圆柱、圆锥、圆台（一）.doc

圆柱、圆锥、圆台（一）（高一数学——立体几何）
（案例来源：刘萍，北京市海淀实验中学，
【教学目标】
知识与技能
1.理解圆柱、圆锥、圆台的概念，以及它们之间的联系与区别；
2.掌握圆柱、圆锥、圆台的性质，并会解决与圆柱、圆锥、圆台特殊截面有关的问题；
3.了解旋转体的形成过程；
4.掌握圆锥体的最大截面问题。
过程与方法
1.观察与比较、试验与猜想、分析与综合、抽象与概括、发展与应用；
2.通过动手操作和协作探讨，培养学生的实践能力、发现问题、分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观
1.激发学生的学习兴趣和求知欲；
2.培养学生的探索精神和创新意识，发展学生的数学能力。
【学习者分析】
认知水平：已经掌握了棱柱、棱锥和棱台的概念和性质；
信息素养：掌握了基本的计算机操作，用过Z＋Z软件，并表现出很大的兴趣。
【教学的重点、难点】
重点：圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。
难点：圆柱、圆锥、圆台的截面问题。
【教学环境与媒体】
教学环境：多媒体网络机房；学生用机46台，教师用机1台。
教学媒体：Z+Z立体几何智能教育平台（以下简称Z+Z软件）——教师演示、学生探索的工具；首师大虚拟学习社区网络教学支撑平台智能网络教学支撑平台（简称首师大虚拟学习社区网络教学支撑平台）——教师布置学习任务、学生查看、教师提供资源、在线交流讨论和提交电子作业的工具；PowerPoint——教师演示的工具。
【教学设计思路】
本节课的主要思路是把问题还给学生，利用信息技术让学生经历完整的实验模拟、知识建构过程。整节课以问题为主线，通过教师设计的问题系列把“圆柱、圆锥、圆台”的有关概念和性质组织成了一个不断发现问题、明确问题、解决问题的过程，让学生在不断解决问题的过程中进行数学探究。教学过程流程图如图1所示：

图1 “圆柱、圆锥、圆台”的教学设计思路
【教学过程】
1、导入新课，创设情境
课前教师要求学生总结棱柱、棱锥、棱台的性质，并上传到首师大虚拟学习社区网络教学支撑平台。本节课一开始教师挑选出了一份学生作业，并让该学生到讲台上向大家演示。该生用PowerPoint演示了从一个立方体变化到棱台，再变化到棱锥的过程，清晰地展示了这三者之间的关系，为类比学习圆柱、圆锥、圆台相关知识奠定了基础。
然后教师提出本节课要研究的内容：圆柱、圆锥、圆台的概念和性质。
2、讲解基本概念，学解老问题
教师先利用PowerPoint展示圆柱、圆锥、圆台的图形，
再借助Z+Z软件展示圆柱、圆锥、圆台的形成过程（见图2），并提出问题：“圆柱、圆锥、圆台是由什么平面图形绕着哪条直线旋转得到的？”
学生通过计算机观察、比较，通过描述图像的直观特征，自然得到圆柱、圆锥、圆台的概念。

图2 圆柱、圆锥、圆台的形成过程
3、系列问题探索——学解新问题
通过下面设计的三个问题，让学生掌握圆柱、圆锥、圆台的关系和性质，并通过对截面的研究掌握学习立体几何的一个基本方法——将立体几何问题转化为平面几何问题。
探索阶段的活动序列为：

问题1:圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？
学生利用鼠标拖动圆台上底一动点D，观察三者之间的关系（在Z＋Z平台上进行）

图3 圆柱、圆锥、圆台三者关系的研究图
学生通过在Z+Z平台上拖动圆台上底的一个动点，可以很清楚的看到圆柱、圆锥、和圆台三者之间的关系：截圆锥可以得到圆台；圆台上底变小可以得到圆锥；圆台上底变大可以得到圆柱。

图4 圆柱、圆锥、圆台三者关系的结论图
问题2:平行于底面的截面有何性质？轴截面(过轴的截面)有何性质？
教师向学生展示圆柱、圆锥、圆台的截面图形，然后由学生总结出它们的性质。

图5 圆柱、圆锥、圆台的截面图形
设计意图：这些截面图形都是平面图形，学生均已熟练掌握，所以通过截面来学习立体几何可以加快学生的学习。
学生经过在Z+Z平台上观察、操作，得出如下结论：
平行于底面的截面都是圆；
过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。
问题3：圆柱、圆锥、圆台的母线、高和底面半径有何关系？
教师提示：只需研究其轴截面的一半。学生通过研究其轴截面的一半即可得到如下结论：

图6 圆柱、圆锥、圆台的母线、高和底面半径的关系
结论：体的问题要转化为面的问题来研究。
4、课堂强化练习——解决难题
通过首师大虚拟学习社区网络教学支撑平台，学生在学生界面上可以看到下列练习：
（1）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10cm，求原圆锥的母线长。（学生完成在本上）
（2）判断下列命题是否正确？
①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形。
②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形。
③过圆锥顶点的截面是等腰三角形。
④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形。 图7 判断题辅助图形
设计意图：训练学生的空间想象能力。教师放手让学生自己去尝试解决问题，每个学生都以自己的经验为背景建构对事物的理解，可能只理解到事物的不同方面，甚至得到的是错误结论，这时再让学生通过学生机利用教师做的课件，观察截面的变化，得出结论，这样使学生对圆柱、圆锥、圆台的性质有了更高层次的认识。
5、自主发现问题
下面一组练习的目的是让学生“自主探索”，让学生沿着提出问题的思路利用Z+Z主动思考、探索，得出各问题的结论。
练习1：已知一个平行四边形，分别以邻边所在直线为旋转轴旋转这个平行四边形，得到的几何体是什么形状？
设计意图：目的既是对旋转体概念进一步加深理解（体是由面绕轴旋转得到的），又能拓宽学生的思维（不同的面可以旋转出不同的旋转体）。
学生表现：学生在课堂上积极动手参与，不断尝试，表现出了极高的热情和强烈的求知欲。下面三幅图是课堂上学生进行的探索：

图8 部分学生的作业
练习2：平行于圆锥底面的截面与底面的面积比等于什么？（教师提示：对比棱锥的性质，可参考多面体的有关资料）
练习3：圆台的中截面面积与其两个底面积的数量关系是什么？（教师提示：对比棱台的性质，可参考多面体的有关资料）
练习4：过圆锥顶点及两条母线的所有截面中，哪个截面面积最大？（教师提示：打开Z+Z中的“截面积大小”文件）
设计意图：训练学生如何将立体几何的问题转化为平面几何的问题的能力。
6、师生共同总结
学生通过在Z＋Z平台上不断探索后，得出了圆柱、圆锥和圆台的性质，教师帮助学生一起总结得出结论：
课堂小结
项目
圆柱
圆锥
圆台
定义
以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体
以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体
确定的条件
底面半径和母线
底面半径和母线(或高)
两底面半径R、r和母线（或高）
性
质
轴截面的性质
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
平行于底面的截面性质
等圆
圆
圆
【专家点评】
数学教学的根本目的在于使学生掌握数学的基础知识、基本技能，发展学生的基本数学能力。本节课的总体思想是问题解决式的教学思想，把教学过程当作学生的认识过程，引导学生经历知识的发生、发展、深化过程，探索数学问题的分析、求解思路。这既是学生牢固掌握所学数学知识的需要，也是使学生的数学能力得到充分培养的需要。
教师经过精心的教学设计，将教学目标转换为能刺激学生兴趣的又符合学生“最近发展区”的系列问题：从学解老问题开始，唤起原有的知识与经验；再利用已有的知识与经验学解新问题；然后学习了基本的概念与原理后，还需要在其它的更复杂的情境中运用，让学生解决疑难问题；最后，教师鼓励学生能够自主发现问题，进一步培养学生的创新能力。教师在教学中利用信息技术创设了丰富的问题情境，考虑到了学生在学习过程中的各种需要，准备了充分的资源和工具支持。