毕业论文--离散系统的额吸引域构造.docx

摘 要
基于近些年来对混沌动力学的深入认识和对混沌动力系统参数空间状态分布的初步探究，本论文对二维离散动力系统在参数空间意义下吸引域的构造进一步的探讨。分别对几种常见的一维映射和二维映射系统做了简单的分析介绍，即：标准映射、帐篷映射、逻辑斯谛映射、圆映射、Baker映射和Hénon映射，由浅入深，循序渐进。其中又着重对二维Hénon映射做了详细分析，先介绍Hénon映射的定义，再结合Hénon映射的定义和分岔图解对Hénon映射的倍周期分岔进行分析，最后重点介绍了Hénon映射的在参数空间意义下的奇怪吸引子的吸引域的构造。

关键词：混沌动力学；离散映射；分岔；吸引子；吸引域

Abstract
The thesis focus on the nonlinear dynamics of 2-D discrete systems based on the deep understandings of chaotic dynamics and the preliminary inquiries on the parameter space distributions of chaotic dynamical systems in recent years. And I present further discussions on the contractures of the basins of attraction, especially in the sense of the parameters space.
The paper to one-dimensional map and two-dimensional map of several common map system do some simple analysis is introduced, namely: standard map, tents map, logistic map, round map, noble Baker map and Hénon map, learn to walk before you run. It focuses on the detailed analysis Hénon map, first introduces the definition of Hénon map, combining Hénon map definitions and bifurcation diagram Hénon map of the period-doubling bifurcation analysis, at last, the paper introduces the map of the parameters of the space structure Hénon and the constructions of basins of strange attractor.

Key words：Chaotic dynamics; Map; Bifurcation; Attractor; Basins of attraction

目录
1 绪论 - 1 -
1.1 混沌的产生、发展与意义 - 1 -
1.1.1混沌的起源 - 1 -
1.1.2 混沌研究的意义 - 2 -
1.2 混沌研究的现状与展望 - 3 -
2 确定性混沌 - 4 -
2.1 在简单Map中的混沌(标准映射) - 4 -
2.1.1 标准映射的定义 - 4 -
2.1.2 物理模型 - 4 -
2.2 不稳定的轨道和确定性混沌 - 6 -
2.3 Smale马蹄映射和同宿结构 - 7 -
3 一维映射 - 9 -
3.1 帐篷映射的动力学 - 9 -
3.1.1 帐篷映射的定义 - 9 -
3.1.2 帐篷映射的范围 - 11 -
3.2 二次映射 - 13 -
3.2.1 迭代图 - 14 -
3.2.2 临界点 - 15 -
3.2.3 不动点 - 15 -
3.2.4 Lyapunov指数 - 16 -
3.3 逻辑斯谛映射 - 17 -
3.3.1 混沌和逻辑斯谛映射 - 18 -
3.4 燕尾和虾 - 20 -
3.4.1 四次方映射和Milnor燕尾 - 20 -
3.4.2 二维非线性映射的分岔图 - 22 -
3.5 圆映射 - 23 -
3.5.1 定义 - 23 -
3.5.2 阿诺德舌头 - 23 -
4 二维映射 - 25 -
4.1 Baker映射 - 25 -
4.1.1 不稳定周期轨道 - 26 -
4.1.2 混乱的混沌轨道 - 27 -
4.2 Hénon映射 - 27 -
4.2.1 Hénon映射的定义 - 27 -
4.3 Hénon映射的分岔 - 30 -
4.3.1 倍周期分岔 - 30 -
4.3.2 同宿结构 - 30 -
4.3.3 Hénon映射的分岔图解 - 31 -
4.4.4 Hénon映射的参数空间构造 - 32 -
4.3.5 Hénon奇怪的吸引子 - 34 -
致 谢 - 36 -
参 考 文 献 - 37 -
附 录 - 38 -

- 52 -

1 绪论
1.1 混沌的产生、发展与意义
混沌理论的基本思想起源于20世纪初，发生于60年代后期，发展壮大于80年代。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，并为人们正确理解宇宙观和自然哲学起到关键性作用。混沌与分形理论被认为是继相对论、量子力学之后，20世纪人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域的革命之一。
1.1.1混沌的起源
混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程，它来自非线性。混沌的理论基础可追溯到19世纪末创立的定性理论，但真正得到发展是在20世纪70年代，现在方兴未艾。
公认的混沌学鼻祖是伟大的法国数学家、物理学家Poincare，他在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现了混沌现象。他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂的动力学行为，确定性动力学方程的某些解具有不可预见性，这其实就是现在所说的混沌现象。
在Poincare之后，一大批数学家和物理学家在各自的研究领域所做的出色工作为混沌的建立提供了宝贵的知识积累。如Birkhoff在动力系统的研究中于1971~1932年发表了一系列论著，他在Hamilton微分方程的正则型求解、不变环面的残存和不可积系统的轨道特征和遍历理论等问题都有重要贡献。他在研究有耗散的平面环的扭曲映射时，发现了一种极其复杂的“奇异曲线”，这实际上就是混沌中的一种奇怪吸引子。
1964年，Hénon等以KAM理论为背景，发现了一个二维不可积哈密顿系统中的确定性随即行为，即Hénon吸引子。Ruelle和Takens提出“奇怪吸引子”的名词，同时将奇怪吸引子的概念引入耗散系统，并于1971年提出了一种新的湍流发生机制。这一工作由Gollub等实验结果所支持，并对后来关于Smale马蹄吸引子的研究起到一定的推动作用。Smale马蹄吸引子是指在Lorenz以后，美国数学家Smale发明了一种被称为“马蹄”的结构，在以后的岁月中，它成为混沌经久不衰的形象。Smsle的马蹄可比喻成在一团橡皮泥上任意取亮点，然后把橡皮泥拉长，再折叠回来，不断地拉长、折叠，使之错综复杂的自我嵌套起来。这样原来确定的两点到最终离得很近，但又是从距离任意远处开始运动的。接着，Smale又提出马蹄变换，为20世纪70年代混沌理论的研究作好了重要的数学理论准备。
1.1.2 混沌研究的意义
混沌学的创立将在确定论和概率论这两大学科体系之间架起桥梁，它将改变人们的自然观，揭示一个形态和结构崭新的物质运动世界。如何应用混沌理论的研究成果为人类服务已经成为21世纪非线性科学发展的新课题，也是目前数学家和工程技术人员面临的一个重要挑战。一方面，混沌的应用会直接促进人们对混沌本质的更深刻的认识；另一方面，混沌应用中提出的许多问题也将进一步促使混沌研究本身更深入的发展。这也为混沌理论及应用的研究提供了巨大的推动作用。
混沌研究还对传统方法的变革有着重大贡献，其中最为突出的是从还原论到系统论的转变。经典的还原论认为，整体的或高层次的性质还可以还原为部分的或低层次的性质。认识了部分或低层次，通过累加即可认识整体或高层次，此即为分析累加还原法。这是从Galileo、Newton以来300多年间学术界的主题方法。随着近代科学的发展，包括对混沌现象的探索，还原论到处碰壁。20世纪50年代，系统论思想开始形成，主张把研究的对象作为一个系统来处理。在此系统中，整体或高层次的性质不可能还原为部分或低层次性质，研究这些整体性质必须用系统论方法。混沌是系统的一种整体行为，混沌学研究的成果称为系统论的有理佐证，整体观和系统论正随着混沌学一起扩展到各个现代科学领域，为现代科学的革命变革作着方法论的准备。
混沌学研究从早期探索到重大突破，以致到20世纪70年代以后逐渐形成世界性的研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、化学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果不只是增添了一个新兴的学科分支，而是渗透到现代科学的几乎整个科学体系。
混沌学研究的重要特点就是跨越了学科界限。混沌学的普适性、标度律、自相似性、分形、奇怪的吸引子、重整化群等概念和方法，正超越原来数理学科的狭窄背景，走进化学、生物学、地学、医学乃至社会科学的广阔天地。混沌现象是丝毫不带随机因素的固定规则所产生的、研究动态系统的混沌机制，在今天有更多的现实意义：它说明精确的预测从原则上讲是能够实现的，加上计算机的快速跟踪，就能够深入探讨各种强非线性系统的特征，开创了模型化的新途径。
如今，混沌已成为各学科竞相注意的一个学术热点。确定性系统的混沌使人们看到了普遍存在于自然界，而人们多年来视而不见的一种运动形式。混沌无所不在，它存在于大气、海洋湍流、野生动植物种群数的涨落、风中飘扬的旗帜、水流缭乱的旋窝、心脏和大脑的振动中，还有秋千、钟摆。血管、嫩芽、卷须、雪花……世界是混沌的，混沌遍世界！目前，许多科学家都在利用非线性动力学的方法来研究混沌运动，探索复杂现象的无序中的有序和有序中的无序，就是新兴混沌学的任务。
1.2 混沌研究的现状与展望
混沌科学的研究揭开了现代科学发展的新篇章，混沌理论主要属于物理学；知识和分析工具积累主要考数学。现代数学使混沌理论成为严格的学科，同时混沌的研究也成了现代科学发展的动力。混沌对数学的影响是多方面的，在分析数学方面最突出的微分动力系统理论是混沌研究的基本工具，而混沌是微分动力系统理论的重要内容，两者相辅相成。混沌研究对几何学的影响，突出表现在分形几何学的发展，混沌学研究中刻画奇怪吸引子、确定不同吸引域的分界线、描述KAM环面破裂过程等都推动了分形几何学的大力发展。混沌研究也使古老的数论焕发青春，数论中代数学、范数、基数、素数等抽象深奥的概念在混沌学的研究中均可以找到直接的运用。混沌学还推进了统计数学的发展。
混沌研究影响最深的领域应该是物理学。混沌现象首先是在天体力学中发现的，一旦发现就对经典力学的基本假设提出挑战。自从近代科学诞生以来，天体运动一直被看成是确定性系统的典型。天体力学被认为是决定论科学的典范。但是，在天体力学和文学中，几个世纪以来，人们一直在探究天体。混沌学研究极大的促进了天体力学的发展，尤其是KAM理论的建立，解决了长期困扰学术界的多体问题，突破牛顿力学的理论框架，为科学地处理天体运动的稳定性问题打下了坚实的基础。
今天，混沌分形理论已经与计算机科学理论等领域相结合，这种结合使人们对一些久悬未解难题的研究取得新进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了重要作用，其作用涉及几乎整个自然科学的社会科学。混沌分形已被认为是研究非线性复杂问题最好的一种语言和工具，并受到各国政府及学者的重视和公认，混沌分形已经称为各学科竞相注意的一个学术热点。
混沌分形理论进一步丰富和深化了唯物辩证法关于普遍联系和世界统一性原理。分形论从一个特定的层面直接揭示了宇宙的统一图景，而分形与动力系统可以共同对世界物质统一性从时态与历时性两个维度上展开说明：动力系统理论说明自然界中蕴含着历史的演化与嬗变的信息；另一方面，分形元与分形系统之间普遍的信息同构关系编织了一张世界统一的网络。
总之，过去20多年来，人们对混沌理论的研究不仅对整个自然科学，而且对哲学体系也带来了巨大的冲击，可能称成为产生变革的持久动力，无疑将在人类探索自然的实践中起着开阔眼界、解放思想的作用。
2 确定性混沌
2.1 在简单Map中的混沌(标准映射)
2.1.1 标准映射的定义
标准映射是研究保守系统的一个最简单的动力学模型，它包含了不可积保守系统的许多典型和复杂的特征。标准映射可以作为一种原型来研究保守系统中从规则运动到混沌系统的过渡，映射方程：
Jn+1=Jn+Ksinθn
θn+1=θn+Jn+1
式中K>0，J和θ称为作用和角度变量。不动点是J=2mπ和θ=0，(m=0，±1，…)，对每个m，都有两个不动点：θ+和θ-。
2.1.2 物理模型
上图描述了一个简单的机械系统，称作运动踢肩。假设一根重力可以忽略不计的棒子固定在无摩擦的轴上，转动的惯量为I，长度为l。棒子的另一端受到垂直的周期脉冲状的踢力，起强度为kl，作用瞬间为t=0，τ，2τ，…。用θ表示棒与垂直位置间的夹角，pθ表示角动量，则其哈密顿量为：
Hpθ，θ，t=pθ22I+kcosθnδ(t-nτ)…(1.1.0)
对应的运动方程为
pθ=-ǝHǝθ=ksinθnδt-nτ，
θ=ǝHǝθ=pθI…(1.1.1)
可见pθ在连续两次被踢之间为常数，而在每次被踢时有不连续的变化。角度θ则在两次被踢之间线性变化，并在每次被踢时保持连续。现考虑每次被踢前的pθ与θ。令pn与θn代表 t=nτ-0+时pθ和θ的值，积分(1.1.1)式可得
pn+1-pn=(nτ)-n+1τ-pθdt =(nτ)-n+1τ-ksinθδt-nτdt=ksinθnθn+1-θn=(nτ)-n+1τ-θdt=(nτ)-n+1τ-pn+1Idt=pn+1τI
令I=1，τ=1，可得
pn+1=pn+ksinθnθn+1=θn+pn+1
做变换pn→2πpn，θn→2πxn，可得标准映射的一般形式：
pn+1xn+1=Tkpnxn=pn+k2πsin(2πxn)xn+pn+1
其雅可比行列式的值为
detǝpn+1ǝpnǝpn+1ǝθnθn+1pnǝθn+1ǝθn=det1 kcos(2πxn)1 1+kcos(2πxn)=1
故此映射在(p，θ)相平面上宝面积。
当k=0时，
pn+1xn+1=T0pnxn=pnxn+pn+1
我们有pn=p0为常数。如果p0=N/M, 则轨道为周期M的周期轨道，即xM=x0+N=x0。如果p0为无理数，x0就永不重复，其旋转数为ω(p0)=p0。当k≠0时，旋转数可定义为
ω(p0)=limn→∞xn-x0n
并可用来刻画周期及KAM轨道。周期轨道具有有理的旋转数，而KAM轨道则具有无理的旋转数。最无理的称为黄金数，其值为ω(p0)=(1+5)2，其倒数为ωIG=(1+5)2≈0.618034为通常所说的黄金分割数。
2.2 不稳定的轨道和确定性混沌
任何轨道动力系统微分方程定义dxdt=F(x)，或者说离散映射xn+1=F(x)由初始坐标x0唯一决定。混沌是不可预知的随机运动联系在一起的，因此确定的动力系统的轨道不能乱。但往往非线性系统有不稳定的轨道。在这种情况下，δxk近似的呈指数级分布增加。这种不稳定可能会检测到正 Lyapunov指数。
Λ=limn→∞Ln，Ln=1nlogδxnδx0。
看图1这个混沌轨道的二次地图

图1
对于真实的物理系统，它是不可能的绝对精度来确定的初始坐标。这可能是概率分布函数设置的只能找到系统在一个小的(但有限的)区域的相位空间。在很短的时间里所有轨道一起移动，这种“包”是类似粒子。但由于不稳定的小初始区域被拉伸和混合在相空间（见图2）。这是类似的墨水滴在水中的传播，过了一段时间后有界运动接近轨道散杂居在相空间。因此我们不能确定这张图片上的一个小规模的绝对精度。之后，可以预测只在一个点找到系统的概率（精确在一个小地区）的相空间。

图2
2.3 Smale马蹄映射和同宿结构
马蹄映射是具有无穷多个周期点的结构稳定的混沌动力学研究中第一个经典型例子。计算机构造出自相似马蹄映射，并实现了升腾变换，提供了马蹄映射的高维动力性态，并据此计算出马蹄映射Cantor分形图的混沌分维.本算法理论上适用于n次迭代.同时，马蹄映射产生的Cantor分形图与Mandelbrot集和Julia集以及其它一些分形图，虽然正式地看来是决定论的后果，实质上可看作一个随机过程的极限。
1960年历史上首次发现马蹄映射现象，在1998年Smale详细阐述了马蹄映射现象。马蹄映射是Cartwright-Littlewood 和 Levinson几何学方法的重要结论，它有助于人们了解混沌的原理，并且诠释了广泛的动力学。它在巴西的里约热内卢首次被人们发现，而Smale博士作为一个博士后研究院得到了美国国家科学基金会(NSF)的支持。Smale博士所主持的Matematica研究所，由巴西政府资助，给他提供了一间舒适的办公室和良好的工作环境。
在里约热内卢，Smale博士做的关于数学方面的研究最后称为了混沌理论，在当时，作为一个拓扑学家，他为自己的刚发表的一篇关于动力学系统方面的论文而敢到骄傲，他对发表在自己论文上的“混沌不存在”的这个猜想感到非常的高兴，但是这种兴奋很快就被一位来自麻省理工大学的名叫Norman Levinson的数学家的一封信粉碎了，他是研究常微分方程的科学家，所以对于这封信必须很认真的对待，Norman Levinson提出了与 Smale博士的猜想相反的假设。Norman Levinson的假设在第二次世界大战时期被Mary Cartwright and J. L. Littlewood这两位英国的数学家证实了。Mary Cartwright and J. L. Littlewood是做战争方面的研究的，分析涉及到无线电波产生的一些方程。他们分析这些方程时发现了一些意外的事情，事实上Mary Cartwright and J. L. Littlewood已经证明，数学方面的混沌现象可能存在，甚至是存在方程式的。但是世人根本不相信这一点，即使在今天，他们对于混沌方面的贡献也是不为人知的。人们非常有必要去了解Norman Levinson的假设，了解他的观点和思维方式，从而引导人们去发现马蹄映射。
Smale马蹄映射是一种二维迭代映射，它不产生混沌，而是一种混沌前的过渡。映射方法如下：作一正方形S将其纵向伸展μ(>2)倍，横向伸展η(<2)，然后弯成竖向马蹄状，再与原正方形叠合，该叠合部分有两条纵向的阴影，这是一次正映射。按此做法，可得2n条纵向的阴影，这是n次正映射。若将原正方形纵向压缩μ(>2)，横向压缩η(<1/2)，然后弯成横向马蹄状，再与原正方形叠合，该叠合部分有两条横向的阴影，这是一次逆映射。同理可得n次逆映射。把上述两种结构叠合起来，就得到正方形S内的不变集：
I=I+I-=i=-∞∞fi(S)
3 一维映射
3.1 帐篷映射的动力学
3.1.1 帐篷映射的定义
帐篷映射是一个分段性的一维映射，是最简单的出混沌的分段线性映射。其形式为xn+1=Txn，其中Txn为
Txn=2xn 0≤xn≤1221-xn 12<xn≤1 …… (2.1.1)
这个映射也可以写为xn+1=1-2xn-12。当xn<12时，简化为xn+1=2xn，因此负的初值条件就会保持为负，且最终跑到-∞。当xn>12时，其简化为xn+1=2(1-xn)。因此如果x0>1，则x1<0，然后xn逐步跑到-∞。当初值条件取在[0，1]间隔，随后的xn就将被限制在[0，1]。因此有趣的动力学处在[0，1]，见图3(a)

图3 帐篷映射的拉伸与折叠过程
这个映射有两个不动点：0和23。由于每一点的斜率f'x=2>1，故这两个不动点均为不稳定的。当在2.1.1式中取xn=0，12和1时，xn+1分别为0，1和0。这表明原来xn的取值是从0到12和从12到1的两个区间，通过一次迭代后就相当于拉长了映射，使得xn+1取值变为从0到1的同一区间。用图3(b)来说明，可以将映射看成由两步完成：第一步将间隔0，1均匀伸长两倍，第二步将伸长的间隔再折叠起来成原间隔0，1。这种迭代过程不断的进行下去，即对初值的敏感依赖性；其折叠过程保持轨道有界。由于折叠让两个xn对应相同的xn+1，故折叠使得映射不可逆转。这个现象说明，为了出混沌，映射必须被拉伸；同时为了保持有界，映射又必须被折叠。因此一维映射出混沌的条件是其必须为不可逆的。
帐篷映射的周期2轨道可通过计算T2xn=xn而得。先考虑区域0≤xn<14。此区域中的点一次迭代后落在(0，12)区间内，即仍然服从Tx=2x。因而两次迭代均服从相同的形式，故有T2x=4x。对14<xn<12，一次迭代后变为(0，12)，故二次迭代时取2(1-xn')的形式。将xn'用前一步的2xn取代，可得其表达式为2(1-2xn)。对12<xn<34，第一次迭代的形式为2(1-xn)。一次迭代后落在(12，1)的区间内，故第二次迭代仍有相同的形式2(1-2xn')，将xn'用前一步的2(1-2xn)取代后可得4xn(1-12)。最后对34≤xn<1，第一次迭代的形式为2(1-xn)。一次迭代后落在(0，12)区域内，故第二次迭代取形式2xn'。将xn'用前一步的2(1-xn)取代后有4(1-xn)。因此有
T2xn=4xn， 0≤xn<1421-2xn，14≤xn<124xn-12， 12≤xn<3441-xn， 34≤xn<1
T2有四个不动点：0，25，23，45，其中的两个(0，23)为T的不动点。因此只有(25，45)是周期2，见图4(a)

图4 帐篷映射的周期2和周期3轨道
由于T'(25)T'(45)=16>1，此周期2为不稳定的。同理，通过T3xn=xn可找到T的周期3轨道，见图4(b)。很容易发现有两个周期3轨道：C1={27，47，67}与C2={29，49，89}。这两者都是不稳定的。
3.1.2 帐篷映射的范围
如图5所示，横坐标为l，纵坐标为迭代值。经过适当迭代，当l变动时，帐篷映射的迭代值有最大的上下界范围，可可以从图中发现当1<l≤2,在0.5附近有一块空白区间，经过仔细探讨后可以得到以下的结论：
当1<l≤2x的最大的上下界分别为-12l2+l，l2
1<l≤2x∈[-12l2+l，12l4-l3+l][-12l3+l2，l2]

图5
为了以下说明方便
令x1=12l
x2=fx1=-12l2+l
x3=fx2=-12l3+l2
x4=fx3=12l4-l3+l
x*为固定点，满足fx*=x*x*=ll+1
可以知道x1、x2、x3、x4、x*的大小关系为
x2≤12≤x4≤x*≤x3≤x1
利用帐篷映射的图形来帮助分析

图6
① 1<l≤2x的最大上下界分别为x1，x2
证明：对于任何的初始值x(0)，必定存在k，使得xk∈[x2，x1]
因为12∈[x2，x1]，xk+1的上界仍是x1
而xk+1的下界只可能发生在端点x1或x2
比较x2与x3的大小x2<x3
得到下界为x2，所以xk+1∈[x2，x1]
所以一旦xk映至[x2，x1]，xk的上下界就不会改变
②x∈[-12l2+l，12l4-l3+l][-12l3+l2，l2]
证明：因为x*为一排斥点，对于x∈[x2，x1]，必定存在k
使得xk∈[x2，x4][x3，x1]
a当xk∈[x3，x1]
xk经过 f的迭代后映至[x2，x4]
b当xk∈[x2，x4]
xk经过 f的迭代后映至[x3，x1]
由a、b得一旦xk∈[x2，x4][x3，x1]
xk存在的区间为x3，x1→x2，x4→x3，x1→…如此循环不已
3.2 二次映射
分析更加复杂的二次映射：
xn+1=fcxn=xn2+c
看起来如生物种群动力学①，在复平面上，它产生了著名的Mandelbrot和Julia分形集。尽管看上去非常简单，却具有非常好的动力学价值。
①生物种群动力学：建立并讨论种群生态学中的虫口模型，在种群生态学中考虑像蚕、蝉这类型的昆虫数目(即“虫口”)的变化，注意这种虫口一代一代之间是不交叠的，每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子，显然牛、马、羊、人均不属于此列。
解：首先，设未知函数是在第n年这种虫口的数目，要建立的差分方程数学模型就是相邻两代(或者说相邻两年，今年与明年，n年与n+1年)的虫子数之间的相依关系，最简单的，设第n年的虫口数为Pn，每年成虫平均产卵c个，第n+1年的虫口数为Pn+1，显见相邻两年虫口之间的依赖关系是
Pn+1=cPn，n=0，1，2 ， … (1)
如果考虑到周围的环境能提供的空间与食物是有限的，虫子间为了生存将互相竞争而咬斗，此外传染病及天敌又对虫子的生存存在威胁，可按这些因素的分析定量地修改差分方程模型(1)。由于咬斗和接触都是发生在两只虫子之间的事件，而Pn只虫子配对的时间总数是12Pn()，当Pn相当大时，此事件总数接近与12Pn2，所以模型(1)将被修改成如下虫口方程：
Pn+1=cPn-bPn2 … (2)
这里b是阻滞系数，在进行一些变量与参数代换后，可以将其写成标准形式：
xn+1=λxn1-xn， λ>0， n=0，1，2，… (3)
3.2.1 迭代图
真正的一维动力学映射是非常有用的，迭代图如图7所示。蓝色曲线是N-th迭代foNx=f(f(…fx))。对角的绿线是y=x。-2≤x，y≤2，因为f0=C,当N=1时，C的值与y(0)相同。xn与n的函数关系如图9所示：

图7
第一次迭代绘制出垂直线从起始点x0=0到曲线y=fx=x2+c，其中y0=f(x0)。获得第二次迭代，我们绘制水平线到对角线y=x，其中x1=y0=f(x0)。然后绘制垂直方向的曲线y1=f(x1)等。
点fc：x0→x1→x2→…对于一些c和x0的值得到轨道上的点x0。

图8
3.2.2 临界点
对于分析地图上的点f'xc=0称作关键点。每一个稳定的周期轨道至少有一个临界点，二次映射仅仅只有一个临界点xc=0。因此，它只有一个吸引周期，xc通常被当作初始点来寻找这个吸引周期。
3.2.3 不动点
对于C=-12，迭代可以很快找到映射的一个定点x。=f(x。)，定点即为直线y=x和曲线y=f(x)，二次映射总会有两个定点，即为两个二次方程的根
fx。-x。=x。2+c-x。=0
x1,2=12±(14-c)12
映射在定点的一阶导数
m=f'(x。)=2x。
称为点的特征值，对于足够小的δx
fx。+δx=fx。+mδx+Oδx2≈x。+mδx
所以一个定点有稳定的吸引周期，作为其乘数满足：
m<1，m=0，m≥1

图9
3.2.4 Lyapunov指数
Lyapunov指数在保守及耗散系统的动力学理论中起着十分重要的作用。粗略的讲，一条给定轨道的Lyapunov指数刻画包围它的轨道的平均指数发散率。Lyapunov指数理论是由Lyapunov于1907年提出的，其与指数发散性的联系则是在20世纪70年代由Benettin和Pesin建立的。在混沌学中，对于一维映射xn+1=f(xn)，由于只有一个拉伸或折叠方向，因此可用初值x0及其邻近值x0+δx0来估算其指数分离。作一次迭代后，他们之间的距离为：
δx1=fx0+δx0-f(x0)≈f'(x0)δx0
其中f'(x0)在相空间中各点不同。只有对运动轨道各点的拉伸或压缩速率进行长时间平均，才能刻画动力学的整体效果。
进行n次迭代后有：
δxn=δx0i=0n-1f'(xi)
因此Lyapunov指数λ为：
λ=limn→∞Ln
Ln=1nlogδxnδx0=1ni=0n-1lnf'xi …(2.3.1)
自然测度的存在告诉我们(2.3.1) 式中对时间的平均对于除了那些勒贝格测度为零的点集外的所有吸引域中的轨道xn都是相同的。一个正的Lyapunov指数λ >0就表示附近轨道的指数分离，即对初值的敏感性，从而代表混沌。因此λ >0可以作为混沌行为的判据。负的λ 表明轨道在局部是稳定的，对应周期运动。λ 由负变正，表明运动向混沌的转变。将求和改为积分有：
λ =logf'xdu(x)
混沌轨道δxn随着 n的增大而增大，所以λ >0时。看图10的混沌二次映射，c=-2时Lyapunov指数显示出限定的混沌轨道。

图10
3.3 逻辑斯谛映射
仍然考虑生物种群动力学中的虫口问题。假定有一种昆虫，每年孵化出来，然后成长，繁殖并死去。如果每年的气候条件是一样的，则第n年的虫口数就唯一确定了第n+1年的数目。因此可以用一维映射来描述。比如第n年孵化出的昆虫数目为zn，每个昆虫平均产r卵，这些卵在来年孵化成昆虫，则第n+1的虫口数为zn+1=rzn。如果初值为z0，则其解为zn=rnz0。若r>1，则冲口数目成指数增长；r=1，则虫口数目保持不变；r<1，则虫口数目最终变为0，及灭绝。我们观察到实际存在的大多数种类都不属于上述情形。虫口数会增加，然后维持在特定的数目。当虫口数目太大时，食物及疾病都会称为问题，导致世纪的增长率r变为r[1-zn/z]，其中z为最大值，于是给出一维映射zn+1=rzn[1-zn/z]。两边除以z并令x=z/z，便得逻辑斯谛映射
xn+1=rxn1-xn，r∈0，4，xn∈[0，1] … (2.4.1)
这个映射也可以写成形式
xn+1=1-μxn2，μ∈0，2，xn∈-1，1
或xn+1=μ-xn2，μ∈0，2，xn∈[-μ，μ]
3.3.1 混沌和逻辑斯谛映射
与线性方程的解可以被明显表达出来不同，非线性方程的解非常复杂，很难找到一个一般的解的解析形式。其解的具体形式强烈的依赖于可调参数r的取值，其中特别重要的是不动点，即那些重复自身轨道的点。
由(2.4.1)式的不动点方程y=fx=rx1-x=x可得：
x1*=0x2*=r-1r
可见不动点x1*与r无关，称为平庸不动点。不动点x2*与r有关，称为特征不动点。因为x∈[0，1]，故当r<1时x2*不存在。
不动点的稳定性：对于平庸不动点
fx|x=0=r-2rx|x=0=r
当r<1时，x1*=0为稳定不动点；当r>1时，x1*=0为不稳定不动点。对于特征不动点
fx|x=r-1r=r-2rx|x=r-1r=2-r
当r<1时，x2*不存在；当1<r<3时，-1<fx|x2*<1，x2*是稳定的。当r>3后fx|x2*<-1，x2*失稳，系统进入周期2区域。周期性是动力系统中的第二重要量。其重要性来自如下事实：许多物理现象具有特定重复自身的形式。这些形式产生一些周期性的圈，每个圈称为周期点的轨道。如果存在一些特定的正数k，使得fkx=x，则x叫做周期k。随着参数r的变化，解可从周期k变为周期k'。使解发生突变的参数值称为分岔点。在周期2我们有x2=rx1(1-x1)，x1=rx2(1-x2)或r2x2-rr+1x+r+1=0求解可得：
x1,2*=1+r±(r+1)(r-3)2r
显然只有r>3才有实数解，即这个周期2轨道在r>3时存在。
周期2的稳定性条件：由f'(x1)f'(x2)<1可得-1<r21-2x11-2x2<1。由此式可解得3<r<1+6≈3.44941。在r=1+6处，f'x1f'x2=-1，周期2失稳然后进入周期8区域。依次进行下去可得分岔图。当r=3.5699时出现混沌，见图11。由于各分岔点的参数值可验证费根鲍姆常数δ，下表给出了各分岔点处的参数值rn及间距比δn：

图11
表1
n
分岔
分岔值rn
rn-rn-1
间距比值δn
1
1分为2
3

2
2分为4
3.449489743
0.449489
4.751466
3
4分为8
3.544090359
0.094601
4.656251
4
8分为16
3.564407266
0.020317
4.668242
5
16分为32
3.568759420
0.0043521
4.66874
6
32分为64
3.56961610
0.00093219
4.6691
…
…
…
…
…
∞
周期→混沌
3.569945972
0
4.669201690
其中间距比值δn=(rn-rn-1)/(rn+1-rn)。仔细观察此序列可发现：①序列{rn}似乎趋向于一个特殊的数r∞≈3.570；②在两个连续ri间的窗口大小rn-rn-1变得越来越窄，最终趋向于零；③当n→∞时，间距比值δn趋于一个固定的常数4.669201690——费根鲍姆常数。费根鲍姆发现此常数后，继续考察三角函数xn+1=rsinπxn的倍周期分岔过程，发现其收敛速率也为4.6692…然后做超越函数xn+1=xnexp⁡[μ(1-xn)]也得到同一数值，即δ并不依赖于映射的具体形式，对一大类单峰映射是同一值，是普遍的。此普适常数可用来估算分岔值rn。由δ的表达式可得rn+1=rn+(rn-rn-1)/δ。例如，给定r1=3，r2=1+6，则 r3=1+6+(1+6-3)/4.6692≈3.54575671是真实r2的近似值。然而应该指出，费根鲍姆常数的普适性是相对的，而不是绝对的。对于一维单峰映射，δ≈4.669，α≈2.502。对于显著不同的峰形（如扁平峰和尖峰）和多峰映射里说，δ和α就不是这两个数值了。对于保守系统，与一维单峰映射对应的普适常数δ=8.721097，α=4.018076。不过，多种多样的映射可以归于各个普适类，每一类内的普适常数值总是相同的。
3.4 燕尾和虾
3.4.1 四次方映射和Milnor燕尾
考虑混沌动力学区域上的二维平面。真正的四次方映射取决于参数A 和B
xn+1=xn2+A2+B
看图12，它吸引一两个不动点，每个不动点吸引最近的一个临界点x1=0或x2,3=±(-A)1/2，A<0（　显然初始轨道在±(-A)1/2是相同的）。令A=-1，当B~1时，我们可以看到第一条切线分岔出现稳定和不稳定两个不动点（最上面的曲线a），随着B的减小出现第二条切线（曲线b），最后，在反方向的切线稳定和不稳定的不动点都消失了（最低的曲线c）。

图12
在图13中，参数A 和B这个三分岔平面用红色曲线标出。注意，由临界点x1=0可得B=-A2，由x2可得A=-B2。所有的这些曲线形成了Milnor燕尾的形状。在右边区域的支程序中，有界的临界轨道开始于x1=0和x2=(-A)1/2并且被标记为不同的颜色对应数字"1"和