数学压轴120085.doc

2008年全国中考数学压轴题精选(十)

91.（08新疆自治区24题）（10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？

（08新疆自治区24题解析）24．（10分）解：（1）设抛物线的表达式为 1分
点在抛物线的图象上．
∴
3分
∴抛物线的表达式为 4分
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）
已知窗户高1.6m，∴ 5分

（舍去） 6分
∴（m） 7分
又设最多可安装n扇窗户
∴ 9分
．
答：最多可安装4扇窗户． 10分
（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）

92.（08四川资阳24题）24．（本小题满分12分）
图10
如图10，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（08四川资阳24题解答）(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC= ∠COB=90°，
∴ΔAOC∽ ΔCOB，∴．
又∵A(–1，0)，B(9，0)，
∴，解得OC=3(负值舍去)．∴C(0，–3)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)，
∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=，
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9)，即y=x2–x–3．
(2) ∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，
∴OO′=4，O′(4，0)，
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，
图10答案图1
连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．∴D(4，–5)．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）∴ 解得
∴直线BD的解析式为y=x–9.
(3) 假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则．
分两种情况(如答案图1所示)：
①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，
因此，点Q1(7，–4)符合，
∵D(4，–5)，Q1(7，–4)，
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x–．
解方程组得
∴点P1坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]．
②∵Q1(7，–4)，
∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合．
∵D(4，–5)，Q2(7，4)．
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x–17．解方程组得
∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．
∴符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)．
图10答案图2
解法二：分两种情况(如答案图2所示)：
①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B(9，0)，C(0，–3)．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x–3．
又∵DP1∥CB，∴设直线DP1的解析式为y=x+n．
把D(4，–5)代入可求n= –，∴直线DP1解析式为y=x–．
解方程组得
∴点P1坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]．
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得ΔNBD≌ΔMDB(SAS)，∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y=x–3．
取x=4，得y= –，∴M(4，–)，∴O′N=O′M=，∴N(，0)，
又∵D(4，–5)，∴直线DN解析式为y=3x–17
图10答案图3
解方程组得
∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．
∴符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)．
解法三：分两种情况(如答案图3所示)：
①求点P1坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线,交圆O′于G,此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由(2)题知直线BD的解析式为y=x–9,
又∵ C（0，–3）∴可求得CG的解析式为y=x–3,
设G（m,m–3），作GH⊥x轴交与x轴与H，
连结O′G,在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=７，
由D（4，–5）与G(7，4)可得，DG的解析式为，
解方程组得
∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]． 12分
∴符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)．
94.（08广东梅州23题）23．本题满分11分．
如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）

（08广东梅州23题解答）解： （1） DC∥AB，AD=DC=CB，
∠CDB=∠CBD=∠DBA， 0.5分
∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， 1分
∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60， 1.5分
∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 2分
RtAOD，OA=1，OD=， 2.5分
A（-1，0），D（0， ），C（2， ）． 4分
（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），
故可设所求为 = （+1）（ -3） 6分
将点D（0， ）的坐标代入上式得， =．
所求抛物线的解析式为 = 7分
其对称轴L为直线=1． 8分
（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，
P1DB为等腰三角形； 9分
②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；
③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5． 10分
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．

95.（08山东聊城25题）25．（本题满分12分）如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
第25题图

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．
解：（1）设正方形的边长为cm，则
．即．解得（不合题意，舍去），．
剪去的正方形的边长为1cm．
（2）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，
则与的函数关系式为：．
即．改写为．当时，．
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．
图1
第25题图
图2
（3）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．
若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：
．
即．当时，．
若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：
．
即．当时，．
比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．

96.（08广东佛山25题）25．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.
例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）.
(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？
(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）.请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.
(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是ABC
的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.
A
B
O
m
第25题图1
O
第25题图2
A
B
O
E
第25题图3
D
C
F
G
D
C

解：(1) 弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等.
(2) 情形1 如图21，AB为弦，CD为垂直于弦AB的直径. …………………………3分
结论：（垂径定理的结论之一）. …………………………………………………………4分
O
n
D
A
C
B
m
第25题图21
P
情形2 如图22，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P.
结论：.
情形3 （图略）AB为弦，CD为弦，且与在圆外相交于点P.
结论：.
AD
BC
情形4 如图23，AB为弦，CD为弦，且AB∥CD.
结论： = .
(3) 若点C和点E重合，
则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称. …………………………………8分
ABC
设，则，.………………………………9分
又D是 的中点，所以，
即.………………………………………………………10分
解得.……………………………………………………………11分
A
B
O
E
第25题图3
D
C
F
G
O
第25题图22
n
D
A
C
B
m
P
O
第25题图23
n
D
A
C
B
m

7