资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=1．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．a B．a C．a D．a
2．如图，点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，点在上的对应点的的坐标为( )
A． B． C． D．
3．式子有意义的的取值范围（ ）
A．x ≥4 B．x≥2 C．x≥0且x≠4 D．x≥0且x≠2
4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（ ）
A．45° B．15° C．10° D．125°
5．下列说法正确的是（ ）
A．为了了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
B．某种彩票的中奖机会是1%，则买111张这种彩票一定会中奖
C．若甲组数据的方差s甲2＝1．1，乙组数据的方差s乙2＝1．2，则乙组数据比甲组数据稳定
D．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3
6．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q<16 B．q>16
C．q≤4 D．q≥4
7．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．三角形任意两边之和大于第三边
B．任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播
C．a是实数，|a|≥0
D．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
8．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．正方形 B．正五边形
C．正六边形 D．正八边形
9．有人预测2020年东京奥运会上中国女排夺冠的概率是80%，对这个说法正确的理解应该是（ ）.
A．中国女排一定会夺冠 B．中国女排一定不会夺冠
C．中国女排夺冠的可能性比较大 D．中国女排夺冠的可能性比较小
10．如图，点是矩形的边，上的点，过点作于点，交矩形的边于点，连接．若，，则的长的最小值为( )
A． B． C． D．
11．如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
12．已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m1 B．m1
C．m-1且m≠0 D．m-1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是_____．
14．计算：=______．
15．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____．
节水量/m3
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
家庭数/个
2
4
6
7
1
16．如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为______cm.
17．在中，，点在直线上，，点为边的中点，连接，射线交于点，则的值为________.
18．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．
（1）求△ADE的周长的最小值；
（2）若CD=4，求AE的长度．
20．（8分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，毎个月可买出180件：如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，毎件商品的售价为多少元时，每个月的销售利润将达到1920元？
21．（8分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？
22．（10分）如图，在中，是边上的一点，若，求证：.
23．（10分）赵化鑫城某超市购进了一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为获得更多的利润，商场决定提高销售的价格，经试验发现，若按每件20元销售，每月能卖360件；若按每件25元销售，每月能卖210件；若每月的销售件数y（件）与价格x（元/件）满足y＝kx+b．
（1）求出k与b的值，并指出x的取值范围？
（2）为了使每月获得价格利润1920元，商品价格应定为多少元？
（3）要使每月利润最大，商品价格又应定为多少？最大利润是多少？
24．（10分）如图，点是二次函数图像上的任意一点，点在轴上.
（1）以点为圆心，长为半径作.
①直线经过点且与轴平行，判断与直线的位置关系，并说明理由.
②若与轴相切，求出点坐标；
（2）、、是这条抛物线上的三点，若线段、、的长满足，则称是、的和谐点，记做.已知、的横坐标分别是，，直接写出的坐标_______.
25．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC ，点D、E在边BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是______．
26．如图，中，是的角平分线，，在边上，以为直径的半圆经过点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，的半径为，求图中阴影部分的面积．(最后结果保留根号和)
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【详解】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=1，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为a，
故选C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．
2、A
【解析】根据位似的性质解答即可.
【详解】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而结合已知得出答案．
3、C
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值．
4、A
【分析】由等边三角形的性质可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，易得的大小，进而可求出的度数.
【详解】是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
故选：.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的度数，难度适中.
5、D
【分析】根据抽样调查、概率、方差、中位数与众数的概念判断即可．
【详解】A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；
B、某种彩票的中奖机会是1%，则买111张这种彩票可能会中奖，不符合题意；
C、若甲组数据的方差s甲2＝1．1，乙组数据的方差s乙2＝1．2，则甲组数据比乙组数据稳定，不符合题意；
D、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查统计的相关概念,关键在于熟记概念．
6、A
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即82-4q>0，
∴q<16，
故选 A.
7、B
【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】A、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，故选项不合题意；
B、任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播，是随机事件，故选项符合题意；
C、a是实数，|a|≥0，是必然事件，故选项不合题意；
D、在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，故选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8、B
【解析】选项A，正方形的最小旋转角度为90°，绕其中心旋转90°后，能和自身重合；
选项B，正五边形的最小旋转角度为 72°，绕其中心旋转72°后，能和自身重合；
选项C，正六边形的最小旋转角度为60°，绕其中心旋转60°后，能和自身重合；
选项D，正八边形的最小旋转角度为45°，绕其中心旋转45°后，能和自身重合.
故选B．
9、C
【分析】概率越接近1，事件发生的可能性越大，概率越接近0，则事件发生的可能性越小，根据概率的意义即可得出答案.
【详解】∵中国女排夺冠的概率是80%，
∴中国女排夺冠的可能性比较大
故选C.
【点睛】
本题考查随机事件发生的可能性，解题的关键是掌握概率的意义.
10、A
【分析】由可得∠APB=90°，根据AB是定长，由定长对定角可知P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点是DP的长为最小值时的位置，用DO减去圆的半径即可得出最小值．
【详解】解：∵，
∴∠APB=90°，
∵AB=6是定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，
取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点是DP的长为最小值时的位置，如图所示：
∵，，
∴，
由勾股定理得：DO=5，
∴，即的长的最小值为2，
故选A．
【点睛】
本题属于综合难题，主要考查了直径所对的角是圆周角的应用：由定弦对定角可得动点的轨迹是圆，发现定弦和定角是解题的关键．
11、C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°-∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180°−∠B=120°，
∴∠ACD=180°−∠DAC−∠D=40°，
故选C.
12、C
【解析】分式方程去分母得：m=x-1，解得x=m+1，由方程的解为非负数，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m-1且m≠0，故选C．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、（1，﹣5）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】解：因为y＝（x﹣1）2﹣5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣5）．
故答案为：（1，﹣5）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
14、
【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时符号的变化．
【详解】解：==
故答案为：.
【点睛】
此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是解此题的关键．
15、110m1．
【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
【详解】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.1×6+0.4×7+0.5×1）÷20＝0.125（m1），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.125＝110（m1），
故答案为：110m1．
【点睛】
此题考查的是根据样本估计总体，掌握样本平均数的公式是解决此题的关键．
16、5
【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】连接OA，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AC=4，
∵OC=3，
∴OA=
故答案为：5.
【点睛】
此题考查勾股定理、垂径定理及其推论，解题关键在于连接OA作为辅助线.
17、或
【分析】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．利用平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】分两种情况讨论：
①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．
∵DH∥CE，
∴．
设BH=x，则HE=3x，
∴BE=4x．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=4x．
∵EM∥HD，
∴．
②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．
∵DC=3DB，
∴BC=2DB．
∵BH∥CE，
∴．
设DH=x，则HM=2x．
∵E是AB的中点，EM∥BH，
∴，
∴AM=MH=2x，
∴．
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握辅助线的作法是解答本题的关键．
18、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）6+；（2）3﹣或3+
【分析】（1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论；
（2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3
∴AB=AC=6，
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，
∴当DE最小时，△ADE的周长最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3，
∴△ADE的周长的最小值是6+3；
（2）当点D在CF的右侧，
∵CF=AB=3，CD=4，
∴DF=，
∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；
当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+，
综上所述：AE的长度为3﹣或3+．
【点睛】
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．
20、毎件商品的售价为32元
【分析】设毎件商品的上涨x元，根据一件的利润×总的件数=总利润，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去．
【详解】解：设毎件商品的上涨x元，根据题意得：
（30﹣20+x）（180﹣10x）=1920，
解得：x1=2，x2=6（不合题意舍去），
则毎件商品的售价为：30+2=32（元），
答：毎件商品的售价为32元时，每个月的销售利润将达到1920元．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解；注意本题先设每件商品的上涨的钱数更容易做．
21、40个
【解析】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，
根据题意得：x（x﹣1）＝1560，
解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．
答：九（2）班有40个同学．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22、见解析
【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论.
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
即.
【点睛】
本题主要考察了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键.
23、（1）k＝﹣30，b＝960，x取值范围为16≤x≤32；（2）商品的定价为24元；（3）商品价格应定为24元，最大利润是1元．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；根据单价不低于进价（16元）和销售件数y≥0可得关于x的不等式组，解不等式组即得x的取值范围；
（2）根据每件的利润×销售量=1，可得关于x的方程，解方程即可求出结果；
（3）设每月利润为W元，根据W=每件的利润×销售量可得W与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质解答即可.
【详解】解：（1）由题意，得：，解得：，∴y＝﹣30x+960，
∵y≥0，∴﹣30x+960≥0，解得：x≤32，
又∵x≥16，∴x的取值范围是：16≤x≤32；
答：k＝﹣30，b＝960，x取值范围为：16≤x≤32；
（2）由题意，得：（﹣30x+960）（x﹣16）＝1，解得：x1=x2=24，
答：商品的定价为24元；
（3）设每月利润为W元，由题意，得：W＝（﹣30x+960）（x﹣16）＝﹣30（x﹣24）2+1．
∵﹣30＜0，∴当x＝24时，W最大＝1．
答：商品价格应定为24元，最大利润是1元．
【点睛】
本题是方程和函数的应用题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的解法和二次函数的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键.
24、（1）①与直线相切.理由见解析；②或；（2）或.
【分析】（1）①作直线的垂线，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征证明线段相等即可；
②利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
（2）利用两点之间的距离公式分别求得各线段的长，根据“和谐点”的定义及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
【详解】（1）①与直线相切.
如图，过作直线，垂足为，设.
则，
，即：
与直线相切.
②当与轴相切时
∴ ，
，即：
代入
化简得：或.
解得：，.
或.
（2）已知、的横坐标分别是，，代入二次函数的解析式得：
，，
设，
∵点B的坐标为，
∴，
，
，
依题意得：，即，
，即：，
∴(不合题意，舍去)或，
把，代入得：
直接开平方解得：，，
∴的坐标为：或
【点睛】
本题主要考查了两点之间的距离公式二次函数的性质，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程是解题的关键.
25、．
【分析】由已知可得，从而可知，，
设AB=3x，则BE=2x，再利用勾股定理和等腰三角形性质用x表示DE和BC，从而解答
【详解】解：∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∠ADE=∠B+∠BAD，
又∵∠DAE=∠B=30°，
∴∠BAE=∠ADE，
∴，
∴，，
过A点作AH⊥BC，垂足为H，
设AB=3x，则BE=2x，
∵∠B=30°，
∴，，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴，
∴，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用三角形相似得到AB与BE的关系是解题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）6﹣．
【分析】（1）连接OE．根据OB＝OE得到∠OBE＝∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB＝∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C＝90°得到∠AEO＝∠C＝90°证得结论AC是⊙O的切线．
（2）连接OF，利用S阴影部分＝S梯形OECF−S扇形EOF求解即可．
【详解】（1）连接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°
又∵OE为半径∴AC是圆O的切线
（2）连接OF．
∵圆O的半径为4，∠A=30° ，∴AO=2OE=8，
∴AE=4，∠AOE=60°，
∴AB=12，
∴BC=AB=6 AC=6，
∴CE=AC﹣AE=2．
∵OB=OF，∠ABC=60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∠EOF=60°．
∴S梯形OECF=（2+4）×2=6． S扇形EOF=
∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6﹣．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
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