半导体物理与器件-微电子物理基础-半导体物理学-电子器件.doc

半导体物理与器件
习题集

　《微电子物理基础》
　《半导体物理学》
　《电子器件》

北方工业大学
微电子系

130

目录
《微电子物理基础》 1
第1章　经典物理的困难 1
第2章 定态薛定谔方程 4
第3章 量子力学中的力学量 10
第4章　微扰理论 14
第5章 晶体结构 16
第6章 晶体的结合 22
第7章 晶格振动与晶体热学性质 27
第8章 晶体中的电子能带理论 31
《半导体物理学》 35
绪论 35
第1章 半导体中的电子状态 36
第2章 半导体中杂质和缺陷能级 45
第3章 半导体中载流子的统计分布 51
第4章 半导体的导电性 61
第5章 非平衡载流子 70
第6章　 pn结 76
第7章 金属和半导体的接触 81
第8章 半导体表面与MIS结构 87
《微纳电子器件》 92
第1章　pn结二极管 92
第2章　双极型晶体管（BJT） 103
第3章 结型场效应晶体管（JFET） 117
第4章 MOS型场效应晶体管（MOSFET） 121

《微电子物理基础》
第1章　经典物理的困难
（一）主要知识
1 普朗克的能量量子假设：
光波在发射过程中，物体的能量变化是不连续的，并且能量值只能取某个最小单元的整数倍。
2 爱因斯坦试探性的答案：
因为光波本身就是由一个个的能量子组成的(光量子)
3 玻尔原子理论：
由于物体中束缚在原子周围的电子只能处于分立的能量态，而当电子在这些能量态之间跃迁时，它所发出的光也就自然具有分立的能量
4 Compton 效应证实了光的粒子性
5、主要公式
p Planck假设
p Einstein的光量子假说
p 波粒二象性
6、 光电效应:
光照射某些金属时能从表面释放出电子的效应。这时产生的电子称为光电子(photoelectron)。
7、爱因斯坦光量子假设
光束和物质相互作用时，其能量并不象波动理论所想象的那样连续分布，而是集中在一些叫光子（photon）的粒子上。这种粒子保持着频率或波长的概念，光子的能量正比于其频率，即
根据光的动量和能量关系：p=E/c，得到：p=h/λ
光量子具有“整体性”，光的发射、传播、吸收都是量子化的
8、原子结构的玻尔量子论 Bohr
1.按照经典理论，带电粒子作这种轨道应该不断地释放电磁能，从而电子的能量越来越小，轨道半径也越来越小，
最后要落到原子核中去。
2， 原子中电子在圆周运动中，由于能量的连续变化，发射谱线应该是是连续谱，结果是线光谱。谱线中亮线对应
着原子辐射能量，暗线对应原子的吸收能量。
9、经典物理学中波动的概念
① 经典波动是可以在整个空间中传播的周期性扰动。
② 表征经典波动的物理量是频率和波矢，运动服从相应的波动方程。
③ 经典粒子满足叠加原理，可以得到干涉和衍射花样。
光的波动性用波长和频率来描述
光的粒子性用质量和动量来描述
10、爱因斯坦的光
u 1909年，爱因斯坦首次提出光的波粒二象性p=h/λ
u 对于统计平均现象光表现为波动，而对于能量涨落现象光却表现为粒子。
（二）例题
1 由普朗克黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即

并近似计算b的数值，准确到两位有效数字。
（提示：的解为）
解：根据将普朗克公式变为

令，则普朗克公式变为

为求极大值，需求并令其为零

于是
即
其近似解为5，将代入等式右侧可得

再把代入等式右侧经两三次迭代，得到
所以

得到
令
证毕。
2 在0K附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。
解：根据
得
电子质量，

3 氦原子的动能是，求T＝1K时，氦原子的德布罗意波长。
解：根据
得

4 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子。如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
解：根据能量守恒，
得到

第2章 定态薛定谔方程
（一）主要知识
1 微观粒子的波粒二象性
• 　在光的波粒二象性的启发下，为了克服玻尔理论的局限性德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，将粒子的波动性(n,l)或(w,k)和粒子性(E,P)通过德布罗意关系联系起来

h = h/2p，w = 2np

微观粒子的波动性被电子衍射实验、干涉实验所证实
2 Schrödinger 方程
状态随时间的变化所遵循的方程

3 算符化规则
动量算符
能量算符
哈密顿算符
4 波函数及波函数的统计解释
玻恩的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）与该点找到粒子的几率成正比。也就意谓着描写微观粒子的波乃是几率波。
• 在t时刻，在r点附近的体积元dt中找到粒子的几率为

5 波函数满足的条件
1. 平方可积条件
2.一般说来，波函数
3.要求是单值函数
4.波函数及其各级微商要具有连续性
6 态叠加原理
若体系具有一系列不同的可能状态{ Y1 , Y2 ···}，则它们的线性组合 Y= C1Y1+C2Y2+ ··· 也是该体系的一个可能的状态，各态出现的几率为

其中C1 , C2 ···为复常数。
7 不确定关系
是力学量的不确定度之间的关系

8 定态薛定谔方程
（1）前提：微观粒子的势能函数 U 与时间 t 无关
定态薛定谔方程
定态波函数
（2）处于定态的粒子其在空间某处出现的几率不随时间变化，即几率密度不是时间的函数
一维无限势阱模型
（3）
粒子的势能具有如下形式

能量本征值：

本征函数：

（4） 隧道效应
• 在E>U0的情况下，入射粒子的一部分透过势垒进入x > a 的区域
• 在粒子能量E<U0时的情况下，透射系数不为零经典理论无法解释
• 隧道效应的本质是粒子具有波动和粒子的二象性，是经典力学无法解释的
（二）例题
例1　证明在定态中，几率密度与时间无关。
证明：设定态波函数为

其复共轭为

根据几率密度定义
所以
例2　 一粒子在一维势场

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：分别写出三个区的薛定谔方程
在阱外（
(1)
在阱内（
(2)
设薛定谔方程在阱内和阱外的解分别为，根据关于薛定谔方程的边界条件的讨论，有
(3)
(4)
引入符号
(5)
则(2)式化为
(6)
其解为
根据波函数的连续条件
(7)
(8)
得到
A不能为零，所以有
，，
所以
根据波函数的归一化条件

例3　 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
解：第一激发态就是n=1的态，其波函数为

其几率密度

令，得到
x＝0不符合要求所以第一激发态几率最大的位置为

（三）练习题　
1、 一维谐振子处在基态，求
（1）势能的平均值
（2）动能的平均值
提示：

2、设时；粒子的状态为

求此粒子的平均动量。
3、在一维无限势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数

描写，A为归一化常数。求粒子动量的平均值。
4、 设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
5、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为都是实数。用微扰公式计算能量二级修正值。
6、基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

求经过多长时间后氢原子处在2p态的几率。
（提示：根据跃迁选择定则只考虑从基态到的跃迁）
7、一维运动的粒子处在下面状态。

（1） 此波函数归一化；（2）求坐标的概率分布函数；（3）在何处找到粒子的几率最大。
（提示：）
8、若在一维无限势阱中运动的粒子的量子数为n。求
（1）距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子的几率是多大
（2）n取何值时，在此范围内找到粒子的几率最大
9、 考虑一个粒子受不含时势的束缚。
（a）设粒子的态用形式为的波函数描述。证明（A是常数），而必须满足方程
(b)证明（a）中薛定谔方程的解导致时间无关的概率密度。
10、 考虑波函数

求出该波函数相应的概率流。

11、考虑质量为m的粒子束缚在形为

的三维势阱中，推导该情况的定态薛定谔方程，分量变量以得到三个独立的一维问题。建立三维态能量和一维问题有效能量的关系。

第3章 量子力学中的力学量
（一）基础知识
1、算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号
2、算符的引入规则
3、算符的本征值和本征函数
4、简并　degeneration
5、厄米算符本征函数的正交归一性

6、完备性(Completeness)
7、力学量的平均值(Average Values)

8、 轨道角动量算符定义

A　　　的本征方程：

l=0,1,2,3….n-1 称为角量子数，表征角动量的大小
B Lz的本征值和本征函数

9、类氢原子的波函数
（1) 分离变量法求解定态方程，可以得到满足波函数条件的解

在球坐标下，薛定谔方程变为

（2） 波函数正交归一性
10、 本征能量
（1）能量取下列离散值时，才有满足波函数有限性条件的解
能量本征值

（2）对氢光谱的解释
（3）能级简并度：　电子的能级是n2度简并的
11、基本的对易关系：动量分量算符和与之对应的坐标分量是不对易的.

（二）例题
1、证明对于算符，证明下述恒等式成立
（1）
（2）
（3）
证明：

2、考虑如下算符

求对易关系
解：由等式可以看出

3、求出二维各向同性谐振子的本征函数和本征值；求能级的简并度，该系的哈密顿量是

解：体系所满足的薛定谔方程为，

采用分量变量法
则薛定谔方程变为

两边同除，得到

方程左边只是x的函数右边仅是y的函数，欲使两边相等，只有两边均等于一常数时才能成立，令此常数为，于是有
（1）
（2）
式中
方程（1）、（2）的分别是一维线性谐振子的所满足的定态薛定谔方程，它们相应的本征值分别为
，
所以有

在空间，有，所以体系是度简并的。

4、考虑具有哈密顿量

的一维谐振子，我们定义新的算符

于是。
（1）计算对易关系
（2）定义算符

计算与的对易关系。
解：（1）根据与的对易关系；有

（2） 利用上边的结果，可以写出

于是我们有

现在我们开始计算与的对易关系

（三）练习题
1、 谐振子在时刻的波函数是

这里是谐振子第n个能态的定态本征函数，计算
（a）常数A
（b）对于所有的t求波函数
2、设和是薛定谔方程

的两个解，证明与时间无关。
第4章　微扰理论
（一）基本知识
1、微扰理论的任务就是从H0的本征值和本征函数出发，近似求出经过H’微扰后的本征值和本征函数。
将体系的哈密顿量写为：

将能级和波函数按l展开

分别表示能量和波函数的一级、二级修正
准确到一级近似，体系的能级和波函数是

准确到二级近似，体系的能级为

（二）例题
例1　设粒子在一维无限深势阱(0,a)中的粒子，受到微扰

的作用，求一级近似下粒子的基态能量
解：粒子的哈密顿算符为
粒子的能量基态本征函数和基态能量为

基态能量的一级修正为

一级近似下的基态能量为

（三）练习题　
1、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为都是实数。用微扰公式计算能量二级修正值。

第5章 晶体结构
（一）主要知识
1、晶体结构:
*晶体的性质与其中原子的种类和存在的质粒形态——基元 (原子、分子、离子或它们的集团) 有关, 也与这些基元的排列方式有关. 晶体的结构就是指基元在晶体中的排列方式.在讨论晶体的结构时, 把基元都抽象成为格点, 因此格点的排列规律就反映了晶体的结构, 称为晶格结构或晶体结构. 格点也就是基元在晶体中的平衡位置.
*由格点排列而成的空间格子称为布拉菲格子 (Bravais lattice); 把具体的基元以相同的方式、重复地放置在布拉菲格子的格点上即得到整个晶体的结构. 因此可以说, 布拉菲格子是晶体结构形式的一种理想概括.晶体结构的基本特点就是具有周期性 (平移对称性) 和对称性.
2、晶体的共性
长程有序性
— 晶体中的原子都是按一定顺序规则排列，至少在微米量级范围内是有序排列
— 长程有序是晶体材料具有的共同特征
— 在熔化过程中，晶体长程有序解体时对应着一定熔点
— 多晶体：由许多晶粒组成，在每个晶粒范围内规则排列
— 单晶体：在整个范围内原子都是规则排列的
— 　单晶体不见得是由同种元素组成
晶面夹角守恒：
属于同一品种的晶体，两个相对应晶面之间的夹角恒定不变。
晶体具有各向异性特征
－晶体的物理性质在不同方向上存在着差异，这种现象称为晶体的各向异性
3、 密堆积结构:
可把原子看成是刚性球, 在一个平面内紧密排列 (一个球的周围有6个球) 而构成密排面,然后再把许多密排面上下紧密堆积起来, 即形成密堆积结构. 密堆积的方式可有多种:
①如果是ABAB…型堆积, 则形成六角密堆积结构; 每一个球与周围的12个球相接触, 则配位数为12. 是由2套Bravais格子构成的复式晶格. 金属Be, Mg, Zn, Co, Cd等都具有六角密堆积结构. 理想六角密堆积的c/a= 1.633; 实际上, Be的c/a =1.566, Cd的c/a =1.885, 其余的在其间).
③密堆积方式的多型性 (polytypism) : 密排面堆积的重复周期也可以大于3层, 则密堆积方式有无穷多种. 例如, SiC, PbI2, CdI2, 可以有多种所谓多型体 (polytype), 差别只是密排面的堆积顺序不同, 能量的差别很小; 一般是层状结构, 层间的键合远弱于层内.
4、 六角密堆积（hcp）
　第三层小球放在第一层小球之上，即重复第一层的排列，这样就形成了ABABAB……的密堆积方式。
• 每一个球与周围的12个球相接触, 则配位数为12
• 由2套Bravais格子构成的复式晶格
• 金属Be, Mg, Zn, Co, Cd等都具有六角密堆积结构
• 理想六角密堆积的c/a= 1.633; 实际上, Be的c/a =1.566, Cd的c/a =1.885, 其余的在其间.
5、配位数
~ 由于布拉菲格子中的每一个格点都是相互等价的, 则每一个格点周围的最近邻格点数也是相同的; 这个格点数就称为该布拉菲格子的配位数.
配位数可以给出相应晶体的许多信息. 例如, 若配位数=12, 则该晶体具有密堆积结构 (在同一层内有6个最近邻格点, 在上下层内各有3个最近邻格点); 若配位数=4, 则该晶体多半是共价晶体.
5、 空间点阵
是由几何点规则地周期地排列而成的无限点阵，可看成由几何点沿空间三个不共面的方向各按一定距离无限重复地平移构成
• 由x射线衍射对固体的结构进行分析得知,晶态物质和非晶态物质区别之点就在于：晶态物质是由原子、分子、离子或原子团在三维空间中有规则地重复排列而组成的，这种组成晶体的原子、离子、分子或原子团通常称为晶体的基本结构单元，简称基元。
• 有些简单的晶体，如铜、金、银等，它的基元是单个原子．有些晶体包括化合物晶体，如金刚石、氯化钠(NaCl)、氮化钙(GaF2)等，它的基元是由两个或两个以上的原子组成．有些无机物晶体的基元可多达100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基元包含1000多个原子，而蛋白质晶体的基元包含多达10000个以上的原子．如果忽略晶体基元的具体细节，用一个数学上的几何点来代表它.
6、 Bravais 格子:
*布拉菲格子的定义 ~ 布拉菲格子是矢量 Rn = n1a1+n2a2+n3a3 的全部端点(格点)的集合(ni为0和正负整数). Rn称为布拉菲格子的格矢; a1、a2、a3是三个不共面的矢量, 称为布拉菲格子的基矢. 因此, 布拉菲格子的所有格点都是几何位置上等价、周围环境相同的;据此即可以判断一个格子是否布拉菲格子.
布拉菲格子反映了晶体的主要特点——对称性；其中原子排列的周期性, 或平移对称性,可用布拉菲格子表示为: 平移任一格矢Rn, 晶体保持不变.
7、晶格的周期性 基矢
根据空间点阵学说，晶体结构可以用晶格来描述，晶体结构 = 基元 + 空间点阵。但是，采用晶格来描述晶体很不方便，也不直观，为了更方便地描述晶体结构，常采用原胞和基矢来描述。
8、原胞
布拉菲格子的原胞是指晶体中体积最小的周期性重复单元, 可由基矢a1、a2、a3 作边来构成 (平行六面体). 原胞的体积为 Ω = a1·(a2×a3), 与每个格点在空间平均占有的体积相等. 则每个原胞中只包含一个格点.由于基矢的选取方法各种各样, 则原胞也可以有各种选取方法; 但是各种原胞都应该具有相同的体积, 并且只包含一个格点. 为了克服这种原胞形状的任意性给分析带来的困难,对于一个给定的布拉菲格子, 其基矢往往已经有约定的选取方法 (下面将示出).
9、单胞 (结晶学原胞)
布拉菲格子的原胞是晶体的最小周期性重复单元, 只包含一个格点;而布拉菲格子的单胞可包含一个或数个格点, 体积也可比原胞大 (一倍或数倍), 是反映了晶体的一定对称性的周期性重复单元. 例如, 简单立方、体心立方和面心立方晶格的原胞各不相同, 但其单胞却都是立方体 (包含的格点数分别是1、2和4).布拉菲格子的单胞在于强调其晶系归属以及所应有的点群对称性.
单胞的边长称为晶格常数. 对于具有立方体单胞的晶体, 其晶格常数就是一个数; 而对于其他的晶体则否.晶向、晶面和基元的标记, 常常以单胞为基准.
两种常见的原胞： 固体物理学原胞
结晶学原胞
固体物理学原胞----初基原胞，原胞
结晶学原胞--------惯用晶胞，单胞
10、基矢 primitive vector
每个方向上一定的平移距离称为点阵在该方向上的周期，在一定方向上有一定的周期，不同方向上的周期的大小一般不相同，于是可选用三个不共面的方向上的最小周期作为这三个不共面方向上的天然长度单位．并选取任一阵点作为原点．由此原点引出这三个方向上的天然长度单位以构成三个初级平移矢量a1,a2,a3形成一个坐标系统，这样一个坐标系统便可用来描述整个空间点阵。这空间点阵可用矢量Rn来描述
Rn=n1a1+n2a2+n3a3，a1,a2,a3通常称为基矢。我们把所有可用位矢来描述的点阵布拉菲点阵，这是晶体结构的最重要概念
11、 典型的晶格结构:
*简式晶格和复式晶格 ~ 如果基元中包含一个原子, 则相应的晶格是简式晶格; 相反, 如果基元中包含一个以上的原子, 则相应的晶格是复式晶格. 很显然, 简式晶格必然是布拉菲格子, 每个原胞中只有一个原子. 而复式晶格的每个原胞中包含有多个原子, 整个晶格可看成是由多个简单的子晶格——布拉菲格子复合(套构)而成的.
12、面心立方 (fcc) 布拉菲格子:
* 三个基矢是从立方体的一个顶点到三个相邻的面心的矢量;
* 原胞中只包含一个原子, 单胞中含有4个原子（6×1/2+8×1/8=4)
* 格点配位数=12.
* 金刚石、闪锌矿(立方ZnS)、氯化钠、 C60晶体、Al、Ag、Au、Pt、Cu、Ni、Pb等具有面心立方的布拉菲格子.
13、金刚石结构和闪锌矿结构:
* 由2套面心立方Bravais格子沿体对角线方向措开1/4对角线长度而构成.
* 金刚石结构中虽然只有一种原子, 但相邻的2个原子并不等价, 则是复式晶格, 每个原胞中有2个原子. 闪锌矿结构中相邻的2个原子是不同种类的, 当然是复式晶格.
* 配位数=4, 每个原子的4个最近邻形成一个正四面体.
* 单胞是立方体, 边长为晶格常数. 立方体顶角和面心上的原子等价, 但与立方体中部的4个原子不等价. 单胞中包含8个原子.
* Si和Ge具有金刚石结构. 重要的Ⅲ-Ⅴ族和Ⅱ-Ⅵ族半导体材料都具有闪锌矿(立方ZnS)结构.
（二）例题
1、 具有笛卡尔坐标（n1,n2,n3)的所有点形成什么样的布拉菲点阵？如果
（a）ni个为奇数，或全为偶数
（b)　要求n1+n2+n3全为偶数
解：(a)若ni全为偶数，则点阵矢量R=(2l,2m,2n),于是有：

显然由R定义的是一个晶格常数为2的SC点阵
若ni全为奇数，则点阵矢量为：

显然由R定义的也是一个晶格常数为2的SC点阵，但相对
上面一个sc点阵位移了一个矢量（x+y+z)，正好位于bcc位置
（b)　n1+n2+n3全为偶数

令

fcc点阵矢量是
显然由R定义的是一个晶格常数为2的 fcc点阵
（三）练习题
一、 填空题
1、 初级晶胞是____的最小重复单元。初级晶胞必定正好包含布喇非点阵的一个阵点。
2、 维格纳-赛兹晶胞（W—S晶胞）是____晶胞。
3、 请列举三种简单晶体结构（例金刚石结构）____、____、____。
4、在结晶学中，属于立方晶系的布喇菲原胞有____、____和_____三种。
二、 简答题
1 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比。
2 解理面是指面指数低的晶面还是指面指数高的晶面？为什么？
3 基矢为的晶体为何种结构？若，又为何种结构？为什么？
4 若与平行，是否是的整数倍？以体心立方和面心立方结构证明之
5 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢重合，除O点外OA、OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？
6 验证晶面是否属于同一晶带。若是同一晶带，其带轴方向的晶列指数是什么？
7 带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？
8 与晶列垂直的倒格面的面指数是什么？
9 六角密积属于何种晶系？一个晶胞中含有几个原子？
10 体心立方元素晶体，[111]方向上的结晶学周期为多大？实际周期为多大？
11 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大？该晶列在哪些晶面内？
12、试描述点阵和晶体结构的区别。
13、什么是布喇非点阵？为什么说布喇非点阵是晶体结构周期性的数学抽象？
三、计算题
1 以刚性原子球堆积模型，计算以下格结构的致密度分别为：
（1）简立方， （2）体心立方， （3）面心立方，
（4）六角密积， （5）金刚石结构，
2 在立方晶胞中，画出(101)、(021)、和晶面。
3 如图所示，在六角晶系中，晶面指数常用表示，它们代表一晶面在基矢上的截距分别为，在c轴上的截距为。证明：，并求出、、和四个晶面的面指数。
4 设某一晶面族的间距为d，三个基矢的末端分别落在离原点的距离为、、的晶面上，试用反证法证明：是互质的。
5 证明在立方晶系中，晶列与晶面正交。
6 如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上两面心。
（1）求ABC面的密勒指数；
（2）求AC晶列的指数，并求相应原胞在座标系中的指数。
7 试证明面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
8 六角晶胞的基矢

求其倒格基矢。
9 证明以下结构晶面族的面间距：
（1）立方晶系：
（2）正交晶系：
（3）六角晶系：
10 求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族的面间距。
11 证明晶面、及属于同一晶带的条件是

12、某晶体的每个阵点上有一个同中原子，其初基矢量（以计）为
，，
试问：
（a）此晶体的布喇非点阵是哪种类型？
（b）计算初级晶胞和惯用晶胞的体积。
（c）计算六角密堆积结构的堆积比率。
13、闪锌矿的密度，锌原子量，硫的原子量，求闪锌矿结构的点阵常数。
O
a
c
b
B
C
A
14、碘化钾具有NaCl结构，其密度为，试求
（a）基本的面间距离
（b）立方晶胞边长
15、如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上两面心。
（1）求ABC面的密勒指数；
（2）求AC晶列的指数，并求相应原胞在座标系中的指数。
16、试证明面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
17、六角晶胞的基矢

求其倒格基矢。
18、证明以下结构晶面族的面间距：
（1）立方晶系：
（2）正交晶系：
（1） 六角晶系：
19、设氢原子处于　

的状态下，求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。
第6章 晶体的结合
（一）主要知识
1、原子的电负性
中性原子能够结合成晶体，主要取决于原子最外层电子
原子的电子分布：s, p, d, f…来表征角量子数：l=0,1,2,3…
电离能：使原子失去一个电子所需要的能量
电子亲和能：获得一个电子成为负离子所释放出的能量
电负性：衡量不同原子得失电子的难易程度
原子的电负性＝0.18（电离能＋亲和能）　
2、负电性
特点：
　（1）周期表由上到下，负电性逐渐减弱
　（2）周期表愈往下，一个周期内负电性的差别也愈小
I族元素：最低的电负性，晶体－金属
IV至VI族：具有较强的负电性，束缚和获取电子比较强，共价结合
3、晶体的结合类型
根据晶体结合力本质的不同，晶体可分成五种典型的基本类型，即：
1．离子晶体： 通过正、负离子之间的静电库仑力作用结合而成的晶体，称为离子晶体或极性晶体。
最典型的离子晶体：碱金属Li、Na、K和卤族F、Cl等形成的化合物
NaCl和CsCl是最常见的离子晶体
以离子而不是以原子为结合的单位，通过离子间库仑吸引作用结合而成的。
2．共价晶体：通过相邻原子间因共用电子对而形成的共价键结合而成的晶体，称共价晶体或同极晶体。
共价结合是靠两个原子各贡献一个电子，形成共价键
氢分子是靠共价健结合的典型例子
共价健的现代理论正是由氢分子的量子理论开始的
特点：
1、饱和性：一个原子只能形成一定数目的共价键，其只能由未配对的电子形成，共价键数目＝8-N。
2、方向性：指原子只在特定的方向上形成共价键，共价键的强弱决定于形成共价刍的两个电子轨道的相互交叠程度
• 原子在形成共价键时，可以发生“轨道杂化”－能带
3．金属晶体：组成金属的原子失去最外层价电子被所有原子共有，这样，失去最外层价电子的离子实“沉浸”在由价电子组成的“电子海洋”中，通过离子实与电子之间的静电库仑力结合形成金属晶体。
基本特点：
1、电子的共有化，即在结合成晶体时，原来属于各原子的价电子不再束缚在原子上而转变为在整个晶体内运动，它们的波函数遍及于整个晶体。
2、电导率高，从而在金属中必然有大量可以自由运动的电子－传导电子。
4．分子晶体：通过分子间范德瓦尔斯力结合而成的。分为极性分子晶体、非极性分子晶体
特点：
(1) 产生于原来具有稳固电子结构的原子或分子之间，结合为晶体时基本上保持原来的电子结构　
(2)惰性气体所形成的晶体是最简单的分子晶体熔点低，具有很高的电离能，其最外电子壳层被完全充满。
5．氢键晶体：通过氢键结合而成。 H2O
4、结合力性质
在任何晶体中,两个粒子之间的相互作用力或相互作用势与两个粒子的距离之间遵从相同的定性规律.
1）晶体中粒子的相互作用力可分为两大类, 吸引作用力和排斥作用力
2）吸引作用起源于异性电荷之间的库仑力;
3）排斥作用起源于:(1)同性电荷之间的库仑力
(2)由于Pauli不相容原理的限制所引起的排斥作用
4）当粒子之间的距离适当时,吸引力和排斥力达到平衡,晶体结构处于稳定状态.
5、结合力的一般性质
两个原子间的相互作用势能和相互作用力随原子间距的变化规律如图所示,

(1) 当两个原子距离较近时,即: r < r0 时,排斥力大于吸引力,总的相互作用表现为排斥力, f(r) > 0.
(2) 当两个原子距离较远时,即: r > r0时, 吸引力大于排斥力,总的相互作用表现为吸引力, f(r) < 0.
(3) 当两个原子距离适当时, 即: r = r0 时, 吸引力与排斥力达到平衡, f(r) = 0 。r0称为原子间的平衡距离.在平衡距离r0下, f(r0) = 0 , 即：根据这一关系，计算原子间的平衡距离r0 .
6、离子晶体的结合能
通过离子性结合的晶体称为离子晶体或极性晶体
最典型的离子晶体：碱金属Li、Na、K和卤族F、Cl等形成的化合物
7、B和n的确定
当晶体处在平衡状态时，设参考距离为：
则：在平衡状态下：
得

8、马德隆常数μ的计算
根据马德隆常数的定义:
式中正负号的原则是: 如果取负离子作为参考离子, 则对正离子使用正号,对负离子使用负号.
（二）练习题
一、填空题
1、晶体可分为五种基本结合类型：____、____、____、____、____。金刚石属于____结合。
二、简答题
1、是否有与库仑力无关的晶体结合类型？
2、何理解库仑力是原子结合的动力？
3、体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别？
4、原子间的排斥作用取决于什么原因？
5、原子间的排斥和吸引作用有何关系？起主导的范围是什么？
6、共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？
7、共价结合，两原子电子云交迭产生吸引，而原子靠近时，电子云交迭会产生巨大排斥力，如何解释？
8、 试解释一个中性原子吸收一个电子一定要释放能量的现象
9、 如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？
10、 为什么许多金属为密积结构？
11、 何谓杂化轨道？
三、 计算题
1、有一晶体，平衡时体积为V0，原子间总的互作用势能为U0，如果相距为r的两原子的互作用势为

证明
a) 体积弹性模量为

b) 求出体心立方结构惰性分子晶体的体积弹性模量。
2、一维离子链，正负离子间距为a，试证明马德隆常数
3、计算面心立方简单格子的A6和A12。
（1） 只计最近邻
（2） 计算到次近邻
（3） 计算到次次近邻
4、用埃夫琴方法计算二维正方（正负两种）离子格子的马德隆常数。
5、用埃夫琴方法计算CsCl型离子晶体的马德隆常数
（1）只计最近邻
（2）取八个晶胞
6、只计及最近邻间的排斥作用时，一离子晶体离子间的互作用势为

式中是常数，R是最近邻距离，求晶体平衡时，原子间总的互作用势。
7、设离子晶体中，离子间的互作用势为

（1）求晶体平衡时，离子间总的相互作用势能U(R0)。
（2）证明：
8、一维离子链，其上等间距载有正负2N个离子，设离子间的泡利排斥势只出现在两最邻近离子之间，且为b/Rn，b、n是常数，R是两最邻近离子的间距，并设离子电荷为q，
（1） 试证明平衡间距下

（2） 令晶体被压缩，使R→R0（1－δ）,试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力做功的主项为cδ/2,其中

（3） 求原子链被压缩了2NR0δe（δe<<1）时的外力。
9、设泡利排斥项的形式不变，讨论电荷加倍对NaCl晶格常数、体积弹性模量以及结合能的影响。
10、两原子间的互作用势为

当两原子构成一稳定分子时，核间距为3Å，解理能为4eV，求
11、NaCl晶体的体积弹性模量为2.4×1010帕，在两万个大气压作用下，原子相互作用势能增加多少？晶格常数将缩小百分之几？（1帕＝10－5个大气压）
12、雷纳德－琼斯势为

证明：时，势能最小，且；当时，；说明的物理意义。
第7章 晶格振动与晶体热学性质
（一）主要知识
1、晶格振动
l 晶格的格点是晶体原子的平衡位置. 晶格振动就是晶体原子在格点附近的热振动.
l 晶格振动是一个小振动问题, 可用简正振动和振动模来描述~简谐近似 harmonic approximation.
l 由于晶格具有周期性,则晶格的振动模具有波的形式~格波 lattice wave.
l 一个格波就表示晶体所有原子都参与的一种简正振动模式。
l 晶体的比热、热导、电导等都与晶格振动有关。
2、振动模式
• 对有N个原胞的晶体, 就有N个q; 若每个原胞中含有n个原子, 则每个q相应有3n(一个纵向偏振两个横向偏振)个不同频率的格波; 于是晶体中共有3nN个不同的振动模式~格波
• 每一个格波又可区分为纵格波 (L) 或横格波 (T); 还可区分为声学波(A)或光学波 (O). 所以晶体中的3N个格波可分为4大类: LA、LO、TA、TO.
3、一维单原子链的振动
一维单原子链振动谱求解的思路：
(1)　根据给定的物理模型，分析原子间的相互作用力及第n个原子的受力情况
(2)　根据牛顿定律列出运动方程
(3)　写出试探解
(4)　求出色散关系
4、第n个原子的受力分析
设在平衡位置时，两个原子间的相互作用势能为U(a)，若原子间产生相对位移δ后，相互作用势能变为U(r=a+δ)，
◇在一般情况下，位移δ很小，将U(r=a+δ)在平衡位置位置附近展开
5、运动方程
根据牛顿第二定律，第n个原子的运动方程为：

其中，(n=1,2,……N)
设晶格中有N格原子，则共有N个这样的线性齐次方程对每个原子，都有一个类似的运动方程，由此可见，晶体中原子的运动具有传递性。
6、运动方程的解
可以验证，原子运动方程具有“格波”形式的解（行波解）：
其中，μn------t时刻第n个原子离开平衡位置的位移量A------振幅 ω-----振动的角频率qna----第n个原子振动的位相因子
7、格波 lattice wave
晶体中原子的运动具有传递性，晶格中存在角频率为ω的平面波，这种平面波代表了晶格振动的传播，我们称之为格波。格波----晶格振动在晶体中的传播。
8、格波波矢的取值范围
当两个原子的相位差q(n‘a－na)=2lp(l为整数)时

• 当q改变2π/a的整数倍时，原子的振动完全相同
• 　晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系
• 　晶格中存在着角频率为ω的平面波﹋格波
9、 .格波的特点(与连续介质弹性波比较)
(1)　连续介质弹性波：
(a)　位移量x是连续变化的，因