专题三第3讲.doc

专题三 数列、推理与证明第3讲推理与证明1 合情推理(1)归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理归纳推理的思维过程： (2)类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的思维过程： 2 演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般性原理小前提所研究的特殊情况结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确3 直接证明(1)综合法：用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为(2)分析法：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 得到一个明显成立的条件4 间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程5 数学归纳法数学归纳法证明的步骤(1)证明当n取第一个值n0(n0N*)时结论成立(2)假设nk(kN*，且kn0)时结论成立，证明nk1时结论也成立由(1)(2)可知，对任意nn0，且nN*时，结论都成立.考点一归纳推理例1(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n， 正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_. (1)在数列an中，若a12，a26，且当nN*时，an2是anan1的个位数字，则a2 014_.(2)如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上a每次只能移动一个金属片；b在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)则f(3)_；f(n)_.考点二类比推理例2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOMkAB.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线1(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOMkAB_. (1)现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_(2)命题p：已知椭圆1(ab0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线1(ab0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作F1PF2的_的垂线，垂足为M，则OM的长为定值_考点三直接证明与间接证明例3已知数列an满足：a1，anan1. 已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2n1a，nN*，数列bn满足bnTn为数列bn的前n项和(1)求an，bn；(2)试比较T2n与2n2的大小1 合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式2 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程3 数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明nk1时要用上nk时的假设，其次要明确nk1时证明的目标，充分考虑由nk到nk1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同中间的计算过程千万不能省略(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论.1 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为_2 在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项，k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加，得1223n(n1)n(n1)(n2)类比上述方法，计算“123234n(n1)(n2)”的结果为_1 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是_2 已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于_3 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是_4 已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_5 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)设aij(i、jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a428，若aij2 014，则i，j的值的和为_6 有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1，第二组含两个数3,5，第三组含三个数7,9,11，第四组含四个数13,15,17,19，现观察猜想每组内各数之和为an与其组的编号数n的关系为_7 (2013陕西)观察下列等式：(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第n个等式可为_8 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第10行第3个数(从左往右数)为_9 对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，.仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为_10已知a0且a1，f(x).(1)求值：f(0)f(1)，f(1)f(2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明；(3)若nN*，求和：f(n1)f(n2)f(1)f(0)f(1)f(n)11等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列12设数列an的前n项和为Sn，并且满足2Snan，an0(nN*)(1)求a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并加以证明；(3)设x0，y0，且xy1，证明：.第 10 页 共 10 页