限时集训(二十)-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用.doc

限时集训(二十)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．函数y＝sin的振幅是________；周期是________；频率是________；相位是________；初相是________．
2．(2013·连云港模拟)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin x的图象向左平移________个单位长度．
3.(2011·江苏高考) 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．

4．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f等于________．
5．(2013·南通质检)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为________．
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.

7．(2012·泰州模拟)将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ＞0)，使得平移后的图象仍过点，则φ的最小值为________．
8．(2012·江西九校联考)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则点(ω，φ)的坐标为________．

9．已知直线y＝b(b＜0)与曲线f(x)＝sin在y轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b的值是________．
10．设f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤对一切x∈R恒成立，则
①f＝0；②＜；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．
以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．

12.(满分14分)用五点作图法画出函数y＝sin＋cos的图象，并说明这个图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．

13．(满分16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求函数f(x)的解析式及x0的值；
(2)若锐角θ满足cos θ＝，求f(4θ)的值．

14.(满分16分)(2012·南京期中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；

(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

答案

[限时集训(二十)]
1.　4π　　＋　
2．解析：因y＝sin x＝cos，而y＝cos＝cos ，故向左平移个单位长度．
答案：
3．解析：由图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋，所以f(0)＝sin φ＝sin ＝.
答案：
4．解析：∵由图象可知，T＝2＝，∴ω＝2，∴2×＋φ＝kπ＋.又|φ|＜，∴φ＝.又f(0)＝1，
∴Atan＝1，得A＝1，
∴f(x)＝tan，
∴f＝tan＝tan＝.
答案：
5．解析：由题意得，＋φ＝kπ＋，
又＋φ＝kπ，所以＝k′π＋，即ω＝4k′＋2，又ω＞0，所以ω的最小值为2.
答案：2
6．解析：∵由题图可知，＝2π－，∴T＝，∴＝，∴ω＝，∴y＝
sin.又∵sin＝－1，
即sin＝－1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又∵－π≤φ＜π，∴φ＝.
答案：
7．解析：平移后函数的解析式为y＝sin 2(x－φ)，将点代入得＝sin，于是－2φ＝2kπ＋或－2φ＝2kπ＋，k∈Z.所以φ＝－kπ或φ＝－kπ，k∈Z.又φ>0，所以φ的最小值为.
答案：
8．解析：由在x轴上的投影为，知OF＝，
又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.
同时函数图象可以看做是由y＝sin x的图象向左平移而来，故可知＝＝，即φ＝，故点(ω，φ)的坐标为(2，)．
答案：(2，)
9.解析：设三个横坐标依次为x1，x2，x3，
由图及题意有，
解得x2＝，
所以b＝f＝－.
答案：－
10．解析：f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝sin(2x＋φ)，因为对一切x∈R，f(x)≤恒成立，所以sin＝±1，可得φ＝kπ＋(k∈Z)，故f(x)＝±sin.而f＝±
sin＝0，所以①正确；＝＝，＝，所以＝，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f(x)＝sin和f(x)＝－sin的图象可知(图略)，不存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，故⑤错．
答案：①③
11．解：(1)由题中图所示，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．
(2)图中从6时到14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴ ·＝14－6＝8，解得ω＝.
由图示，A＝(30－10)＝10，
b＝(30＋10)＝20.
这时y＝10sin＋20.
将x＝6，y＝10代入上式，可取φ＝.
综上，所求的解析式为
y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
12．解：五点作图法：
(1)列表：将函数解析式化简为
y＝2 sin，列表如下：
＋
0

π

2π
x
－
π
π
π
π
y＝2 sin
0
2
0
－2
0

(2)描点：描出点，，，，；
(3)连线：用平滑的曲线将这五个点连结起来，最后将其向两端伸展一下，得到图象如下图.

13．解：(1)∵由题意可得A＝2，＝2π，即T＝4π，∴＝4π，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin.由图象经过点(0,1)得，
f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|＜，∴φ＝.
故f(x)＝2sin.
又f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝2kπ＋(k∈Z)，∴x0＝4kπ＋(k∈Z)，根据图象可得x0是最小的正数，∴x0＝.
(2)由(1)知，f(4θ)＝2sin＝sin 2θ＋cos 2θ.
∵θ∈，cos θ＝，∴sin θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，sin 2θ＝2sin θcos θ＝，∴f(4θ)＝×－＝－＝.
14．解：(1)由图知A＝3，T＝4π－＝，∴T＝5π，∴ω＝，
∴f(x)＝3sin.
∵f(x)的图象过(4π，－3)，
∴－3＝3sin，
∴＋φ＝2kπ－，∴φ＝2kπ－.
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝3sin.
(2)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋得，5kπ＋≤x≤5kπ＋4π　(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
函数f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为.
(3)法一：f(x)＝3sin
＝3cos＝
3cos＝3cos，
故至少须左移个单位才能使所对应函数为偶函数．
法二：f(x)＝3sin的图象的对称轴方程为x－＝kπ＋，∴x＝＋，当k＝0时，x＝，k＝－1时，x＝－π，故至少左移个单位才能使所对应函数为偶函数．
法三：函数f(x)在原点右边第一个最大值点为－＝，∴x＝，把该点左移到y轴上，需平移个单位才能使所对应函数为偶函数．
法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把点变为或把点(4π，－3)变为等，可知应左移个单位才能使所对应函数为偶函数．