第三章 综合评估(一).doc

第三章　综合评估(一)

一、选择题(每小题5分，共60分)
1．下列事件是随机事件的是(　　)
A．若a，b，c都是实数，则a·(b·c)＝(a·b)·c
B．没有空气和水，人也可以生存下去
C．掷一枚硬币，出现反面
D．在标准大气压下，水的温度达到90℃时沸腾
解析：A由乘法的运算知必然成立，为必然事件；B和D为不可能事件，故选C.
答案：C
2．从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析：集合{a，b，c，d，e}的所有子集一共有25个，集合{a，b，c}的子集共有23个，所求的概率为P＝＝.
答案：C
3．下列说法一定正确的是(　　)
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一枚硬币掷一次得到正面的概率是，那么掷两次一定会出现一次正面的情况
C．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万张彩票一定会中一张
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
答案：D
4．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是(　　)
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
解析：因为所有取到奇数的次数为13＋5＋6＋18＋11＝53，所以取到号码为奇数的频率为＝0.53.
答案：A
5．某产品分一、二、三级，其中只有一级是正品，若生产中出现正品的概率是0.97，二级品的概率为0.02，那么出现二级品或三级品的概率是(　　)
A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04
解析：由题意出现三级品的概率为1－0.97－0.02＝0.01，
∴出现二级品或三级品的概率为0.02＋0.01＝0.03.
另解，出现“二级品或三级品”是“出现一级品”的对立事件，∴概率为1－0.97＝0.03.
答案：C
6．中央电视台《幸运52》栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张苦脸，若翻到苦脸就不得奖，参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：因为前两次翻牌都得若干奖金，所以还剩3个标注奖金的商标牌，所以第三次翻牌获奖的概率是P＝＝.
答案：B
7．从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，其中两种品牌的电视机齐全的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：从中任取2台电视机共有如下基本事件：①从甲型电视机中取2台有3种取法；②从乙型中取2台共有1种取法；③从甲、乙各型电视机中取一台，共有3×2＝6(种)．而事件A发生的基本事件为第③种，所以所求概率为＝＝，故选B.
答案：B
8．某城市2011年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
不大于30
(30,60]
(60,100]
(100,110]
(110,130]
(130,140]
概率P

其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤140时，空气质量为轻微污染，该城市2011年空气质量达到良或优的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：空气质量达到良优概率为＋＋＝
答案：A
9．向三座互相毗邻的敌军火药库发射1枚炮弹，只要射中其中任何一座，三座军火库就会因连续爆炸而被摧毁，已知炮弹击中这三座军火库的概率分别为0.07,0.1,0.08，则军火库被摧毁的概率大约为(　　)
A．0.17 B．0.15 C．0.18 D．0.23
解析：军火库被摧毁至少炮弹击中一座军火库，情况比较复杂，可用对立事件“三座军火库都没有被击中”分析，则所求概率为：P＝1－(1－0.07)(1－0.1)(1－0.08)＝1－0.93×0.9×0.92≈0.23，故选D.
答案：D
10．一批零件共10件，其中8件合格品，2件次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取到合格品的概率为P1，第二次取到合格品的概率为P2，则(　　)
A．P1>P2 B．P1＝P2
C．P1<P2 D．P1＝2P2
解析：第一次就取到合格品的概率P1＝＝；第二次取到合格品说明第一次取到的是次品，则P2＝＝，所以P1>P2.
答案：A

图1
11．如右图1所示，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　)
A.　　　 B.
C.　　　 D.
解析：当△PBC的面积刚好等于时，PE∶AD＝1∶4.要想S△PBC>S，则PB>AB，所以概率为＝.故选C.
答案：C
12．一元二次方程x2＋mx＋n＝0，其中m、n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：由方程有实根知，m2≥4n，由于n∈N*，故2≤m≤6，骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有6×6＝36(种)情形，其中满足条件的有：
①m＝2，n只能取1，计1种情形；
②m＝3，n可取1或2，计2种情形；
③m＝4，n可取1或2,3,4，计4种情形；
④m＝5或6，n均可取1至6的值，共计2×6＝12(种)情形．故满足条件的情形共有1＋2＋4＋12＝19(种)，所以概率为.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．在一杯10 L的清水中，有一条小鱼，现取出1 L清水，那么小鱼被取到的概率为________．
答案：0.1
14．有红、黄、蓝、绿4种颜色的纸牌各9张，每一种颜色的纸牌都顺次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9，现将36张纸牌混合后从中任取4张，则4张牌的颜色相同的概率是________，4张牌的颜色相同且数字相连的概率是________．
解析：P1＝＝，
P2＝＝.
答案：　

图2
15．如图2所示，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为________．
解析：每个图形选择颜色都有2种颜色，故所有的涂色方法有：2×2×2＝8(种)，颜色全相同的有2种：全为红色和全为蓝色，所以颜色不全相同的概率为1－＝.
答案：
16．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠Ø的概率为1，则a的取值范围是________．
解析：若A∩B≠Ø的概率为1，则集合A与B有公共元素，∴∴2x2＋2ax＋a2－1＝0有实数根，∴Δ＝4a2－8(a2－1)≥0，
∴－≤a≤.
答案：[－，]
三、解答题(共70分)
17．(本小题10分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段
100～91
90～81
80～71
70～61
60～51
50～41
概率
0.15
0.25
0.36
0.17
0.04
0.02
(1)求该班成绩在[81,100]内的概率；
(2)求该班成绩在[61,100]内的概率．
解：记该班的测试成绩在[100～91)，[90～81)，[80,71)，[70,61)内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是彼此互斥的．(1)该班成绩在[81,100]内的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.15＋0.25＝0.4.(2)该班成绩在[61,100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.15＋0.25＋0.36＋0.17＝0.93.
18．(本小题12分)一个盒子里装有5个标号是1,2,3,4,5的标签，今随机地抽取两张标签，如果：(1)标签的抽取是无放回的；(2)标签的抽取是有放回的．
求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
解：(1)无放回抽取两张标签，可以认为分两次完成，考虑顺序，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)及把两数交换位置的情况，共计20种；其中抽取相邻整数仅有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)及把两数交换位置的情况，共计8种．所以标签抽取无放回时，两张标签上的数字为相邻整数的概率为＝.
(2)标签抽取有放回时，共有25种抽法，即放回情况下的20种．再加上(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)这5种；其中两张标签上为相邻整数的抽法仍然只有8种．因此，标签抽取有放回时，两张标签上的数字为相邻整数的概率为.
19．(本小题12分)一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是.
(1)求红色球的个数；
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率．
解：(1)设红色球有x个，依题意得＝，解得x＝4，
∴红色球有4个．
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，
所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12种．
事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5种．
所以，P(A)＝.
20．(本小题12分)在区间[－1,1]上随机任取两个数x、y，则满足x2＋y2<的概率为多少？
解：当x，y∈[－1,1]时，点(x，y)构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积为2×2＝4，而满足x2＋y2<的点(x，y)构成的区域是一个半径为的圆的圆内部分，其面积等于，所以所求概率P＝＝.
21．(本小题12分)某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
解：设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，“从四个小球中有放回地取两个”包括(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16个基本事件．
(1)“两个小球号码相加之和等于3”的基本事件有4个：(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)．
故P(A)＝＝.
(2)“两个小球号码相加之和等于3”这一事件包括4个基本事件；“两个小球相加之和等于4”的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个基本事件；“两个小球号码相加之和等于5”的取法有：(2,3)，(3,2)，共2个基本事件．
由互斥事件的加法公式得P(B)＝＋＋＝.
22．(本小题12分)将一颗骰子(它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，观察向上的点数，求：
(1)两数之积是6的倍数的概率；
(2)设第一次，第二次抛掷向上的点数分别为x、y，则logx2y＝1的概率是多少；
(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在直线x－y＝3的下方区域的概率．
解：(1)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由图3可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)＝＝，
即两数之积是6的倍数的概率为.

(2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x、y，logx2y＝1”为事件B，则满足logx2y＝1的x、y有(2,1)，(4,2)，(6,3)三种情况，所以P(B)＝＝，即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x、y满足logx2y＝1的概率是.
(3)此问题中含有36个等可能基本事件，记“点(x，y)在直线x－y＝3的下方区域”为事件C，则由图下表可知，事件C中含有其中的3个等可能基本事件，所以P(C)＝＝，即点(x，y)在直线x－y＝3的下方区域的概率为.