专题七数列学生版.doc

第十节——数列
【考点整合及典例分析】
考点1.数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
【例1】已知，则在数列的最大项为_ _

【例2】数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___

变式1、已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围

考点2.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法或.
【例3】已知数列的前n项和为，且满足
（1）求证：是等差数列
（2）求的表达式

变式2、已知数列满足，记
（1）求证：数列是等差数列
（2）求数列的通项公式

（2）等差数列的通项：或.
（3）等差数列的前和：，.
【例4】等差数列中，，，则通项　　　　

【例5】首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_____

变式3、数列 中，，若，前k项和，则＝ ，=

【例6】已知数列 的前n项和，求数列的前项和

（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且.
提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：...及，其中.称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）
考点3.等差数列的性质：
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列.
（3）当时,则有，特别地，当时，则有.
(4) 若.是等差数列，则. (.是非零常数).
，…也成等差数列.
【例7】在等差数列中，，且，是其前项和，则以下结论正确的是
A.都小于0，都大于0　　
B.都小于0，都大于0　　
C.都小于0，都大于0　　
D.都小于0，都大于0　
【例8】等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为

变式4、在等差数列中，S11＝22，则＝_____

【例9】设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么__________

【例10】等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.

【例11】若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是

考点4.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或
.
【例12】一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____

【例13】数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列.

（2）等比数列的通项：或.
（3）等比数列的前和：当时，；当时，.
（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个
提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：...及，其中.称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为.
【例14】设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比.

【例15】等比数列中，＝2，S99=77，求

【例16】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数.

考点5.等比数列的性质：
（1）当时，则有，特别地，当时，则有.
(2) 若是等比数列，则..成等比数列；
若成等比数列，则.成等比数列；
若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列。
(3)若，则为递增数列；
若, 则为递减数列；
若 ，则为递减数列；
若, 则为递增数列；
若，则为摆动数列；
若，则为常数列.

【例17】在等比数列中，，公比q是整数，则=

【例18】各项均为正数的等比数列中，若，则

【例19】已知且，设数列满足，且
，则　　　　　.

【例20】在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______

【例21】若是等比数列，且，则＝

变式5、设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____

考点6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
⑶已知求，用作商法：.
⑷若求用累加法：
⑸已知求，用累乘法：.
【例22】已知数列试写出其一个通项公式：__________
【例23】已知的前项和满足，求

变式6、数列满足，求

【例24】数列中，对所有的都有，则＝ ，______

【例25】已知数列满足，，则=________

【例26】已知数列中，，前项和，若，求

【例27】①已知，求
②已知，求

【例28】①已知，求

变式7、已知数列满足=1，，求

【例29】数列满足，求

考点7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：
①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；
③常用公式：
，
，
.
【例30】等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____

（2）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.
【例31】已知，则＝______

（3）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.
【例32】设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.

变式8、设函数，数列满足：
，①求证：数列是等比数列；②令
，求函数在点处的导数，.

（4）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联
【例33】求和：

【例34】在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____

（5）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.
【例35】①求数列1×4，2×5，3×6，…，，…前项和= 　

②求和：