直角三角形的边角关系陈建东.doc

直角三角形的边角关系
【重点难点提示】
重点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系．
难点：锐角三角函数在0°～90°之间的变化规律的应用．
考点：锐角三角函数的有关知识在初中数学中占有比较重要的地位；近年各地中考试题中，大多以填空或选择题的形式出现，约占考量的2.5％．
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0

1
cosα
1

0
tanα
0

1

不存在
cotα
不存在

1

0
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系

（3）倒数关系
tanAtan(90°—A)=1
（4）弦切关系
tanA=
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

考点一、锐角三角函数以及特殊角
（2013江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ）
A. B. C. D.1

如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为
C
B
A
图4

A． B． C． D．

考点二、三角函数的有关计算
例1 （1）计算：+cot30°-tan45°-cos30°;

（2） Rt△ABC中，∠C=90°,a=,b=2，求cosA.

解析：（1）主要注意隐含关系式sin2α＋cos2α＝1的运用，来求得sin215°＋sin275°＝sin215°＋cos215°＝1的技巧．
考点三、三角函数的实际应用
（2013福州，9，4分，）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B. 米 C. 米 D. 米

( 2013年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=,则BC的长为

8题图
A
B
C

（A）4 (B)2 (C) (D)

（2013连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是

A.+1 B. +1 C. 2.5 D.

(2013山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中，，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ）
（A）1组 （B）2组 （C）3组 （D）4组
A
B
C
D
E
F

课后练习题

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )
A、 B、 C、 D、
2、在ΔABC中，已知∠C=90°，sinB=，则cosA的值是 ( )
A． B． c． D．
3、（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
A．L1 B．L2 C．L3 D．L4

4、如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_______米．
5、半径为10cm的圆内接正三角形的边长为 ，内接正方形的边长为 ，内接正六边形的边长为
6、如果sin2 α+sin230°= 1，那么锐角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7、若0＜cosα≤，则锐角α的取值范围是（）
A．0＜α＜30○ B、α≥30○
C．30○≤α≤60○ D．30○≤α≤90○
8、α为锐角，则sinα+cosα的值（ ）
A．小于1 B．大于1 C．等于1 D．不能确定
9、梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆的高度．如图7，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆的顶端的影子落在教学楼前的坪地处，测得影长与地面的夹角．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆的高度．（可能用到的数据：，结果保留两个有效数字）

A
B
Ｄ
E
C

图7

10、下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米．从A到B、从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．(精确到0．O1米)
(1)求山坡路AB的高度BE．
(2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米?
H
A
B
C
D
M
E
F
N
I
(sin5°=0．0872，cos5°=0．9962,sin12°=0．2079，cos12°=0．9781)

11、如图，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AFE=60°，再沿直线CB后退8米到D点，在D点又用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AGE=45°；已知测角器的高度是1．6米，求旗杆AB的高度．