抛物线[教师版].doc

专题复习二十讲

第20讲 抛物线
一、知识梳理：
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：
标准方程

图形

焦点

准线

范围

对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率

2.抛物线的焦半径、焦点弦
①的焦半径;的焦半径；
② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.
③ AB为抛物线的焦点弦，则 ，，=
3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.
3.学习要点
1.注意抛物线标准方程与的联系及区别.
2.抛物线上的点与焦点的连线常转化为该点到准线的距离.

二、基础检测：
1. 抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B. C. D. 0
点拨：抛物线的标准方程为，准线方程为,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是
2. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有 （　　）
A． B．
C． D.
［解析］C 由抛物线定义，即：．
3. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,
M点坐标是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C
4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）
[解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.
5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程
[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或
6. 若直线经过抛物线的焦点，则实数 [解析]-1
7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( C )
A. B. C. D.
8.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在
[解析]C ，而通径的长为4．
9. 在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为　（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
[解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为4．
10. 两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
[解析] D.
11. 如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（ ）．
A．5 B．6 C． 7 D．9
[解析]B 根据抛物线的定义，可知（，2，……，n），成等差数列且,,=6
12.抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）
A． B． C． D．
[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，则，
四边形ABEF的面积=
13.设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ．
[解析].
过A 作轴于D，令，则即，解得．

三、典例导悟：
14.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上
【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.
[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,
∵过点(-3,2) ∴
∴ ∴抛物线方程为或,
前者的准线方程是后者的准线方程为
(2)令得，令得，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,
∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时
∴，此时抛物线方程.
∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.
【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面
15. 已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点()到焦点的距离为5，求的值，并求此抛物线的方程.
解 故交点只能在轴的负半轴上或轴的正半轴上
(1) 若抛物线的焦点在轴的负半轴上，设抛物线的方程
准线方程为 依条件有为所求的方程.
将点代入上面的方程得或（舍）.
（2）若抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的方程为
准线方程为
依条件有消去并整理得解得或
当时；此时所求的方程为；当时，此时所求的方程为
16. 已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．
（1）求的坐标；（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？
解：（1）抛物线方程为 故焦点的坐标为
（2）设

直线的方程是

17. 已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.
（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；
（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.
解：（1）抛物线方程为：y2=2x. （4分）
（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，
得：k2x2-(k2+2)x+.
设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.
设△AOB的重心为G（x，y）则，
消去k得y2=为所求， （6分）
②当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1）， （8分）
△AOB的重心G（，0）也满足上述方程.
综合①②得，所求的轨迹方程为y2=， （9分）
（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，
根据圆的性质有：|MN|=2.
当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，
设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.
|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，
∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，
故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.
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