江苏省高三数学二轮专题训练-解答题(5).doc

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（5）

本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．(本小题满分14分)
平面直角坐标系中，已知向量且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．

2．(本小题满分14分)
设定义在上的函数的最小正周期为．
（1）若，，求的最大值；
（2）若，，求的值．

3．(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．

4．(本小题满分16分)
如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为
4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．
（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养

（图甲）
（图乙）
殖区的最小面积．

5．(本小题满分16分)
若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，
的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．
（1）已知是上的正函数，求的等域区间；
（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出
实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

6．(本小题满分146分)
设为关于n的k次多项式．数列{an}的首项，前n项和为．对于任意的正
整数n，都成立．
（1）若，求证：数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．

1．(本小题满分14分)
平面直角坐标系中，已知向量且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
【解】（1）由题意得,, ………………………2分
因为，
所以，即，① …………………………………………………4分
（2）由题意得，， ………………6分
因为，
所以，即，② ………………………8分
由①②得或……………………………………………………………………10分
当时，，，则 …………………12分
当时，，，则 …………………14分
所以，四边形的面积为16．

2．(本小题满分14分)
设定义在上的函数的最小正周期为．
（1）若，，求的最大值；
（2）若，，求的值．
【解】（1）当，时，，
化简得， ………………………………………………………………………2分
因为，所以，即，
所以，的最大值为8．…………………………………………………………………………6分
（2）当时，

， ………………………………………………………………………10分
因为，所以， …………………………………………………………………12分
此时，，所以．……………………………………………………14分

3．(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解】（1）由得，
在△ABC中，， ……………………………………………………………………………3分

由得，
由正弦定理得，
所以，； ………………………………………………………………………………7分
（2）△ABC为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分
由知
不失一般性，可设，
则，
消去得，即，
所以，，即证．…………………………………………………………………………14分

4．(本小题满分16分)
如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为
4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．
（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，据此算出养殖区的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养

（图甲）
（图乙）
殖区的最小面积．

【解】（1）如图甲，设与所成夹角为，则与所成夹角为，
对菱形的边长“算两次”得，………………………………………2分
解得，……………………………………………………………………………………4分
所以，养殖区的面积； ………………6分
（2）如图乙，设与所成夹角为，，则与所成夹角为
，
对菱形的边长“算两次”得，……………………………………8分
解得，……………………………………………………………………………10分
所以，养殖区的面积，………………12分
由得
， ………………………………………………………………………………………14分
经检验得，当时，养殖区的面积． ………………………………16分
答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为．

5．(本小题满分16分)
若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，
的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．
（1）已知是上的正函数，求的等域区间；
（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出
实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】（1）因为是上的正函数，且在上单调递增，
所以当时， 即 …………………………………………………3分
解得，
故函数的“等域区间”为；……………………………………………………………5分
（2）因为函数是上的减函数，
所以当时，即…………………………………………………7分
两式相减得，即， ……………………………………………………9分
代入得，
由，且得， ……………………………………………………11分
故关于的方程在区间内有实数解，………………………………13分
记，
则解得． ……………………………………………………………16分

6．(本小题满分146分)
设为关于n的k次多项式．数列{an}的首项，前n项和为．对于任意的正
整数n，都成立．
（1）若，求证：数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．
【证】（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）．
因为恒成立，所以，即．
而且当时，， ①
， ②
①－②得 ．
若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以．
故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列． ………………………………………………4分
【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．
(ii) 若k=1，设（b，c为常数），
当时，， ③
， ④
③－④得 ．……………………………………………………………7分
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1，
故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1，此时．…9分
(iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数），
当时，， ⑤
， ⑥
⑤－⑥得 ， ………………………………………………12分
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有
，且d=2a，
考虑到a1=1，所以．
故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为，
此时（a为非零常数）．……………………………………………14分
(iv) 当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}
不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． ……………………………………16分