一道解几题的几个变式.doc

一道解几证明题的几个变式研究
题目：在平面直角坐标系中，椭圆，左右顶点分别为，直线过点且垂直于轴，点为直线上的动点，直线交椭圆于点.
(1) 求证：为定值；
(2) 设以线段为直径的圆与直线交于点，求证：直线过定点.
【分析一】本题是解析几何中常见的定值、定点问题.
首先，第一问探求动点下的定数量积，常见处理有两种：
一是先设坐标，利用三点共线统一两者坐标，再利用椭圆
方程进行消元，该方法的理论依据为，要求数量积，需
要点坐标，于是想到设坐标.
二是先设直线方程，然后求的坐标，
过程涉及联立方程消元、韦达定理的应用.
两种解法最终都是要解决点的坐标，只是出发点不同，
一为直接设点，二为间接求点.
但切记两条线一般不交叉使用，否则很容易绕不出来
【解】方法一：
设【意识很重要，该式子一定后面肯定会用到】
由共线得
∴
为定值
方法二：设方程为联立椭圆方程得：
，化简得
则，所以，
同时， ∴
【不难发现，方法二在运算上略烦一些】

【分析二】本题的第二问探求动直线过定点问题，根据经验，将分别取为关于轴的动点，不难发现所得动直线必关于轴对称，所以直线所过定点必为轴上的点，为后面证明提供明确方向. 那一般情形如何证明？动直线过定点，当然要把动直线方程求出来，即求的方程.
如果第一问用方法一，则第二问应这样完成：
解：由题意，所以
∴的方程为
令，，下面只要能证明为常数即可
由（1）可知，
代入得
即过定点
【因为前面已经作出猜想，定点在轴上，所以就可以按上述方案处理】
如果第一问用方法二，则第二问应这样完成：
解：由题意，且，所以，而
∴的方程为，即
显然过定点

该问最关键的步骤应该是将条件“以线段为直径的圆与直线交于点”等价转化为“”，否则将可能因方法选取不当，无功而返.

下面给出一些变式，供大家研究参考
1. 在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别为，直线过点且垂直于轴，点为直线上的动点（异于点），直线交椭圆于点.
（1） 求证：为定值；
（2） 求证：直线与直线的斜率之积为定值；

（3） 设以线段为直径的圆为圆，过点作圆的切线，切点为，求证：长为定值；

2. 在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别为，直线过点且垂直于轴，点为直线上的动点（异于点），直线交椭圆于点.设以线段为直径的圆交直线于点，求证：直线过定点.

3. 在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别为，为椭圆上的动点，，过点作直线的垂线交直线于点，求证：点在一定直线上.

4. 在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，直线过点且垂直于轴，点为直线上的动点（异于点），，过点作直线的垂线交椭圆于点.
求证：（1）为定值；
（2）直线过定点.