解直角三角形复习题教师版.doc

解直角三角形复习题教师版
（一）锐角三角函数定义
1. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都
是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则
tan∠ACB的值为（ ）.
A．1 B．　 　C． D． 　
2．已知，则锐角的度数是 °．
40
（第6题）

3．如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（4,3）,那么cosα的值是
A． B． C． D．

10．已知：，则锐角= 45° ．
4．在△ABC中，∠C=90°，，则等于
A． B． C． D．
5. 在中，则 （ ）
A B C D
6. 如图，、、三点在正方形网格线的交点处.若将△绕着点逆时针旋转得到△，则的值为( )
A. B.
C. D. 1
4．已知：中，，,，则的长是
A． B． C．6 D．
（二）三角函数与根式、绝对值、幂的混合运算
1．计算：．
解：
……………………………………………………………3分

. ……………………………………………………………………………5分
2．计算：．
解：
= ……………………………………………………………4分
= ……………………………………………………………………5分

3．计算：．
解：原式 ……………………………………………… 4分
=．………………………………………………………… 5分
4. 计算：.
解：原式

---------------------------3分

---------------------------4分

5．计算：

= ………………………4分
=…………………………………………………5分
6．计算：.
解：.
=. 4分
=. 5分
7．
解：
=-------------------------------------------------------------4分
=0 ---------------------------------------------------------------------5分
8．计算：.
解：原式----------------------------------4分
.-------------------------------------5分
9．计算：.
解： .
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - 5分
10．计算：．
解：原式=
=．
11．．
解：原式……………………………………4分
………………………………………………5分
12．计算： ．
.
解： 原式=----------------------------------4分
=.---------------------------------5分
13. 计算：．

…………………………………………4分

. ………………………………………………………………5分
14．计算：．
解：原式= -----------------------------------------------------------4分
=． -------------------------------------------------------------------------------------5分
15． 计算：．
解：原式 ………………………………4分
． …………………………………………………………………………5分
16．计算:
解： 原式=
= ------------------------------------------------------------ 4分
= --------------------------------------------------------------------------- 5分
17．计算：
解：原式= …………………………4分
= …………………………………5分
18．计算：．
解：
= ------------- 4分
= ． ------------- 5分
19.计算：.
解： 原式=----------------------------------4分
=．-------------------------------5分
20． 计算：
解：原式＝……………………………………………4分
=0 ……………………………………………………………………5分
21．计算：
解：原式…………………………………………………………… 3分

…………………………………………………………………………… 4分
(二)解直角三角形
1．如图，在中，分别是、的对边，
为斜边，如果已知两个元素，就可以求出其余三
个未知元素.
⑴求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程：

由条件：
、
（第1题图）
用关系式 求出
第一步：

由条件：
、

用关系式 求出
第二步：

由条件：
、

用关系式 求出
第三步：

⑵请分别给出的一个具体数值，然后按照⑴中的思路，求出的值.

解：
（1）第一步：
第二步：
第三步：………………………………………………………………… 3分
（2）如：时，…………………………… 5分

2. 如图，在中，于点．已知
=。
（1）求AD的长；
（2）求AB的长。

解：（1）
∴
，=，
∴ ----------------------------------------2分
（2）∵ ∠ ACB=900,
A
B
C
D

∵ CD⊥AB, ∴∠B+∠BCD=900
∴∠ACD=∠B ∴sinB=sin∠ACD=
在Rt△ACB中，sinB=
∴AB= - -----------------------------------------5分

3．如图，在中，于点．已知，=，求AB的长．

解：∵ ∠ ACB=900,
∴∠ACD+∠BCD=900
∵ CD⊥AB,
A
B
C
D
∴∠B+∠BCD=900
∴∠ACD=∠B……………2分
∴sinB=sin∠ACD= …………3分
在Rt△ACB中，sinB=
∴AB=
答:AB的长是3.

4．已知：如图，在△ABC中，AD是BC上的高，．
第4题图
(1)求证：AC=BD；
(2)当，BC=12时，求AD的长．

(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵=，=．
又已知，
∴ =．∴ AC=BD． -----------------------------------------------------------------3分
(2)在Rt△ADC中， ，故可设AD=12k，AC=13k．
∴ ==5．
∵，又，
∴ ．
由已知BC=12， ∴ 18k=12． ∴ k=．
∴ =12k=12=8． ------------------------------------------------------------------------5分

5．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，且AB=，求：AD的长及．
解：

1
2
∵∠C=90°，∠B=30°
∴∠BAC=60°……………………………………1分
∵AB=
∴AC=AB==……………………2分
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2=30°，∴∠1=∠B
在Rt△ACD中，cos∠2=
∴AD=……………………………………3分
∵∠1=∠B
∴BD=AD=4
∴…………………4分
∴AD的长为4，△ABD的面积为.……………………5分
6. 如图，，，，．
（1）求的长；
（2）求的值.

解：（1）在Rt△BDC中，， .
∴. …………………………………………….…2分
（2）在Rt△BDC中，，.
∴. ……………………………………………3分
，∴. ∴ AB=BC=10.
∴在Rt△CAD中， ……………………………5分

7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，
AC=，D为CB延长线上一点，且BD=2AB．
求AD的长．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，
∴ ，BC=1．……………………2分
∵ D为CB延长线上一点，BD=2AB ，
∴ BD=4，CD=5． …………………………………………………………………4分
∴ ．……………………………………………………5分
第14题图
8．如图，已知：Rt△ABC中，，AB=BC＝，点D为BC的中点，求．

解：过D作于E……………………………1分
在Rt△ABC中，
∵，AB=BC＝，
∴…………………………………………2分
∵点D为BC的中点，
∴
∴………………………………3分
在Rt△DCE中，
………………………………4分
∴…………………………5分
第9题

9．已知：如图，△中，∠=90°，,=, ∠=45°，求．
解：

第9题

解：在△中，∠=90°，
,……………… 1分
由勾股定理得： ……………………2分
∵∠=45°　∴ ……3分
∵　　∴ …………4分
∴ …………………………5分

10.已知：在△中，为锐角，，，，求的长.
解：过点作⊥于.-------------------1分
在△中，,
∵ =，，
∴ =------------2分
由勾股定理,可得
=.-------------3分
在△中，,
由勾股定理,可得
.
∵
∴ 当两点在异侧时,可得 .------------4分
当两点在同侧时,可得 .
∴ 边的长为或.--------------------5分

11．已知：如图，等腰△ABC中，AB= BC，AE⊥BC
于E， EF⊥AB于F，若CE=2，，
求EF的长.

解：∵ AE⊥BC， EF⊥AB，
∴ ∠1+∠2=90°，∠B+∠2=90°.
∴ ∠1=∠B . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ ，
∴ Rt△ABE中，.- - - - - - - - - - - - 2分
设BE =4k，则AB=BC=5k，.
∴ BE =8. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
∴ Rt△BEF中，.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
12. 已知:如图,在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，BE=2AE，且AD=，
sin∠BCE=. 求CE的长.
解：
∵BE=2AE，∴设AE=k，则BE=2k，AB=3k. ------------1分
∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠BEC=∠ADB=90°.
又∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE. ------------------3分
∴ ------------------4分
∵sin∠BCE=，∴BC=. -------------5分
∴，∴. ------------------6分

13．当时，下列关系式中有且仅有一个正确.
A.
B.
C.
（1）正确的选项是 ；
（2）如图1，△中， ，∠＝，，请利用此图证明（1）中的结论；
（3）两块分别含的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，=，求.

图1

图2

解：（1）.-----------------------2分
（2）如图, 过点作⊥交的延长线于点.
∵ ∠＝，，，
∴ .
∴ 在△中，，
.
∵ 在△中，，∠＝，
∴ .------------3分
过点作⊥于.
∴ 在△中，，.
在△中，，.---------------4分
∴ .
∴ .-----------------------5分
（3)由上面证明的等式易得.
如图，过点作⊥交的延长线于点. -----------------6分
∵ △和△是两个含的直角三角形，=，
∴ ，，.
∵

.
∴ 在△中，，
.------------------7分
∴ == =.------------------8分

与梯形、四边形综合问题
1．已知：如图，梯形中，∥,,，
,．

求的长．

解：如图，过、D作⊥于、⊥于 …………1分
设
△中，
∴，……………………………………2分
△中，
………………………………………3分
∵
∴ ………………………………………4分
∵
∴
解得 ………………………………………5分
∴
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，
E为DC中点，tanC=．求AE的长度．

解： 过点E作BC的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M. ………1分
在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，
∴∠M=∠MFC，DE=CE.
在△MDE和△FCE中，
∠M=∠MFC，
∠DEM=∠CEF，
DE=CE.
∴△MDE≌△FCE .
∴EF = ME，DM=CF. ………………3分
∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=.
在Rt△FCE中，tanC==，
∴EF = ME =2. ………4分
在Rt△AME中，AE=. …5分

3．已知：如图，在四边形中，，,，
求的长．

解：如图，过作//交CD于,过A作⊥于 …………1分
E
F
∴，,AF=DE ……2分
△中，……………3分
△中
……………………………………4分
∴ ……………………………………5分

4. 已知：如图，梯形中，∥，
,为中点，于，求的长.

解：过点作∥，交于点.---------------------------------1分
∴ .
∵ ∥，
∴ 四边形为平行四边形. -------------------------------2分
∴ .
∵ ,
∴ ．--------------------------3分
∵
∴ .
∴ 在△中，．--------------------------4分
又∵ 为中点，
∴ ．
∵ 于，
∴ ．--------------------------5分

解直角三角形应用题
1.如图，小高同学观景塔AD顶端A点处，在地面上一条河的两岸各选择一点B、C 使得点B、C、D在一条直线上，用测角仪器测得B、C两点的俯角分别是30°和60°．已知观景塔的高度是24米，求河宽BC的值（精确到0.1米）．
(参考数据：)

解：由已知可得∠B=30°，∠ACD=60°．……………………………………………………1分
在Rt△ADC中，sin∠ACD=，…………………………………………………………2分
∵ AD=24，
∴ AC=16． …………………………………………………………………3分
∵ ∠BAC=∠ACD－∠B=30°=∠B， ……………………………………………4分
∴ BC=AC=16≈27.7米． …………………………………………………5分
∴ 河宽BC的值约是27.7米．

2. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B
的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高
楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.（取1.414，
取1.732）
解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，
图2
∴ BD=AD=50(m)． …………………………………………2分
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，
∴ (m) ． ………………………………4分
∴ BC= BD+CD=(m)．……5分
答：这栋楼约高136.6 m．

3．如图，在某建筑物AC上，挂着宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看条幅顶端B，测得的仰角为，若小明的身高约1.7米，求宣传条幅BC的长（结果精确到1米）．
解：过F作于H……………………………1分
∵∠BFH =，∠BEH =，∠BHF =
∴∠EBF =∠EBC =………………………2分
∴BE = EF = 20 ………………………3分
在Rt△BHE中，
H
………………………4分
………………………5分
答：宣传条幅BC的长是19米．………………………6分

4．已知：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A（A为楼底）、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为60°，在E两处测得商场大楼楼顶B 的仰角为45°，DE=5米．已知，广告牌的高度BC=2.35米，求这座商场大楼的高度AB（取1.73，取1.41，小红的身高不计，结果保留整数)．

解：设AB为x米.
依题意，在Rt△ABE中， ∠BEA=45°，
∴ AE=AB＝x.
∴ AD =AE－DE=x－5，AC = BC+ AB =2.35+x. 2分
在Rt△ADC中， ∠CDA=60°，
∴ AC==AD.
∴ x+2.35＝( x－5). 3分
∴ (－1 )x＝2.35+5.
解得 .
∴ x≈15.
答：商场大楼的高度AB约为15米. 4分
（第5题）
5．如图，在奥林匹克公园的广场上空飘着一只汽球P，A、B是地面上的两点，在A处看汽球的仰角∠PAB=45°，在拴汽球的B处看汽球的仰角∠PBA=60°，已知绳长PB=10米，求A、B两点之间的距离．(精确到0.1米，参考数据：)

作 PC⊥AB于点C， ………………………………………………………… 1分
（第19题）
在RtΔPCB中，∵ ∠PBC=60°，PB=10,
∴ BC=5，PC=． ……………………… 3分
在RtΔPCA中，∵ ∠PAC=45°，∴ AC= PC=．……… 4分
∴ AB=5+≈5+5×1.73≈13.7（米）． …………………… 5分
答：A、B两点之间的距离约为13.7米．

6.已知：如图，渔船原本应该从A点向正南方向行驶回到港口P，但由于受到海风的影响，渔船向西南方向驶去，行驶了240千米后到达B点，此时发现港口P在渔船的南偏东的方向上，问渔船现在距港口P多远？(结果精确到0.1千米)（参考数据：，，，)
解：
过B作BD⊥AO交AO于点D， ------------------------------------------------1分
在Rt△ABC中，BD=ABsin45°=240， ------------------2分
在Rt△ABC中，sin60°=, -------------------------------------------------3分
------------------------------------------------------------5分
≈196.0 ------------------------------------------------------------------------6分
答：距港口约为196.0千米.

7．如图，甲船在港口的南偏西方向，距港口海里的处，沿方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口．乙船从港口出发，沿南偏东方向匀速驶离港口，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，参考数据：）
解：

第19题

解： 依题意，设乙船速度为每小时海里，2小时后甲船在点处，
乙船在点处， ……………………………………………1分
过P作于Ｄ，……………………2分
∴
在中, ,°,
∴……………3分
在中，
，，
∴……………………4分
∴，即（海里）．
答：乙船的航行速度为每小时20海里．……………………………………5分
C
F
D
B
E
A
8. 如图，AC是北京市环路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，这些街道与环路AC的交叉立交桥分别位于A，B，C．经测某学校D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．

解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°．
∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°．
∵ AE∥BF∥CD，
∴ ∠FBC=∠EAC=60°．
∴ ∠DBC=30°．　　
又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，
　　∴ ∠ADB=15°．
∴ ∠DAB=∠ADB． ∴ BD=AB=2．
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
　　在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°．
　　∴ DO=2×sin60°=2×,BO=2×cos60°=1．
　　在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，
　　∴ CD=DO－CO=（km）．------------------------------------------5分
即C，D之间的距离为km．
即B，D之间的距离为2km．------------------------------------------3分

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