, 即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案; 填空题只要求直接填写结果, 不必写出计算过程和推理过程; 解答题包括计算题、 应用题或证明题等, 解答题要求写出文字说明, 演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比为: 单项选择题15%, 填空题15％, 解答题70％。
期末考试采用闭卷笔试形式, 卷面满分为100分, 考试时间为90分钟。

二、 微分学部分复习
第1章 函数
　　1．理解函数概念。
理解函数概念时, 要掌握函数的两要素¾¾定义域和对应关系, 这要解决下面四个方面的问题:
( 1) 掌握求函数定义域的方法, 会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。学生要掌握常见函数的自变量的变化范围, 如分式的分母不为0, 对数的真数大于0, 偶次根式下表示式大于0, 等等。
( 2) 理解函数的对应关系的含义: 表示当自变量取值为时, 因变量的取值为。例如, 对于函数, 表示运算:

于是, , 。
( 3) 会判断两函数是否相同。
从函数的两个要素可知, 两个函数相等, 当且仅当她们的定义域相同, 对应规则相同, 而与自变量或因变量所用的字母无关。
( 4) 了解分段函数概念, 掌握求分段函数定义域和函数值的方法。
2．掌握函数奇偶性的判别, 知道它的几何特点。
判断函数是奇函数或是偶函数, 能够用定义去判断, 即
(1)若, 则为偶函数;
(2)若, 则为奇函数。
也能够根据一些已知的函数的奇偶性, 再利用”奇函数±奇函数、 奇函数×偶函数仍为奇函数; 偶函数±偶函数、 偶函数×偶函数、 奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
3．了解复合函数概念, 会对复合函数进行分解。
4．知道初等函数的概念, 牢记常数函数、 幂函数、 指数函数、 对数函数和三角函数( 正弦、 余弦、 正切和余切) 的解析表示式、 定义域、 主要性质及图形。
基本初等函数的解析表示式、 定义域、 主要性质及图形在微积分中常要用到, 一定要熟练掌握。
5．了解需求、 供给、 成本、 平均成本、 收入和利润函数的概念。
6．会列简单应用问题的函数表示式。

第2章 极限、 导数与微分
1．掌握求简单极限的常见方法。
求极限的常见方法有
( 1) 利用极限的四则运算法则;
( 2) 利用两个重要极限;
( 3) 利用无穷小量的性质( 有界变量乘以无穷小量还是无穷小量) ;
( 4) 利用连续函数的定义。
2．知道一些与极限有关的概念
( 1) 知道数列极限、 函数极限、 左右极限的概念, 知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等;
( 2) 了解无穷小量的概念, 了解无穷小量与无穷大量的关系, 知道无穷小量的性质;
( 3) 了解函数在某点连续的概念, 知道左连续和右连续的概念, 了解”初等函数在定义区间内连续”的结论; 会判断函数在某点的连续性, 会求函数的间断点。
3．理解导数定义。
理解导数定义时, 要解决下面几个问题:
( 1) 牢记导数定义的极限表示式;
( 2) 会求曲线的切线方程;
( 3) 知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续, 连续的函数不一定可导)。

4．熟练掌握求导数或微分的方法。
具体方法有:
( 1) 利用导数( 或微分) 的基本公式
( 2) 利用导数( 或微分) 的四则运算法则
( 3) 利用复合函数微分法
( 4) 利用隐函数求导法则
5．知道高阶导数概念, 会求函数的二阶导数。

第3章 导数的应用
1.掌握函数单调性的判别方法, 掌握极值点的判别方法, 会求函数的极值。
一般的方法是利用一阶导数的符号判断单调性, 也能够利用已知的基本初等函数的单调性判断。
2．了解一些基本概念。
( 1) 了解函数极值的概念, 知道函数极值存在的必要条件, 知道函数的极值点与驻点的区别与联系;
( 2) 了解边际概念和需求价格弹性概念;
3．熟练掌握求经济分析中的应用问题( 如平均成本最低、 收入最大和利润最大等) , 会求几何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法, 会计算需求弹性。

三、 微分学部分综合练习
一、 单项选择题
1．下列函数中为偶函数的是( ) ．
　　(A) 　　　　　 　(B)
　　(C) 　　　　 　(D)
正确答案: A
2．下列函数中为奇函数的是( ) ．
　　(A) 　　　　　 　(B)
　　(C) 　　　　 　(D)
正确答案: B
3．下列各函数对中, ( ) 中的两个函数相等．
A. B.
C. D.
正确答案: D
4．下列结论中正确的是( ) ．
(A) 周期函数都是有界函数
(B) 基本初等函数都是单调函数
(C) 奇函数的图形关于坐标原点对称
(D) 偶函数的图形关于坐标原点对称
正确答案: C
5．下列极限存在的是( ) ．
　　A． B． 　　C．　　 D．
正确答案: A
6．已知, 当( ) 时, 为无穷小量．
A. B. C. D.
正确答案: A
7．函数 在x = 0处连续, 则k = ( )．
A．-2 B．-1 C．1 D．2
正确答案: B
8．曲线在点( 处的切线斜率是( ) ．
　　(A) 　　　　　(B) 　　(C) 　　　　　 (D)
正确答案: D　
9. 若, 则( ) ．
A．0 B．1 C． 4 D．-4
正确答案: C
10．下列函数在区间上单调减少的是( ) ．
(A) (B) (C) (D)
正确答案: B　
11．下列结论正确的是( ) ．
(A) 若, 则必是的极值点
(B) 使不存在的点, 一定是的极值点
(C) 是的极值点, 且存在, 则必有
(D) 是的极值点, 则必是的驻点
正确答案: C
12．设某商品的需求函数为, 则当时, 需求弹性为( ) ．
A． B．－3 C．3 D．
正确答案: B
二、 填空题
1．函数的定义域是　　　 　　．
应该填写:
2．函数的定义域是　　 　　　　.
应该填写:
3．若函数, 则 ．
应该填写:
4．若函数, 则 ．
应该填写:
5．设, 则函数的图形关于　　　　　对称．
应该填写: y轴
6．已知需求函数为, 则收入函数=　　　　　 .
应该填写:
7．　 　　　　　．
应该填写: 1
8．已知, 若在内连续, 则 ．
应该填写: 2
9．曲线在处的切线斜率是　　　 　　．
应该填写:
10．过曲线上的一点( 0, 1) 的切线方程为 .
应该填写:
11．函数的驻点是　　　 　　．
应该填写:
12．需求量q对价格的函数为, 则需求弹性为　　　 　　．
应该填写:
三、 微分计算题
1．已知, 求．
解: 由导数运算法则和复合函数求导法则得

2．设, 求．
解;
3．设, 求．
解: 由导数运算法则和复合函数求导法则得

4．设 y, 求．
解 因为 y
因此
5．设, 求．
解: 由导数运算法则和复合函数求导法则得

6．已知, 求．
解: 因为

因此 =
7．设, 求.
解: 因为
因此
8．设, 求.
解: 因为 =
因此 = = 0
四、 应用题
1．某厂生产一批产品, 其固定成本为 元, 每生产一吨产品的成本为60元, 对这种产品的市场需求规律为( 为需求量, 为价格) ．试求:
( 1) 成本函数, 收入函数; ( 2) 产量为多少吨时利润最大?
解 ( 1) 成本函数= 60+ ．
因为 , 即,
因此 收入函数==()=．
( 2) 因为利润函数=-
=-(60+ ) = 40--
且 =(40-- =40- 0.2
令= 0, 即40- 0.2= 0, 得= 200, 它是在其定义域内的唯一驻点．
因此, = 200是利润函数的最大值点, 即当产量为200吨时利润最大．
2．设生产某产品的总成本函数为 (万元), 其中为产量, 单位: 百吨．销售百吨时的边际收入为( 万元/百吨) , 求:
⑴利润最大时的产量;
⑵在利润最大时的产量的基础上再生产百吨, 利润会发生什么变化?
解: ⑴因为边际成本为 , 边际利润

令, 得能够验证为利润函数的最大值点. 因此, 当产量为百吨时利润最大.
⑵当产量由百吨增加至百吨时, 利润改变量为
( 万元)
即利润将减少1万元.
3．设生产某种产品个单位时的成本函数为: ( 万元) ,求:
⑴当时的总成本和平均成本; ⑵当产量为多少时, 平均成本最小?
解: ⑴因为总成本、 平均成本和边际成本分别为:

,
因此,
,
⑵
令 , 得( 舍去) , 能够验证是的最小值点, 因此当时, 平均成本最小．
　　4．生产某产品的边际成本为 (万元/百台), 边际收入为( 万元/百台) , 其中为产量, 问产量为多少时, 利润最大? 从利润最大时的产量再生产百台, 利润有什么变化?
　　解:
令 得 ( 百台) , 能够验证是是的最大值点, 即当产量为台时, 利润最大．

即从利润最大时的产量再生产百台, 利润将减少万元
5．已知某产品的边际成本( 万元/百台) , 为产量( 百台) , 固定成本为18( 万元) , 求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．
解: ( 1)
平均成本函数
, 令, 解得唯一驻点( 百台)
因为平均成本存在最小值, 且驻点唯一, 因此, 当产量为600台时, 可使平均成本达到最低。
( 2) 最低平均成本为 ( 万元/百台)
6．生产某产品的边际成本为(万元/百台), 边际收入为( 万元/百台) , 其中x为产量, 问
(1) 产量为多少时, 利润最大?
(2) 从利润最大时的产量再生产2百台, 利润有什么变化? ( 较难) ( 熟练掌握)
解 ( 1)
令 得 ( 百台)
又是的唯一驻点, 根据问题的实际意义可知存在最大值, 故是的最大值点, 即当产量为10( 百台) 时, 利润最大．
( 2)
即从利润最大时的产量再生产2百台, 利润将减少20万元．

三、 积分学部分复习
第1章 不定积分
1．理解原函数与不定积分概念。
这里要解决下面几个问题:
( 1) 什么是原函数?
若函数的导数等于, 即, 则称函数是的原函数。
( 2) 原函数不是唯一的。
由于常数的导数是0, 故都是的原函数( 其中是任意常数) 。
( 3) 什么是不定积分?
原函数的全体( 其中是任意常数) 称为的不定积分, 记为=。
( 4) 知道不定积分与导数( 微分) 之间的关系。
不定积分与导数( 微分) 之间互为逆运算, 即先积分, 再求导, 等于它本身; 先求导, 再积分, 等于函数加上一个任意常数, 即
=,=,
,
2.熟练掌握不定积分的计算方法。
常见的积分方法有
( 1) 运用积分基本公式直接进行积分;
( 2) 第一换元积分法( 凑微分法) ;
( 3) 分部积分法, 主要掌握被积函数是以下类型的不定积分:
　　①幂函数与指数函数相乘;
　　②幂函数与对数函数相乘;
③幂函数与正( 余) 弦函数相乘;

第2章 定积分
1．了解定积分的概念, 知道奇偶函数在对称区间上的积分结果．
要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数, 而不定积分的结果是一个表示式。
奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果:
　　 若是奇函数, 则有
若是偶函数, 则有
2.熟练掌握定积分的计算方法。
常见的积分方法有
( 1) 运用积分基本公式直接进行积分;
( 2) 第一换元积分法( 凑微分法) ;
注意: 定积分换元, 一定要换上、 下限, 然后直接计算其值( 不要还原成原变量的函数) ．
( 3) 分部积分法, 主要掌握被积函数是以下类型的定积分:
　　①幂函数与指数函数相乘;
　　②幂函数与对数函数相乘;
③幂函数与正( 余) 弦函数相乘;
3．知道无穷限积分的收敛概念, 会求简单的无穷限积分。

第3章 积分应用
1． 掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积。
求平图形面积的一般步骤:
(1) 画出所围平面图形的草图;
(2) 求出各有关曲线的交点及边界点, 以确定积分上下限;
(3) 利用定积分的几何意义( 即上述各式) , 确定代表所求的定积分。
2．熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、 收入函数和利润函数或其增量的方法。
3．了解微分方程的几个概念: 微分方程、 阶、 解( 通解、 特解) 线性方程等; 掌握简单的可分离变量的微分方程的解法, 会求一阶线性微分方程的解。

四、 线性代数部分复习
第1章 行列式
1．了解或理解一些基本概念
( 1) 了解n 阶行列式、 余子式、 代数余子式等概念;
( 2) 了解n 阶行列式性质, 特别是:
性质1 行列式D与其转置行列式相等;
性质2 若将行列式的任意两行( 或列) 互换, 则行列式的值改变符号;
性质3 行列式一行( 或列) 元素的公因子能够提到行列式记号的外面;
性质5 若将行列式的某一行( 或列) 的倍数加到另一行( 或列) 对应的元素上, 则行列式的值不变．
2．掌握行列式的计算方法
化三角形法: 利用行列式性质化成上( 或下) 三角行列式, 其主对角线元素的乘积即为行列式的值。
降阶法: 利用性质将行列式的一行( 列) 化成只有一个( 或两个) 非零元素, 然后按这零元素最多的行( 或列) 化成低一阶行列式, 直至降到三阶或二阶行列式, 最后直接计算。
3．知道克拉默法则．

第2章 矩阵
1．了解或理解一些基本概念
( 1) 了解矩阵和矩阵相等的概念;
( 2) 了解单位矩阵、 数量矩阵、 对角矩阵、 三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质;
( 3) 理解矩阵可逆与逆矩阵概念, 知道矩阵可逆的条件;
( 4) 了解矩阵秩的概念;
( 5) 理解矩阵初等行变换的概念。
2．熟练掌握矩阵的加法、 数乘、 乘法和转置等运算, 掌握这几种运算的有关性质;
3．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、 行简化阶梯形矩阵, 熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、 逆矩阵。

第3章 线性方程组
1．了解线性方程组的有关概念: n元线性方程组、 线性方程组的矩阵表示、 系数矩阵、 增广矩阵、 一般解。
2．理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理; 熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。

五、 课程综合练习
单项选择题
1．若函数, 则( )．
A．-2 B．-1 C．-1.5 D．1.5
正确答案: A
2．下列函数中为偶函数的是( ) ．
A． B．
C． D．
正确答案: D
3．函数的连续区间是( ) ．
A． B． C． D．
正确答案: A

4．曲线在点( 0, 1) 处的切线斜率为( ) ．
A． B． C． D．
正确答案: B
5．设, 则=( ) ．
A． B． C． D．
正确答案: C
6．下列积分值为0的是( ) ．
A． B．
C． D．
正确答案: C
7．设, , 是单位矩阵, 则＝( ) ．
A． B． C． D．
正确答案: A
8. 设为同阶方阵, 则下列命题正确的是( ) .
　　A.若, 则必有或　
B.若, 则必有,
　　C.若秩,秩, 则秩
D.
正确答案: B
9. 当条件( ) 成立时, 元线性方程组有解．
A. B. C. D.
正确答案: D

蒋玉兰: 关于这题, 上午我们一些辅导教师还在说难了点。因为按常规思维学生就理解成了非齐次线性方程组了, 因此容易错选成B。

10．设线性方程组有惟一解, 则相应的齐次方程组( ) ．
A．无解 B．只有0解 C．有非0解 D．解不能确定
正确答案: B

填空题
1．函数的定义域是　　 　　　　.
应该填写:
2．如果函数对任意x1, x2, 当x1 < x2时, 有 , 则称是单调减少的.
应该填写:
3．已知, 当 时, 为无穷小量．
应该填写:
4．过曲线上的一点( 0, 1) 的切线方程为 ．
应该填写:
5．若, 则= .
应该填写:
6．=　　　 　．
应该填写:
7．设, 当　　 　 　 时, 是对称矩阵.
应该填写: 0
8. 设均为n阶矩阵, 其中可逆, 则矩阵方程的解　　　　　　　．
应该填写:
9．设齐次线性方程组, 且 = r < n, 则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．
应该填写: n – r
10．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为

则当=　 　时, 方程组有无穷多解.
应该填写: -1

计算题
1．设, 求.
解: 因为 =
因此 = = 0
2．设, 求．
解: 因为
因此
3．．
解: =
=
4．
解: =
==
5．设矩阵 , , , 计算．
解: 因为 =
= =
且 =
因此 =2
6．设矩阵, 求．
解: 因为

即　　　　　　　　 　　
因此　　
7．求线性方程组的一般解．
解: 因为系数矩阵

因此一般解为 ( 其中, 是自由未知量)

8．当取何值时, 线性方程组 有解? 并求一般解．
解 因为增广矩阵

因此, 当=0时, 线性方程组有无穷多解, 且一般解为:
是自由未知量〕

应用题
1．某厂每天生产某种产品件的成本函数为( 元) .为使平均成本最低, 每天产量应为多少? 此时, 每件产品平均成本为多少?
解: 因为 == ( )
==
令=0, 即=0, 得=140, = -140( 舍去) .
=140是在其定义域内的唯一驻点, 且该问题确实存在最小值.
因此=140是平均成本函数的最小值点, 即为使平均成本最低, 每天产量应为140件.
此时的平均成本为
==176 ( 元/件)
2．已知某产品的销售价格( 单位: 元／件) 是销量( 单位: 件) 的函数, 而总成本为( 单位: 元) , 假设生产的产品全部售出, 求产量为多少时, 利润最大? 最大利润是多少?
解: 由已知条件可得收入函数
利润函数

求导得
令得, 它是唯一的极大值点, 因此是最大值点．
此时最大利润为
即产量为300件时利润最大．最大利润是43500元．

3．生产某产品的边际成本为 (万元/百台), 边际收入为 ( 万元/百台) , 其中x为产量, 若固定成本为10万元, 问
( 1) 产量为多少时, 利润最大?
( 2) 从利润最大时的产量再生产2百台, 利润有什么变化?
解 ( 1) 边际利润

令 , 得 ( 百台)
又是的唯一驻点, 根据问题的实际意义可知存在最大值, 故是的最大值点, 即当产量为10( 百台) 时, 利润最大。
( 2) 利润的变化

即从利润最大时的产量再生产2百台, 利润将减少20万元。