专题三第3讲.doc

专题三 数列、推理与证明
第3讲　推理与证明

1． 合情推理
(1)归纳推理
①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
②归纳推理的思维过程： →→
(2)类比推理
①类比推理是由特殊到特殊的推理
②类比推理的思维过程： →→
2． 演绎推理
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(2)合情推理与演绎推理的区别
归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
3． 直接证明
(1)综合法：用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为
→→→…→
(2)分析法：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为
→→→…→ 得到一个明显成立的条件
4． 间接证明
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．
5． 数学归纳法
数学归纳法证明的步骤
(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立．
(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论成立，证明n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，结论都成立.

考点一　归纳推理
例1　(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　　N(n,3)＝n2＋n， 正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，六边形数 N(n,6)＝2n2－n
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.

(1)在数列{an}中，若a1＝2，a2＝6，且当n∈N*时，an＋2是an·an＋1的个位数字，则a2 014＝________.

(2)如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
a．每次只能移动一个金属片；
b．在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)．
则①f(3)＝________；②f(n)＝________.

考点二　类比推理
例2　(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.

(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.

(1)现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
(2)命题p：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a>b>0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值________．

考点三　直接证明与间接证明
例3　已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0 (n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a (n≥1)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．
(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；
(2)试判断数列{bn}是否为等比数列．

考点四　数学归纳法
例4　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若＝＋1，且Pn＝(1＋b1)(1＋b3)…(1＋b2n－1)，求证：Pn>.

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2n－1＝a，n∈N*，数列{bn}满足bn＝Tn为数列{bn}的前n项和．
(1)求an，bn；
(2)试比较T2n与2n2＋的大小．

1． 合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．
2． 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
3． 数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明．
(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．
(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论.

1． 将全体正奇数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．

2． 在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项，k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
…
n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．
相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)．
类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)”的结果为________．

1． 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．

2． 已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于________．

3． 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，
(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________．

4． 已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________________________________________________________．

5． 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设aij(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8，若aij＝2 014，则i，j的值的和为________．

6． 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为an与其组的编号数n的关系为________．

7． (2013·陕西)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
照此规律，第n个等式可为______________．

8． 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．

9． 对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，….仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为________．

10．已知a>0且a≠1，f(x)＝.
(1)求值：f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)；
(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明；
(3)若n∈N*，求和：f(－(n－1))＋f(－(n－2))＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(n)．

11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

12．设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明；
(3)设x>0，y>0，且x＋y＝1，证明：＋≤.

第 10 页 共 10 页