利用导数求函数极值.doc

(完整word版)利用导数求函数极值
考点40 利用导数求函数最值
1.(13课标ⅠT20）（本小题满分共12分）
已知函数，曲线在点处切线方程为.
（Ⅰ）求的值；
(Ⅱ）讨论的单调性,并求的极大值。
【测量目标】导数的几何意义、利用导数求函数极值。
【考查方式】已知函数式,利用已知点处的切线方程求解原函数关系式中未知字母，利用函数的导数确定函数的单调性和极值.
【试题解析】（1）利用函数值和导函数值列出方程（组）求解字母的值;（2)先求出函数的导数、极值点，进一步确定单调区间，再根据极值点左右两边的符号判断函数的极值.
解：（1）（步骤1）
由已知得故
从而(步骤2)
(2）由（1）知，
（步骤3）
令得或（步骤4）
从而当时，
当时，。（步骤5）
故在上单调递增,在上单调递减.
当时，函数取得极大值，极大值为（步骤6）
2.（13福建T12）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是 （ ）
A． B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
【测量目标】利用导数研究函数的极值问题．
【考查方式】列出符合题目所给条件函数,通过导数求解函数的极值判定正确的选项．
【参考答案】D
【试题解析】不妨取函数,则，易判断为的极大值点，但显然不是最大值，故排除A；（步骤1）
因为，易知，为的极大值点，故排除B；（步骤2)
又,易知，为的极大值点，故排除C；（步骤3）
∵的图象与的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得应为函数的极小值点．故D正确．（步骤4）
3.（13课标Ⅱ21)（本小题满分12分)
己知函数f(x) = x2e-x
(1）求f(x)的极小值和极大值；
（2）当曲线y = f（x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.
【测量目标】利用导数求函数的极值，导数的几何意义。
【考查方式】给定函数，用导数判断函数的极大值和最大值.
【试题解析】（1）先求出导数，然后求出极限点，再求出极值.（2)设出切点，然后运用基本不等式求出截距的取值范围.
解：（1）f（x）的定义域为当或时,当时，所以f（x)在上单调递减，在(0，2)上单调递减. （步骤1）
故当x=0时,f(x)取得极小值，极小值为f(0)=0；当x=2时，f(x）取得极大值，极大值为f（2）=4 (步骤2)
(2)设切点为（t，f（t）），则l的方程为所以l在x轴的截距为 （步骤3）
由已知和得令则当时,h（x）的取值范围为当时，h（x）的取值范围是. (步骤4)
所以当时，m（t）的取值范围是
综上，l在x轴上的截距的取值范围是 （步骤5）