第5章-概率有限元法及其应用知识讲解.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第5章-概率有限元法及其应用,5.1,概述,在常规的有限元分析中，通常是基于确定性参数。然而这些参数实际上都存在着不确定性，即存在着很大的统计随机性。为了解决这类问题，近十年来发展起来的概率有限元法,(PFEM),或随机有限元法,(,SFEM,),是解决此问题的一种有效方法,概率有限元法的最初思路是,Monte-Carlo,法与有限元直接结合,目前，普遍使用的,概率,有限元法有三种：,(1)Taylor,展开随机有限元法,(TSFEM),；,(2),摄动随机有限元法,(PSFEM),；,(3)Neumann,展开,Monte-Carlo,随机有限元法,(NSFEM),5.2,概率有限元法,线性有限元方程为,刚度矩阵为,应变矩阵、材料性能矩阵、结点位移矩阵和结点作用力矩阵,若将整个方程中的物理量分解成随机变量的均值和偏差两部分，则有,5.2,概率有限元法,展开可得,式中,变量的偏差二阶微量，与其它项相比可以忽略不计,故上式可用如下两式表示,具有均值的确定性有限元问题,5.2,概率有限元法,式,(5-6),可以改写成,由式,(5-7),可得位移向量的协方差的如下近似公式,有限元分析中的单元应力计算,可以将应力,，材料弹性矩阵,及位移,写成均值和偏差值为,5.2,概率有限元法,为简单起见，将式中,B,认为是确定性矩阵，略去二阶微量可得应力均值和应力偏差分别为,各应力分量之间的协方差矩阵为,5.3,概率有限元控制方程的建立,摄动概率有限元法,(PSFEM),假定随机变量在均值处产生微小摄动，利用,Taylor,级数把随机变量表示为确定部分和由摄动引起的随机部分，从而将有限元位移的支配方程转化为一组线性的递推方程,由于任何随机变量都可以引入摄动量，因此,PSFEM,法易于考虑非线性问题，它的适用范围更广。它只需一次形成刚度矩阵，一次对刚度矩阵求逆，因此计算效率较高，但需要以微小的摄动量为条件,5.3,概率有限元控制方程的建立,假设结构的某一参数,是随机扰动的，对该参数建立,即将,表示为确定部分和随机部分之和,随机模型后，其扰动量可以用一个随机小参数,来表示,均值为零的随机场，维数为,n,将式,(5-1),中的刚度矩阵,位移列阵,荷载列阵,在,的均值处按泰勒级数展开，并略去二阶以上项，有,5.3,概率有限元控制方程的建立,其中，,分别表示刚度矩阵,K,、,位移列阵,u,、,载荷,表示对,求偏导数,列阵,f,的均值矩阵，它们是确定性量；,K,、,u,、,f,中的下标,5.3,概率有限元控制方程的建立,将式,(5-16),、,(5-17),、,(5-18),带入控制方程,(5-1),，可得如下,递归方程组,利用式,(5-19),可以求得确定性位移,代入式,(5-20),的右端，可解得位移的一阶变量,代入式,(5-21),的右端，解得位移的二阶变量,5.3,概率有限元控制方程的建立,由此可以分别得出二阶位移的均值和协方差的计算公式为,5.3,概率有限元控制方程的建立,进一步，由应力的二阶泰勒级数展开式和应力,-,位移关系，可以得到单元应力的均值和协方差的计算公式为,5.3,概率有限元控制方程的建立,式中上标,表示单元号,5.3,概率有限元控制方程的建立,Taylor,展开概率有限元法,(TSFEM),该法的基本思路是将有限元格式中的控制量在随机变量均值点处进行,Taylor,展开，经适当处理得出所需计算公式,设基本随机变量为,在基本随机变量的均值点,处进行,Taylor,展开,取至二次项得,5.3,概率有限元控制方程的建立,将式,(5-25),、,(5-26),、,(5-27),代入控制方程,(5-1),中得如下递归方程组,求法同前,5.3,概率有限元控制方程的建立,由此可以分别得出二阶位移的均值和协方差的计算公式为,同样将应力在均值点处进行,Taylor,展开得,5.3,概率有限元控制方程的建立,两边取均值得,应力的方差可由下式计算,这种方法的主要优点在于不需要知道多变量分布函数，而仅需要知道其一次二阶矩。值得注意的是由于,TSFEM,在控制量展开式中忽略了二阶以上高次项，使其随机变量的变异性有所限制，且无法计算响应量三阶以上的统计特性,5.3,概率有限元控制方程的建立,Neumamn,展开,Monte-Carlo,概率有限元法,(NSFEM),Monte-Carlo,法是最直观、最精辟、获得信息最多、对非线性问题最有效的计算统计方法。但是这种方法是建立在大量随机抽样的基础上进行的，不适合于大型复杂结构。八十年代后期,Shinozuka,、,Yamazaki,将,Neumamn,展开用于,Monte-Carlo SFEM,，提出了,NSFEM,法，使,Monte-Carlo,法与有限元很好地结合起来,5.3,概率有限元控制方程的建立,Neumamn,展开的引入实质上是为了解决刚度矩阵求逆的问题。假设刚度矩阵,在随机变量波动值的影响下可分解为,对,Monte-Carlo,随机抽样，刚度矩阵只改变,根据,Neumamn,展开,可写成,式中,为单位矩阵,5.3,概率有限元控制方程的建立,由于,所以,若令,则有如下递推公式,5.3,概率有限元控制方程的建立,由式,(5-40),求出,可用上式求出,Neumamn,展开法迭代终止条件可以由下式确定,NSFEM,法可以响应二阶以上的高次项，且可以方便地调用确定性有限元程序。但是，该法只解决了刚度矩阵求逆的效率问题，不能解决载荷随机问题,5.4,概率有限元法的计算,Taylor,和摄动展开概率有限元法,Taylor,展开概率有限元法和摄动展开概率有限元法的求解过程很相似,所不同的是,含义不同,一起讨论,这两种方法都需要求解递归方程组，即需要反复解一系列线性方程组，但每次求解的线性方程组的系数矩阵相同，都是均值刚度矩阵,所不同的仅仅是方程组右端的自由项,5.4,概率有限元法的计算,根据这一特点，只需将系数矩阵作一次求逆，然而通过矩阵与矩阵和矩阵与向量之间的乘积，即可解这一系列线性方程组。另外，也可以对系数矩阵进行一次三角分解，即,L,为下三角矩阵，即,L,中的元素,经三角分解后概率有限元法的递归方程可以统一写成,5.3,概率有限元控制方程的建立,由此可见，,Taylor,展开概率有限元法和摄动展开概率有限元法的计算机实现可以纳入现有的各种通用有限元程序中，只需增加求解“载荷列阵”,的子程序即可,需要说明的是，在形成线性方程组的自由项,时，要用到,刚度矩阵对随机变量的偏导数,若把这些矩阵都贮存起来，则将占用计算机很大的存贮空间。为此需要时可采用损失部分计算效率来换取存贮空间。计算位移向量的一阶摄动系数,的流程图如图,5-1,所示,5.4,概率有限元法的计算,否,否,否,否,i=,1,j,=1,e,=1,有限单元是否包含随机变量,形成该单元的刚度矩阵的偏导数,计算右端项,:,调用组集总刚子程序,将并入,e=e,+1,eNE,j=j,+1,j,n,回代求解,i=i,+1,in,返回,是原随机场离散后的随机向量,是原随机变量的协方差矩阵的特征向量矩阵,用于重复计算,同样，可用类似的方法求,5.4,概率有限元法的计算,基于确定性有限元程序的概率有限元法的实现,若已知载荷波动列阵,和刚度波动阵,把,作为载荷项，可用确定性有限元法求解位移波动量,再由式（,5-12,）、（,5-13,）求出应力均值,和波动量,如果不考虑刚度矩阵的随机性，将刚度矩阵看成是确定的，即,那么由式,(5-6),变为,式,(5-47),也完全可以通过确定性通用有限元程序解得,5.5,齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算,对于齿根弯曲疲劳强度，功能函数为,为基本随机变量,、转数,、疲劳极限,可取，功率,均值：,方差：,可靠性指数：,可靠度：,5.5,齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算,已知，,现应用摄动展开和,Taylor,展开概率有限元法求解,摄动展开概率有限元法求解,这里只考虑载荷,F,的随机性，故,K,为确定的,；结点载荷列阵,是随机扰动的,在齿根应力分析中，载荷为齿面正压力，即,基本公式推导,5.5,齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算,将,和,分别表示为确定部分和随机部分之和,和,相互独立，均可以模型化为零均值的连续平稳随机场，,和,离散,分别对,将式,(5-56),和,(5-57),合在一起，得,5.5,齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算,载荷列阵,和位移列阵,在,的均值处按泰勒级数展开，,并略去二阶以上项，有,代入式,(5-1),，整理可以得到,5.5,齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算,其中，,为一阶位移波动,为一阶载荷波动,为二阶位移波动,为二阶载荷波动,5.5,齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算,位移的一阶和二阶统计量,一阶位移的均值：,一阶位移的协方差：,二阶,位移的均值：,二阶,位移的协方差：,5.5,齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算,摄动概率有限元法求,将齿面正压力,在,和,均值处按泰勒级数展开至二阶,和,为零均值,),(,确定部分载荷,一阶波动载荷,二阶波动载荷,5.5,齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算,就可求解,一阶波动,和二阶波动,再由式（,5-64,）,（,5-67,）计算其统计量,在单元应力与单元结点位移的关系式中,由,再组集成单元位移,由式（,5-70,）,可以求出各结点,的确定量、一阶波动量,的一阶或二阶统计量,和二阶波动量，进而求出,5.5,齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算,在计算可靠性指数时，选取齿根部应力均值和方差最大的点即最危险点进行计算，得出最小可靠性指数，即,才能保证设计的有效性。所以，只需要计算最危险点的方差，而不必计算协方差矩阵,Taylor,展开概率有限元法的求解过程与上相同，不再赘述,5.6,齿轮弯曲强度可靠性概率有限元计算,计算程序系统,基于三维机械,CAD,系统,MDT(Mechnical DeskTop),和通用有限元系统,ANSYS,，采用,VB,编程语言运用,ActiveX,自动化技术实现两者跨软件平台操作，用,MDT,参数化绘图技术建立齿轮轮齿实体模型，用,ANSYS,作为有限元计算工具，研制开发了一个用概率有限元计算齿轮可靠性的设计系统（,GPFEMRS,）,系统流程见图,5-5,5.6,齿轮弯曲强度可靠性概率有限元计算,开 始,齿轮设计参数,轮齿工作齿面,齿根过渡曲面,轮齿轮缘,B,样条拟合构型,MDT,建立,轮齿实体,模 型,ANSYS,有限元系统：,(,单元网格,约束,加载,计算,后处理,),IGES,格式,计算应力的均值，一阶波动，二阶波动，结点应力分布，计算最小可靠性指数,5.6,齿轮弯曲强度可靠性概率有限元计算,计算实例,摄动因子分别取,具体数据略,计算,齿根应力确定值（图,5-6,），,齿根应力的一阶波动值（图,5-7,）；可靠性系数,5.6,齿轮弯曲强度可靠性概率有限元计算,齿根应力,的确定值,(PSFEM),5.6,齿轮弯曲强度可靠性概率有限元计算,一阶波动值,5.6,齿轮弯曲强度可靠性概率有限元计算,二阶波动值,5.6,齿轮弯曲强度可靠性概率有限元计算,结点应力分布可视化,5.6,齿轮弯曲强度可靠性概率有限元计算,摄动概率有限元法的随机小参数选择,是均值为零的随机场，它反映了参数,的随机性,太小，不能完全考虑参数,z,的随机性；,若取大了，计算结果又不精确,参考变异系数的概念，推荐取：,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,