高二数学假期作业（三）.doc

高二数学假期作业（三）
一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)
1．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，
则f(－1)＝________.
2．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝____________.
3．已知f(x) (x∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)＝________.
4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0
的x的取值范围是__________．
5．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是________．
6．函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数且f(x)＋g(x)＝ (x≠±1)，则f(－3)＝________.
7．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋5)＝－f(x)＋2，且当x∈(0,5)时，f(x)＝x，则f(2 011)
＝________.
9．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数； ②f(x)关于直线x＝1对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数； ④f(x)在[1,2]上是减函数；
⑤f(2)＝f(0)． 其中正确的序号是________．
二、解答题(本大题共3小题，共46分)
10．(14分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，若a、b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有
>0.判断函数f(x)在[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．

11．(16分)已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．

12．(16分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．
若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 009]上的所有x的个数．

答案　1.－3 　2.{x|x<0或x>4} 　3. 　4.(－2,2) 　5.4 　6.－ 　7.－1 　8.1
9.①②⑤
10.解　f(x)在[－1,1]上是增函数．证明如下：
任取x1、x2∈[－1,1]，且x1<x2，
则－x2∈[－1,1]．又f(x)是奇函数，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)．
据已知>0，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在[－1,1]上是增函数．
11.(1)证明　显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．
在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x，
得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0，
得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，
∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)解　由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(x)是奇函数，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.
12.解　当0≤x≤1时，f(x)＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，
∴f(－x)＝(－x)＝－x.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.
故f(x)＝x (－1≤x≤1)．
又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝(x－2)．
又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f((－x)＋2)＝－[－f(－x)]＝－f(x)，
∴－f(x)＝(x－2)，
∴f(x)＝－(x－2) (1<x<3)．
∴f(x)＝
由f(x)＝－，解得x＝－1.
又∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(x)＝－的所有x＝4n－1 (n∈Z)．
令0≤4n－1≤2 009，则≤n≤，
又∵n∈Z，∴1≤n≤502 (n∈Z)，
∴在[0,2 009]上共有502个x使f(x)＝－.