专题四 第3讲空间角(文科独具).doc

一、选择题
1．(2011·奉化模拟)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：连接AC、BD交于O，则EO∥SD，
∴∠AEO为异面直线SD与AE所成角．
设AB＝a，则EO＝，
AO＝a，AE＝a，
∴cos∠AEO＝.
答案：C
2．(2011·辽宁高考)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.
选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.
选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．
选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．
答案：D
3．(2011·东北三校联考)已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.

解析：画出三棱锥S－ABC(如图)，作SO⊥底面ABC，连接AO、SO，易知侧棱与底面所成的角即为∠SAO，由题意易得三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以AO＝，
因为SA＝2，所以cos∠SAO＝.
答案：D
4．(2011·宁波模拟)已知正四面体A－BCD，设异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的角为γ，则(　　)
A．α＞β＞γ B．α＞γ＞β
C．β＞α＞γ D．γ＞β＞α

解析：如图，取底面BCD的中心为点O，连接AO，BO，易知∠ABO＝β，取BC的中点E，连接AE、OE，易知∠AEO＝γ，易知0＜β＜γ＜，延长BO交CD于F，则BF⊥CD，又AO⊥CD，
∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AB，即α＝，∴α＞γ＞β.
答案：B
二、填空题
5．(2011·全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
解析：取A1B1的中点F，连接EF，FA，
则有EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，
则有EF＝2a，
AF＝＝a，
AE＝＝3a.
在△AEF中，cos∠AEF＝
＝＝.
因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是.
答案：
6．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是__________．
解析：由已知∠POB是PO和平面β所成角中的最小角．
由最小角定理，∠POB是PO和面β所成的角．
即MO是PO在β内的射影，故α⊥β.
即二面角α－AB－β大小为90°.
答案：90°
7．(2011·全国卷)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．
解析：设面AEF与面ABC所成的二面角为θ，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，则△AEF在面ABC上的射影是△ABC.
在△AEF中，AE＝＝，
AF＝＝，
EF＝＝，
△AEF的面积等于
× × ＝，
而△ABC的面积等于×32＝，
因此有cosθ＝＝，
sinθ＝＝，tanθ＝＝，
即面AEF与面ABC所成的二面角的正切值是.
答案：
三、解答题
8．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．
(1)证明：EF∥平面SAD；
(2)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的余弦值．
解：(1)证明：作FG∥DC交SD于点G，
则G为SD的中点．
连接AG，FG綊CD，
又CD綊AB，E为AB的中点，
故GF綊AE，四边形AEFG为平行四边形．
所以EF∥AG.又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD.
所以EF∥平面SAD.
(2)不妨设DC＝2，则SD＝4，DG＝2，△ADG为等腰直角三角形，取AG中点H，连接DH，
则DH⊥AG，DH⊥EF，
DH＝.
取EF中点M，连接MH，则HM綊AE，∴HM⊥EF.
连接DM，则DM⊥EF.
故∠DMH为二面角A－EF－D的平面角．
tan∠DMH＝＝＝，cos∠DMH＝，
∴二面角A－EF－D的余弦值为.
9．(2011·合肥模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1上的动点，F为棱BC的中点．
(1)求证：AE⊥DA1；
(2)求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值；
(2)若E为C1D1的中点，在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.
解：(1)证明：连接AD1，依题意可知AD1⊥A1D，
又C1D1⊥平面ADD1A1，
∴C1D1⊥A1D，
又C1D1∩AD1＝D1，
∴A1D⊥平面ABC1D1.
又AE⊂平面ABC1D1，
∴AE⊥A1D.
(2)设正方体的棱长为2，取CC1的中点M，连接FM交CB1于O点，连接DO，则FO＝，连接BC1，
易证BC1⊥平面A1B1CD.又FM∥BC1，
∴FM⊥平面A1B1CD.
则∠FDO为直线DF与平面A1B1CD所成的角，
∴sin∠FDO＝＝＝.

(3)所求G点即为A1点，证明如下：
由(1)可知AE⊥DA1，取CD中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，
可证得DF⊥平面AHE，
∴DF⊥AE，
又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，
即AE⊥平面DFG.
10．(2011·济南模拟)已知矩形ABCD与正三角形AED所在的平面互相垂直，M、N分别为棱BE、AD的中点，AB＝1，AD＝2，
(1)证明：直线AM∥平面NEC；
(2)求二面角N－CE－D的余弦值．
解：(1)证明：取EC的中点F，连接FM，FN，
则FM∥BC，FM＝BC，AN∥BC，AN＝BC，
所以FM∥AN且FM＝AN，
所以四边形AMFN为平行四边形，
所以AM∥NF，
因为AM⊄平面NEC，NF⊂平面NEC，
所以直线AM∥平面NEC.
(2)由题设知平面ABCD⊥平面ADE，CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADE.
又∵CD⊂平面CDE，
∴平面CDE⊥平面ADE.
作NH⊥DE于H，
则NH⊥平面CDE，
作HO⊥EC于O，
连接NO，
由三垂线定理可知NO⊥CE，
∴∠HON就是二面角N－CE－D的平面角．
在正△ADE中，可得NH＝，
在Rt△EDC中，可得OH＝，
故在Rt△NHO中，tan∠HON＝＝.