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流体的有旋流动和无旋流动
第四章 流体的有旋流动和无旋流动
在上一章中我们阐述了流体流动的一些基本概念，导出了流体流动的连续性方程、欧拉运动方程、伯努利方程和动量方程等，为解决工程实际问题奠定了一定的理论基础。本章将进一步讨论流体的有旋流动和无旋流动。
第一节 流体微团运动的分析
我们知道，刚体的运动一般可以分解为移动和转动两部分。但流体与刚体不同，流体受力便会发生运动状态的变化，即流体具有流动性，极易变形.因此，流体微团在运动过程中不但会发生移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。变形运动又分为线变形运动和角变形运动两种情况。下面我们分别讨论这几种运动情况.
一、移动
在流场中取一微元平行六面体的流体微团，各边长分别为dx、dy、dz，形心a处的速度为，沿三个坐标轴的速度分量分别为ux、uy、uz,如图4－1所示。如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量也都是ux、uy和uz，那么整个流体微团就只有移动,也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置，而其形状和大小及方位并不改变.

 图4－1 微团移动分析  图4－2 微团旋转运动分析
二、转动
同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团,转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，我们先讨论流体微团绕垂直于xoy平面的轴(z轴）转动的情况，如图4－2所示.设O点在x轴和y轴方向的速度分量分别为ux和uy.当A点在y轴方向的分速度不同于O点在y轴方向的分速度及B点在x轴方向的分速度不同于O点在x轴方向的分速度时,流体微团才会发生旋转。A点在y轴方向的分速度和B点在x轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为和，它们相对于O点的对应分速度(相对于O点的线速度）分别为和，所以它们相对于O点的角速度（逆时针方向旋转为正）应为
A点上
B点上
而对于微团中其它各点绕z轴转动的角速度（如C点等）则是由该点y向的分速度在x轴方向的变化量和x向的分速度在y轴方向的变化量共同产生的。因此,我们可以把整个微团绕z轴转动的分角速度用OA与OB在xoy平面内的平均角速度来表示,即

同理，可求得流体微团绕x轴和y轴转动的角速度分量ωx和ωy。于是流体微团旋转角速度的三个分量分别为
(4－1）
而 (4－2）
写成向量形式为
(4－3）

式中：为哈米尔顿算子，为速度的旋度，在流体力学中也称为流场的涡量，一般用表示，即。那么涡量在各坐标轴上的分量可表示为
(4－4）
而 （4－5）
当涡量，即ωx＝ωy＝ωz＝0时,流体的流动是无旋的，称为无旋流动，否则称为有旋流动。
应当指出，判断流体微团是有旋流动还是无旋流动，完全取决于流体微团是否绕其自身轴旋转，而与流体微团本身的运动轨迹无关。如图4－3所示,流体微团的运动轨迹均为圆周线，在（a）中微团自身有转动，是有旋流动;在(b）中微团自身没有转动，是无旋流动。

（a）有旋流动 (b）无旋流动
图4－3 流体微团的运动轨迹
对于圆柱坐标系来说

因此，用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算公式，即
（4－6)
(4－7)
 （4－8)
(4－9）
写成向量式为
  （4－6a)
 (4－8a）
三、线变形运动
线变形运动是指流体微团的形状随时间在变化，而微团的形心位置和方位并不改变的一种变形运动。所以线变形运动又称作体变形运动。对于不可压缩流体来说,流体微团的线变形运动并不改变其体积的大小。

 图4－4 微团线变形运动分析
流体微团的线变形速度是用直线距离上单位时间内单位长度的伸长量(或缩短量)来表示的。线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用εx、εy、εz表示。如图4－4所示，在流场中任取一流体微团，形心点为O，OA平行于x轴,长度为dx，OB平行于y轴,长度为dy,OC平行于z轴(垂直于纸面），长度为dz。形心O点处流体质点的速度在各坐标轴上的分量为ux、uy、uz。A点的x向分速度和B点的y向分速度及C点的z向分速度可按泰勒级数展开并略去高阶无穷小量得到，它们分别为、和。则A点相对O点在x轴方向的相对速度为；B点相对O点在y轴方向的相对速度为；C点相对O点在z轴方向的相对速度为。就是由于这些相对速度的存在，将造成流体微团在各坐标轴方向伸长（或缩短）.在dτ时间内OA在x轴方向的伸长量为；在dτ时间内OB在y轴方向的缩短量为；在dτ时间内OC在z轴方向的伸长量（或缩短量）为。则在x轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量为

在y轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为

同理，在z轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量（或缩短量)为

由此得到流体微团的线变形运动速度分量为
（4－10）
如果我们用ε来表示流体微团在单位时间内的体积变形率，或称体积膨胀率，则有
（4－11）
式中：为速度的散度。显然，对于不可压缩流体，ε＝0，即体积变形率为零。
四、角变形运动
如果流体微团内各点的受力不均，有切向力存在时，将会使流体微团产生角变形运动.角变形运动的快慢程度用角变形速度θ来度量。角变形速度的大小常用流体微团中某一直角的角度在单位时间内的改变量的一半来表示，它在各坐标轴方向的分量分别用θx，θy，θz表示。在流场中任取一流体微团，如图4－5所示。设O点在x轴和y轴方向的分速度分别为ux和uy。A点在y轴方向的分速度和B点在x轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为和，相对于O点而言,A点在y方向的分速度为；B点在x方向的分速度为。因此，相对于O点的对应的角速度分别为
A点上
B点上

 图4－5 微团角变形运动分析
在dτ时间内对应的角度变化量分别为

则∠AOB在dτ时间内的总变化量为

于是，流体微团在xoy平面内的角变形速度为

同理，可得到流体微团在yoz平面和xoz平面内的角变形速度。因此,流体微团在三个不同平面内的角变形速度分量分别为
 （4－12）
而 （4－13)
上面我们对流体微团的移动、转动和变形运动分别进行了讨论和分析，但在实际情况下，流体微团的运动一般都同时存在着移动、转动和变形运动.因此,在分析流体的实际运动状态时,应当进行综合分析和研究.
例4－1 有一平面流场的速度分布为:ux＝x2y＋y2，uy＝x2－xy2,求此流场中在x＝1,y＝2点处的旋转角速度、角变形速度和体积膨胀速率。
解 旋转角速度为

角变形速度为

体积膨胀速率
由此可知，该流场为稳定流场，在x＝1,y＝2处为顺时针旋转；角变形减小(角收缩变形)；没有体膨胀变形,在x轴方向和y轴方向的线变形速率的绝对值均为2xy＝4.
例4－2 试判断下列流场是有旋流场还是无旋流场。
（1） ux＝y＋z＋1，uy＝x＋z＋2,uz＝x＋y＋3
（2） ur＝2rsinθcosθ，uθ＝2rsin2θ，uz＝0
解 (1）

所以此流场是无旋流场。
（2) 此流场是二维流场,即ωr＝ωθ＝0

故此流场是有旋流场。
例4－3 若流体质点的运动轨迹是直线，这种流动是否一定是无旋流动?若流体质点的运动轨迹是曲线,这种流动是否一定是有旋流动？试举例说明。
解 流体的流动是有旋还是无旋,是根据流体质点本身是否具有旋转这一特征来划分的，而并不涉及流体质点的运动轨迹是直线还是曲线。流体作直线运动,可以是无旋流动，也可以是有旋流动；而流体作曲线运动，可以是有旋流动，也可以是无旋流动。现举例说明如下
(a) 流体的流动速度为ux＝3y－2y2，uy＝0,uz＝0。
显然，此流场是稳定流场，并且流线和迹线都是直线，即流体在作直线运动，但是

所以,此流动为有旋流动.
（b) 流体的流动速度为ur＝0，uθ＝，uz＝0 （c为常数）。
显然，此流场为稳定流场，并且流线和迹线都是同心圆周线，即流体是作曲线运动，但是

所以,此流动为无旋流动.
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度
在有旋流动的流场中，全部或局部地区的流体微团绕自身轴旋转，于是就形成了一个用涡量或角速度表示的涡量场，或称为旋涡场.如同在速度场中曾经引入流线、流管、流束和流量一样，在涡量场中，我们引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念.
涡线是这样一条曲线,在给定瞬时，曲线上每一点的切线都与该点上流体微团的角速度方向相重合。因角速度向量的方向和流体微团的旋转轴是一致的，所以涡线也就是沿曲线各个流体微团的瞬时转动轴线，如图4－6所示。一般而言，涡线并不与流线相重合,而是与流线相交。在稳定流场中，涡线不随时间而改变.

图4－6 涡线 图4－7 涡管
从概念上讲，涡线和流线两者是很相似的.其区别只是涡线是以角速度向量代替了流线的线速度向量。从涡线的定义我们知道，涡线上各点的切线都是各该点上流体微团的瞬时旋转轴,而其向量代表流体微团的旋转角速度.于是,我们可用推导流线微分方程类似的方法得到涡线微分方程，即
(4－14)
在给定的瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过该封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线构成一个管状表面,称为涡管,如图4－7所示。涡管中充满着作旋转运动的流体，亦即涡管中的所有涡线所构成的涡线族,称为涡束.在稳定流场中，涡管和涡束的形状不随时间而改变。垂直于涡管中所有涡线的截面称为涡旋截面。涡管中涡量与涡旋截面的乘积称为旋涡强度，也称为涡管强度或涡通量.常用I来表示。
对于涡旋截面为dA的微元涡管（或涡束），其旋涡强度为
（4－15）
那么，整个涡管的旋涡强度可表示为
 （4－16)
在上一章我们讲到,流体的流量和质点的速度可以利用伯努利方程通过测量压力差来计算，但旋涡强度和流体微团的角速度不能直接测得.根据实际观察发现，在有旋流动的流场中,流体环绕某一核心旋转时,旋涡强度越大，旋转速度越快，旋转的范围就越扩大。因此可以推断，在有旋流动中，流场的旋涡强度与流体环绕某一核心旋转的线速度分布有密切的关系。为了解决这个问题，我们需要引入速度环量的概念，利用速度环量可以计算流场中的旋涡强度.

图4－8 速度环量
在流场中任取一封闭曲线S，如图4－8所示，则流速沿此曲线的积分称为曲线S上的速度环量，用Γ表示。即
(4－17）
速度环量是个标量，它的正负决定于速度的方向和线积分所绕行的方向。一般规定积分时以逆时针方向绕行为正。即当速度在积分线路上的投影与同向时，Γ为正，反之为负。
设封闭曲线S所包围的区域A为单连通域，根据数学分析中的斯托克斯公式，沿封闭曲线S的线积分可以化为以S为边界的曲面A的面积分。即
(4－18）
亦即 （4－18a)
式(4－18)表明，在流场的单连通域中沿任意封闭曲线的速度环量等于通过以该曲线为边界的任意曲面的所有涡束的旋涡强度。这个结论在流体力学中称为斯托克斯定理。由斯托克斯定理可知，速度环量的存在不但可以决定流场中旋涡的存在，而且还可以衡量封闭曲线所包围的区域内全部旋涡的总旋涡强度。
在无旋流动的流场中，涡量ξ＝0，所以沿任何封闭曲线的速度环量都等于零。反之也可以断定，如果在一个流动区域内沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，那么该区域内就没有旋涡存在，即该区域内的流动一定是无旋流动.因此在求解单连通域的总旋涡强度时,不论流场中的旋涡是连续分布还是分散存在，都不必考虑其中无旋流动区域的大小,可直接沿包围这一区域的封闭曲线求其速度环量来确定。
在有旋流动的流场中，涡量ξ≠0，所以，一般情况下沿封闭曲线的速度环量不等于零，即流场中的总旋涡强度不为零。但是，有时也会遇到沿某一特定的封闭曲线的速度环量等于零，而该封闭曲线所包围的区域内又有旋涡存在的情况.这是由于该区域内同时存在几个大小相等、方向相反的旋涡，其旋涡强度相互抵消，使得该区域的总旋涡强度为零，沿封闭曲线的速度环量也为零。所以在判断流场是有旋还是无旋时，不能只根据沿某一特定封闭曲线的速度环量是否为零，或根据某一特定区域的总旋涡强度是否为零来判断,而是根据在流场中沿任何封闭曲线的速度环量是否为零，或根据流场中任何区域内的旋涡强度是否都为零来进行判断。
有旋流动有一个重要的运动学性质:在同一瞬时，通过同一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等。该性质为亥姆霍兹第一定理，可以通过斯托克斯定理加以证明。
根据上述性质可以得到以下推论:
(1）对于同一涡管来说,涡旋截面越小的地方，流体的涡量或旋转角速度越大。
（2)涡管不可能在流体内部以尖端形式产生或终止,而只能在流体中自行封闭成涡环，或者附在流体的边界上。这是因为在涡旋截面趋近于零的地方，流体的旋转角速度趋近于无穷大。实际上这是不可能的。例如抽烟人吐出的烟圈就是自行封闭的涡环；自然界中的龙卷风就开始于地面，终止于云层。
例4－4 一有旋流场的速度分布为ux＝－6y2＋2z2＋5，uy＝0，uz＝0，试求其涡线方程。
解

代入涡线微分方程得

即
积分得
上式即为所求的涡线方程.
例4－5 设某流场的速度分布为uθ＝ωr，ur＝uz＝0,ω为绕垂直轴的旋转角速度（常量)，求半径为R的圆形流场区域内的总旋涡强度。
解 根据斯托克斯定理，半径为R的圆域内流场的总旋涡强度为

例4－6 在平行流场内，沿圆周等距离分布的A、B、C、D四点上有四个旋涡，其旋涡强度分别为IA＝IB＝I，IC＝ID＝－I,如图4－9.大圆K包含A、B、C、D在内.求沿圆周线K的速度环量，并说明沿封闭曲线的速度环量为零时，是否此封闭曲线所包围的区域内处处无旋？

 图4－9 例4－6附图
解 以A、B、C、D为圆心，均作半径为r0的小圆，则在大圆和这四个小圆之间的区域内，流场是无旋的；且知沿小圆周、、和的速度环量分别等于I、I、－I、－I（如图4－9)。于是

即沿大圆周K的速度环量为零。
从此题可以看出,虽然沿K的速度环量为零，但K所包围的区域内并非处处是无旋的，在A、B、C、D四处就是有旋的。所以，如一区域内处处无旋，则沿此区域的封闭曲线的速度环量必为零；但反过来就不一定成立，即沿某一封闭曲线的速度环量为零，并不一定意味着由此封闭曲线所包围的区域内处处都是无旋的-—尽管此封闭曲线内总的旋涡强度也是等于零的。或者说,在单连通域的无旋流场中，沿任何封闭曲线的速度环量均等于零;反过来，若沿区域中任何封闭曲线的速度环量均等于零时,则流动必是无旋的。
第三节 平面流与流函数
如果流场中流体的流动参量只是两个坐标的函数，即流体的流动参量只随平面内不同点的坐标而变化，这种流动就称作平面流动。平面流动实际上就是二维流动。
流线可以形象地描绘出流场内的流动形态。在数学分析上,我们可以将描述流场特征的所有流线所构成的流线族用一定的函数形式来表示，这种函数就称为流函数。
设有一不可压缩流体的二维平面流动,其连续性方程为
(a)
流线微分方程为
或写成 （b）
根据数学分析可知，如果式(b)的左边恰好是某一个函数ψ＝ψ（x,y）的全微分，即
(4－19）
那么式(b）就是一个全微分方程。函数ψ(x,y)就称为流函数.由式（4－19）可得
（4－20)
将式(4－20)代入平面流的连续性方程式(a)，得

显然，不可压缩流体二维平面流动的连续性方程是流函数ψ存在的充分和必要条件。即流函数ψ永远满足连续性方程.另外还可以看出，在流线上dψ＝0或ψ＝常数，并且在每条流线上都有它自己的流函数值.
应当指出，在引入流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的.所以，不论是理想流体还是粘性流体，不论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函数.
流函数存在下列几个重要性质：
1、流函数ψ（x,y）＝C的方程为流线方程。
2、通过两条流线间各截面上的流体的体积流量都相等，并恒等于两条流线上的流函数值之差。

  图4－10 流量与流函数值的关系
设在给定的某一瞬时，有两条流线1和2，它们的流函数值分别为ψ1和ψ2，如图4－10所示.现在我们来证明通过二维不可压缩流体流动的两条流线间的各截面上的体积流量都相等，并且恒等于两条流线上的流函数值之差.例如通过AB截面的体积流量(取单位宽度)为

AB方向上x等于常数.
同理，通过BC截面的体积流量为

BC方向上y等于常数。因此得到
（4－21)
由于同一条流线上各点的流函数值都是相同的，所以上式表明沿流线全长两条流线间的体积流量保持不变，并恒等于两条流线上的流函数值之差.
3、不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，即
（4－22）
因为对于二维的无旋流动，ωz＝0,即

而
代入上式，有

凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上称为调和函数，所以流函数是一个调和函数.
4、在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,流线与等势线处处正交。
关于等势线的概念及这一性质的证明，将在下一节中介绍。
对于圆柱坐标系来说,流函数与速度分量之间的关系为
 （4－23）
（4－24)
例4－7 已知不可压缩流体平面流动的流速为ux＝x2＋2x－4y，uy＝－2xy－2y。（1）检查流动是否连续;(2）是否无旋;（3）求驻点的位置；(4）求流函数。
解 (1)

满足连续性方程，流场是连续的。
(2） 由于　
所以流动是有旋的。
（3） 驻点的条件是

解这个方程组，得

所以有三个驻点，它们的位置分别在（0，0)；（－2，0）和（－1，－)。
（4）
所以
又知
因而
令常数C＝0，则有

例4－8 已知一不可压缩流体的平面流场内的速度分布为(k为常数)。(1）求流函数；(2）描绘流场的大致情景；(3)求过（1，1）点及(2,2)点的两条流线间单位宽度的体积流量.
解 (1）
所以
由于积分常数C的大小并不影响流场中流体的流动图形,所以，令C＝0，得流函数为

(2） 流场的大致情景如图4－11所示.整个流场内的流体都在做圆周运动，运动的方向如图中的箭头所示。所有的流线组成同心圆周线族.O点是一个奇点.

 图4－11 流场流动情景
（3) 经过(1,1）点流线的流函数值为

经过(2，2)点流线的流函数值为

所以，经过（1，1）点和(2，2）点的两条流线间单位宽度的体积流量为

第四节 势流与速度势函数
前面已经讲到，在有旋流动的流场中，流体质点除具有一定的运动速度(线速度)外，还存在着一定的旋转速度(角速度），即在有旋流动的流场中，既有速度场（x，y,z)，又有涡量场(x，y,z）.一般来说,有旋流动要比无旋流动复杂得多。所以对于一些旋涡强度很弱的有旋流动，可以近似作为无旋流动来处理，这样将会给问题的解析和研究带来可能和方便。
流体的无旋流动，即角速度＝0的流动也称为有势流动，简称为势流。
在势流流场中，各流体质点仅具有速度向量，而没有角速度向量。一般情况下，在某一瞬时，流线上各流体质点的速度具有不同的大小和方向，它们相对于某一基准各自具有不同的速度位势。所谓速度位势就是速度向量在某一方向上的投影与该方向上一段距离的乘积(或者说是速度向量的大小与其方向上一段距离的乘积）.即。如果我们将流场中各流线上具有相同速度位势的点连接起来，所组成的线(或面)就称为等势线（或等势面)。可以证明,速度向量垂直于等势线（或等势面）.在同一条等势线上各流体质点具有相同的速度位势，而在不同的等势线上流体质点将具有不同的速度位势。因此，与流线一样，用等势线也可以描述流场的特征。对于不同的等势线（或等势面)也可以用一定的函数形式来表示,这种函数就称为速度势函数，或简称为速度势或势函数。
在势流流场中，其涡量(或旋转角速度）为零，即由式(4－4）有
(a）
由数学分析可知，上式(a）是表达式成为某一函数(x，y，z)的全微分的充分必要条件。因此，在无旋流动的条件下必然存在函数＝(x，y，z),它和速度分量ux、uy、uz的关系为
（4－25)
在给定瞬时，函数的全微分又可写成

比较以上两式，可以得出
(4－26)
函数就称为速度势函数。对于稳定流动＝（x,y，z）；对于非稳定流动＝(x,y，z，τ），但一般时间τ是作为参变量出现的。将式(4－26)代入式（a）,可以发现势函数的二阶偏导数与求导次序无关。
由以上讨论可知，只要流动是无旋的，就一定存在速度势函数。反之,只要流场中存在速度势函数，则流动就必定是无旋的。
速度势函数存在以下几个重要性质：
1、速度势函数（x，y）＝C的方程为等势线方程。而速度势函数（x，y,z）＝C的方程为等势面方程。
2、速度势函数的梯度就是流场中流体的速度。或者说，流体的速度即为速度势函数的梯度。按向量分析,
 (4－27）
另外，根据速度位势的定义可知，速度势函数在任意方向上的偏导数等于速度在该方向上的投影.根据方向导数的定义，函数在任一方向上的方向导数为

3、不可压缩流体的有势流动，其速度势函数满足拉普拉斯方程。
将式(4－26)代入不可压缩流体的连续性方程，可得
（4－28)
式(4－28)是拉普拉斯方程.速度势函数满足拉普拉斯方程，因而它也是一个调和函数。
对于不可压缩流体的平面无旋流动，其流函数和速度势函数同时存在。比较式（4－20）和式（4－26)可知，流函数ψ和速度势函数存在如下的关系
（4－29）
或写成 （4－29a)
满足上述关系的两个调和函数称为共轭调和函数。已知其中的一个函数就能够求出另一个函数。
4、在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线处处正交.这也是前述流函数的重要性质之一。
我们可以通过求流场中任一点上流线的斜率和等势线的斜率，来证明不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线处处正交。对流场中的任意一点,由流线微分方程可得流线在该点的斜率为
(b）
由等势线微分方程uxdx＋uydy＝0可得等势线在该点的斜率为
 （c)
由式（b）和(c）可知，流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数的关系，或者它们两者的乘积等于负一.这就说明，在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线是处处正交的。
此外,由数学分析可知，式(4－29)也是等势线族((x，y）＝C）和流线族（ψ（x，y）＝C）互相垂直的条件，即正交性条件。即由式（4－29）也可以证明速度势函数及流函数的上述性质。因此，在平面上可以将等势线族和流线族构成正交网络,称为流网，如图4－12所示。有了流网就可以近似地得出流场中各点的速度分布,从而也可以得出压力分布.即在流场中，流线愈密集的地方，其流速愈大，而压力愈小。它是求解稳定平面势流的近似图解法.

 图4－12 流网
5、在势流流动的流场中，沿任意曲线上的速度环量等于该曲线两端点上的速度势函数值之差,而与曲线的形状无关.
沿任意曲线ab的速度环量为
 (4－30)
式（4－30)说明，在势流流场中，沿任意曲线ab的速度环量只取决于起点a和终止b的位置，而与曲线ab的形状无关。如果a点和b点重合，则曲线ab为一条封闭曲线，因此Γab＝0。
在圆柱坐标系下,速度势函数与速度分量之间的关系为
（4－31)
(4－32）
此外,我们可以证明,对于稳定的有势流动来说，流场中所有流线的伯努利常数都相同。现简要证明如下：
因为是无旋流动，所以整个流场的涡量ξx＝ξy＝ξz＝0。又因为是稳定流动，所以。将式（a）代入稳定流动的欧拉运动微分方程式(3－25），并分别乘以dx，dy，dz，得

将以上三式相加,得

注意到压力p和各速度分量ux、uy、uz的全微分,并假定质量力只有重力，即fx＝fy＝0，fz＝－g，则得到

或
对上式积分得到
(4－33）
对于不可压缩流体，ρ＝常数，于是得到
(4－34）
或 （4－34a）
（4－34b）
式(4－33)和式(4－34)说明,在稳定的无旋流动的流场中，所有流线的伯努利常数都相同。换句话说，式(4－33)和式(4－34)可适用于整个无旋流动的流场。但对于有旋流场来说,每根流线的伯努利常数都有其特定的值，伯努利方程不能通用于整个流场,而只能用于某一根特定的流线,这一点要给予足够的注意。
例4－9 已知不可压缩流体平面势流的流函数ψ＝xy＋2x－3y＋10，求其流速分量和速度势函数。又知流场中（3，－2）点处流体的压力p0＝98100N/m2，流体的密度ρ＝1000kg/m3，求（6，2)点处流体的压力为多少.
解 （1）
(2） 

(3) 在（3，－2)点处ux0＝0,uy0＝0，则u0＝0；
在(6，2)点处ux＝6－3＝3m/s,uy＝－2－2＝－4m/s，所以
m/s
由伯努利方程式（4－34)得

则 N/m2
即流场中(6，2）点处流体的压力为85600 N/m2。
例4－10 求证用所表示的流场和用所表示的流场实际上是等同的.
证明 先求第一个流场的流函数ψ1

积分得
再求第二个流场的势函数2

积分得
由上可知，1＝2,ψ1＝ψ2，这就证明了这两个流动的流场实际上是完全相同的.
第五节 几种基本的平面有势流动
一、均匀直线流
当流体作匀速直线运动时,流场中各点的速度都是大小相等，方向相同的，这种流动就称为均匀直线流，又称为等速平行流。

 图4－13 均匀直线流动
如图4－13所示，流体的流动方向与x轴的夹角为θ，流场中各点的速度均为u0，而且u0为一定值.则x和y方向的分速度为
(4－35)
其流函数及速度势函数可由下式求出

积分上式可得流函数ψ及速度势函数

以上两式中的积分常数C1和C2可以任意选取，而不影响流体的流动图形。若令C1＝C2＝0，得
（4－36)
由式（4－36）可以看出，等势线族（＝常数)和流线族(ψ＝常数)在流场内处处正交，而且它们都为平行直线，如图4－13所示。各流线与x轴的夹角为。若流动平行于x轴,则函数ψ及成为
（4－36a)
当流动平行于y轴时，
(4－36b)
由于流场中各点的速度都相等，根据伯努利方程可以得到
（4－37)
如果均匀直线流动是在同一水平面内，或者重力的影响可以忽略不计时,则有
（4－37a)
即在水平均匀直线流动的流场中，压力是处处相等的。
二、源流和汇流
如图4－14a所示,设无限平面内有一点O,流体不断地从O点流出后，沿径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动，这种流动称为源流，或简称点源，O点称为源点。与此相反,若流体不断地沿径向均匀地从四周各个方向流入O点，则这种流动称为汇流,或简称点汇，O点称为汇点，如图4－14b所示。显然，这两种流动的流线都是从O点发出的射线，即流体从源点流出和向汇点流入都只有径向速度ur,而切向速度uθ为零.

图4－14 源流和汇流
现以O点为原点取柱坐标(如图4－14）.对于不可压缩流体的稳定流动来说，流体在单位时间内通过任一半径为r的单位长度圆柱面上的体积流量Q都应该相等，即Q＝2πrur＝常数。流量Q又称为源流强度(或汇流强度），单位是米3/（秒·米)。由此可得源流（或汇流)流场的速度分布为
（4－38)
对于源流，Q＞0，因而ur＞0，因此有

积分以上两式，并令积分常数C＝0，得
(4－39)
由式(4－39)可以看出，等流函数线族(流线族)