北京2011初三一模数学22和24题集锦.doc

2011一模
丰台22．认真阅读下列问题，并加以解决：
问题1：如图1，△ABC是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC补成一个矩形．要求：使△ABC的两个顶点成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；

图1 图2
问题2：如图2，△ABC是锐角三角形，且满足BC＞AC＞AB，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；
问题3：如果△ABC是钝角三角形，且三边仍然满足BC＞AC＞AB，现将它补成矩形．要求：△ABC有两个顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）．

25.已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；
（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

图1 图2 图3
东城一模22. 如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
（1）请你帮小萍求出x的值.
(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）

24. 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.
（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.

图1 图2 图3

海淀一摸22．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为.
（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则=_______；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则的取值范围是 .
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将以AC边为轴翻折一次得，再将以为轴翻折一次得，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，，根据两点之间线段最短，可得. 老师听了后说：“你的想法很好，但的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.

25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．
求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

门头沟一模22．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），等边三角形PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将等边三角形PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、…连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.
（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一条直线上，那么这一翻转过程可以看作是等边三角形PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时, 顶点P第一次回到原来的起始位置.

（2）若k=3，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；
（3）使顶点P第一次回到原来的起始位置时，若等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数是60，则正方形ABCD的边长AB= .

24．在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC =90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2 ，对角线AC和BD相交于点O．在等腰直角三角形纸片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不动，将三角形纸片EBF绕点B旋转．
（1）如图1，当三角形纸片EBF绕点B旋转到使一边BF与梯形ABCD的边BC在同一条直线上时，线段AF与CE的位置关系是 ，数量关系是 ；
（2） 将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针继续旋转, 旋转角为（）,请你在图2 中画出图形，并判断（1）中的两个结论是否发生变化，写出你的猜想并加以证明；[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（3）将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针旋转到一边BF恰好落在线段BO上时,
三角形纸片EBF的另一边EF与BC交于点M，请你在图3中画出图形．
①判断（1）中的两个结论是否发生变化，直接写出你的猜想，不必证明；
②若，求BM的长．

石景山一模24．已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转°（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．
（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究△与△的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

西城一模25．在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.
（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；
（2）若，，求∠APE的度数.

朝阳一模25．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ；
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.
图②
图①

昌平一模24．已知， 点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针
旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°.
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PC与PB的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长.
图2

图3
图1

大兴一模22．一块矩形纸片，利用割补的办法可以拼成一块与它面积相等的平行四边形（如图1所示）：
请你根据图1作法的提示，利用图2画出一个平行四边形，使该平行四边形的面积等于所给的矩形面积.
要求：（1）画出的平行四边形有且只有一个顶
点与B点重合；
（2）写出画图步骤；
（3）写出所画的平行四边形的名称.

24．已知：如图，在四边形ABCD中， AD=BC,∠A、∠B均为锐角．
(1) 当∠A=∠B时，则CD与A B的位置关系是CD AB，大小关系是CD AB；
(2) 当∠A>∠B时，（1）中C D与A B的大小关系是否还成立，
证明你的结论．

房山一模22．（本小题满分5分）
小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形．
他先进行了如下部分操作，如图1所示：

①取△ABC的边AB、AC的中点D、E，联结DE；
②过点A作AF⊥DE于点F；
（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC拼接成面积与它相等的矩形．
（2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________．
（3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的正方形．

图1
25．（本小题满分7分）
已知：等边三角形ABC
如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．
试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；

图2

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．
求证：PA+PD+PC＞BD

顺义一模22． 如图，将正方形沿图中虚线（其）剪成① ② ③ ④ 四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个矩形（非正方形）．
（1）画出拼成的矩形的简图；
（2）求的值．

24． 已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．
（1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，
求tan∠BCP的值．

通州一模22．问题背景
B
C
D
F
E

A
S1
S2
S
3
6
2
（1）如图22（1），△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，
过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积 ，△EFC的面积 ，
△ADE的面积 ．　　　　　　　　 　　　　 　　　　　22（1）
探究发现
（2）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．
B
C
D
G
F
E
A
拓展迁移
（3）如图22（2），□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若
△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用
（2）中的结论求△ABC的面积．　　　　　　　　　　　　　　　22（2）

23．已知：矩形纸片ABCD中，AB＝26厘米，BC＝18.5厘米，点E在AD上，且AE＝6厘米，点P是边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点重合，展开纸片得折痕MN（如图23（1）所示）；
步骤二，过点P作，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图23（2）所示）
（1）无论点P在边上任何位置，都有PQ　　　　QE（填“”、“”、“”号）；
（2）如图23（3）所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点在点时，PT与MN交于点Q1 ，Q1点的坐标是（ ， ）；
②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2 ，Q2点的坐标是（ ， ）；
③当PA=12厘米时，在图22（3）中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标；
A
P
B
C
M
D
(P)E
B
C

A
N
P
B
C
M
D
E
Q
T

（3）点在运动过程中，PT与MN形成一系列的交点Q1 ，Q2 ，Q3 ，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．

23（1） 23（2） 23（3）
延庆一模22．阅读下列材料：根据所给的图形解答下列问题：
（1）如图，中，，，
，把绕点旋转，并拼
第22题图1
接成一个正方形,请你在图中完成这个作图；

（2）如图，中，，，请你设计一种与(1)不同方法，
将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得
到的正方形；
（3）设计一种方法把图中的矩形拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形, 请你依据此矩形画出正方形.
第22题图3
第22题图2

A
B
D
C
E
第25题图1
25. 在中，，点在所在的直线上运动，作（按逆时针方向）．
（1）如图1，若点在线段上运动，交于．
①求证：；
②当是等腰三角形时，求的长．

（2）①如图2，若点在的延长线上运动，的
反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；

C
D
B
A
E

C
A
B
D
E
第25题图2
第25题图3
②如图3，若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．